1、高二数学考点题型 技巧精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)第三章：圆锥曲线的方程3.3抛物线3.3.1抛物线及其标准方程【考点梳理】考点一抛物线的定义1定义：平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹2焦点：定点F.3准线：定直线l.考点二抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y22px(p0)xy22px(p0)xx22py(p0)yx22py(p0)y重难点技巧：p的几何意义是焦点到准线的距离【题型归纳】题型一：抛物线的定义（方程、最值）1（2021全国高二课时练习）若抛物线上一点到该抛物线的焦点的距离，则点到轴的距离（ ）ABCD2（2021东城北
2、京二中高二月考）抛物线上一点到其焦点的距离为3，则抛物线的方程为（ ）ABCD3（2021全国高二课时练习）已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（ ）A（0，0）B（2，2）CD题型二：抛物线的四种标准方程4（2021全国高二课时练习）以轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是（ ）ABC或D或5（2021吉林农安高二期末（理）已知抛物线C：（）的准线为l，圆M：与l相切，则（ ）A1B2C3D46（2021四川省内江市第六中学（理）已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则（ ）ABCD题型三：抛物线焦半径的公式7（
3、2021全国）已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（ ）A3BC5D8（2021全国高二课时练习）过抛物线的焦点的直线交于，两点，若，则（ ）A3B2CD19（2021全国高二课时练习）已知抛物线C：y24x的焦点为F，设A和B是C上的两点，且M是线段AB的中点，若|AB|6，则M到y轴的距离的最小值是（ ）A2B4C6D8题型四：抛物线的方程常见求法10（2021东城北京二中高二月考）己知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，且.（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；（2）求所在的直线方程.11（2021哈密市第十五中学（理）根
4、据条件求下列方程.（1）顶点在原点，准线方程是的抛物线方程；（2）已知双曲线过点并且与有共同的渐近线，求双曲线的标准方程.12（2021全国高二专题练习）根据下列条件求抛物线的标准方程.（1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；（2）过点P(2，-4)；（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=5.【双基达标】一、单选题13（2021山西平城大同一中高二月考）若抛物线x2=8y上一点P到焦点的距离为8，则点P的纵坐标为（ ）A6BC7D14（2021全国高二课时练习）在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（ ）AB2C1D415（20
5、21全国高二课时练习）如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（ ）A（1，0）B（2，0）C（3，0）D16（2021绥德中学高二月考（文）已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（ ）A1B2C3D417（2021全国高二课时练习）若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点的横坐标和的值分别为（ ）A9，2B1，18C9，2或1，18D9，18或1，218（2021全国高二课时练习）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（ ）ABCD919（2021全国高二课时练习）已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，过作抛物线的准线的垂线
6、，垂足为，若（为坐标原点），的周长为12，则（ ）A4BCD520（2021富宁县第一中学高二月考（文）已知抛物线第一象限内一点到焦点的距离等于，则直线的斜率为（ ）ABCD21（2021云南省楚雄天人中学高二月考（理）为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为（ ）ABCD22（2021全国高二课时练习）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则此抛物线的方程为（ ）ABCD【高分突破】一：单选题23（2021全国高二单元测试）若抛物线y2=2px（p0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A2B3C4D824（2020河北易县中学高二月考）为坐
7、标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为ABCD25（2021全国高二课时练习）已知点是抛物线上的一动点，为抛物线的焦点，是圆：上一动点，则的最小值为A3B4C5D626（2021全国高二专题练习）已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，则线段的中点到轴的距离为 ABCD27（2021泉州鲤城北大培文学校高二期中）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为ABCD28（2020高台县第一中学高二期中（文）已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为ABCD29（20
8、20福建省南安市柳城中学高二期中）已知椭圆与抛物线有相同的焦点为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为ABCD30（2019河南宛城南阳中学高二月考（理）抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于 、两点，点为轴正半轴上任意一点，则ABCD二、多选题31（2021全国高二专题练习）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则的值可以是A2B6C4D832（2020如皋市第一中学高二月考）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅已知点，直线l：，
9、若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）A点P的轨迹曲线是一条线段B点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点C不是“最远距离直线”D是“最远距离直线”33（2021全国高二期中）已知双曲线：的实轴长是2，右焦点与抛物线：的焦点重合，双曲线与抛物线交于、两点，则下列结论正确的是（ ）A双曲线的离心率为B抛物线的准线方程是C双曲线的渐近线方程为D34（2020广东实验中学越秀学校高二期中）设抛物线的焦点为，为其上一动点，当运动到时，直线与抛物线相交于两点，点，下列结论正确的是（ ）A抛物线的方程为B的最小值为6
10、C存在直线，使得、两点关于对称D当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切35（2020江苏高二专题练习）设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为9，则（ ）A|BF|3BABF是等边三角形C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26x36（2021全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于点，且，.下列结论正确的是（ ）ABCD的面积为三、解答题37（2021全国高三专题练习（文）已知点，直线，动点P到点F与到直线l的距离相等，求动点P的轨迹C的方程.38（2021全国高二课时练习
11、）已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长为，求抛物线的方程39（2021全国高二课时练习）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆在第一象限的交点为Q，若.（1）求三角形的面积；（2）求此抛物线方程.40（2021江西科技学院附属中学高二月考（理）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴的正半轴上，是抛物线上的点，点到焦点的距离为1，且到轴的距离是（1）求抛物线的标准方程；（2）假设直线通过点，与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程41（2021上海市新场中学高二期中）已知一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离等于它到x=-1的距离.（1）求曲线的方程；（2）求直线被曲线截得线段
12、长.42（2021浙江湖州）已知抛物线，圆，是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，与圆交于点，点是线段的中点.（1）求抛物线的准线方程；（2）求的面积.43（2021广西河池（文）已知椭圆的一个焦点与抛物线：的焦点重合，点是抛物线的准线与轴的交点（1）求抛物线的方程；（2）过点的直线与曲线交于，若的面积为72，求直线的方程8原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！【答案详解】1D【详解】因为抛物线所以抛物线焦点，准线方程，点到准线距离为，到轴距离，故选：D2B【详解】因抛物线上一点到其焦点的距离为3，则p0，抛物线准线方程为，由抛物线定义得：，解得，所以抛物线的方程为：.故选：B3B【
13、详解】如图所示：设点P到准线的距离为，准线方程为，所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为故选：B4C【详解】依题意设抛物线方程为因为焦点与原点之间的距离为2，所以，所以，所以抛物线方程为或故选：C5B【详解】解：抛物线的准线与圆相切，可得，解得故选：B6C【详解】抛物线的焦点坐标为，所以椭圆中，故选：C7B【详解】由抛物线方程，得其准线方程为.设，由抛物线的定义，得，即，所以线段中点的横坐标为，线段的中点到轴的距离为故选：B.8C【详解】方法一：如图，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，过点作于点，交轴于点由已知条件及抛物线的定义，得，所以在中，因为，所以，所以，所以
14、焦点到准线的距离为，即方法二：依题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，将其代入抛物线的方程，得设，则因为，所以，即，所以，解得故选：C.9A解：因为C的方程为y24x，所以F（1，0），过A作准线x1的垂线，垂足为E，过B作准线的垂线，垂足为D，过M作准线的垂线，垂足为K，根据抛物线定义可得：|AF|+|BF|AE|+|BD|AB|6，则|MK|（|AE|+|BD|）3，所以，线段MN的中点M到C的准线x1的距离最小值为3，故点M到y轴的距离最小值为312.故选：A.10(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为；(2)或.【详解】(1)因点在抛物线方程上，则，所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为
15、：；(2)显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：，由消去x得：，设，则有，于是得，解得，即直线AB：，所以所在的直线方程：或.11（1）；（2）.【详解】(1) 抛物线的顶点在原点，准线方程是， 可设抛物线的方程为，且p=4， 抛物线的标准方程为，(2)双曲线与双曲线有共同的渐近线， 可设双曲线方程为，又双曲线过点， ， ，故双曲线的标准方程.12（1）y2=-12x；（2）y2=8x或x2=-y；（3）y2=2x或y2=18x.【详解】（1）双曲线方程为，其左顶点为(-3，0)，由题意设抛物线方程为y2=-2px(p0)，则抛物线焦点为，解得p=6，所以所求抛物线方程为为y2=-12x；（2）
16、由于P(2，-4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2=mx或x2=ny，将P点坐标代入方程求得m=8，n=-1，所以所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y；（3）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为：y2=2px(p0)，A(m，-3)，则抛物线准线为，由抛物线定义得，又(-3)2=2pm，显然p，m同号，从而得 或，解得p=1或p=9，所以所求抛物线方程为y2=2x或y2=18x.13A【详解】设点，因为抛物线方程为x2=8y，所以其准线方程为，又因为抛物线上点P到焦点的距离为8，由抛物线的定义得：，交点，所以点P的纵坐标为6，故选：A14B解：由题意可得抛物线开口向右，焦点坐标
17、，准线方程，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为4的点到准线的距离等于5，即，解之可得.故选：B.15D【详解】由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.故选：D16B【详解】由题意到准线的距离减去到轴距离等于1，所以，故选：B17C【详解】因为点到对称轴的距离为6，所以不妨设因为点到准线的距离为10，所以，解得或，故选：C18B【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，抛物线的方程为设直线的方程为，将此方程代入，整理得设，则，所以，当且仅当，即时等号成立故选：B19A【详解】因为，所以.又是抛物线上一点，所以，则是等边三角形.又的周长为12，所以，故选：A20A【详解】抛物线焦点为，因为
18、点到抛物线的焦点的距离为，所以点到抛物线的准线的距离为，则点的横坐标为，将代入抛物线方程得，即，所以直线的斜率为.故选：A21A【详解】因为抛物线，所以 ，由抛物线的定义得：，解得，则，所以的面积为，故选：A22B【详解】由抛物线定义，等于到准线的距离，因为，所以，又，从而，又因为在抛物线上，代入抛物线方程，解得故抛物线方程为故选：B23D【详解】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D24B【详解】由可得抛物线的焦点F(1,0),准线方程为,如图:过点P作准线 的垂线,垂足为,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,设,则,解得,将 代入可得,所以的面积为=.故选B.25B【详解】如
19、图所示，利用抛物线的定义知：当三点共线时，的值最小，且最小值为抛物线的准线方程：， 本题正确选项：26C【详解】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，的中点为，过作准线的垂线，垂足为，因为是该抛物线上的两点，故，所以，又为梯形的中位线，所以，故到轴的距离为，故选C.27C【详解】设C：1抛物线y216x的准线为x4，联立1和x4得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4C的实轴长为428B【详解】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，|PA|=m|PB|， |PA|=m|PN| ，设PA的倾斜角为，则，当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，
20、设直线PA的方程为y=kx1，代入x2=4y，可得x2=4（kx1），即x24kx+4=0，=16k216=0，k=1， P（2，1），双曲线的实轴长为PAPB=2（1）， 双曲线的离心率为故选B29A【详解】由题意，椭圆，即，则椭圆的焦点为，不妨取焦点抛物线，抛物线的焦点坐标为，椭圆与抛物线有相同的焦点，即，则抛物线方程为，准线方程为，由抛物线的定义得：到准线的距离为，即点的纵坐标，又点在抛物线上，不妨取点坐标，关于准线的对称点的坐标为，则，即三点共线时，有最小值，最小值为，故选A.30B【详解】分析：设，则，由利用韦达定理求解即可.详解：设，的焦点，设过点的直线为，故选B.31AC【详解】
21、设的横坐标为，由题意，解得或.故选：AC32BCD【详解】由题意可得，点P到点M的距离比到直线l的距离小1，即等价于“点P到点M的距离等于到直线：的距离”故P点轨迹是以为焦点，直线：为准线的抛物线，其方程是，故A错误点P的轨迹方程是抛物线，它与直线没交点，即两者是没有交会的轨迹，故B正确要满足“最远距离直线”则必须满足与上述抛物线有交点，把代入抛物线，消去y并整理得因为，无解，所以不是“最远距离直线”，故C正确；把代入抛物线，消去y并整理得，因为，有解，所以是“最远距离直线”，故D正确故选：BCD33BC【详解】由双曲线：的实轴长为2，可得，又由抛物线：的焦点重合，可得双曲线的右焦点为，即，则
22、，可知双曲线：，所以双曲线的离心率为，抛物线的准线方程是，双曲线的渐近线方程为，所以A不正确；B、C正确，联立方程组 ，解得，所以，所以D不正确.故选：BC.34BD【详解】，故，故，错误；过作垂直于准线于，则，当共线时等号成立，故正确；设，设中点则，相减得到，即，故，故，点在抛物线上，不成立，故不存在，错误；如图所示：为中点，故，故为直径的圆与轴相切，故正确；故选：.35BCD【详解】根据题意，作图如下：因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以，又，所以为等边三角形，B正确；ABD90，过F作FCAB交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为，所以A不正确，焦
23、点到准线的距离为，所以C正确；抛物线的方程为：y26x，所以D正确.故选：BCD36BCD【详解】选项A. 由抛物线的定义可得，解得，所以A不正确.选项B. 所以，抛物线方程为将点坐标代入抛物线方程，得，所以，所以B正确选项C. 当时，则，则直线的方程为： 则 ，得，解得或所以，则，同理当时，可得，所以C正确.选项D.由上可知当时， 同理当时，所以D正确.故选：BCD37解：设点，根据题意得：，化简得动点P的轨迹方程为38或【详解】由题意，设所求抛物线的方程为，交点，因为抛物线与圆相交的公共弦长为，则，即由对称性知，代入上式，解得，把代入，解得，当时，点在抛物线上，所以；当时，点在抛物线上，所
24、以于是所求抛物线的方程为或故答案为：或39（1）；（2）.【详解】（1）椭圆即，设，则，即，所以三角形的面积为.（2）设，在第一象限，所以，代入抛物线方程得，所以抛物线方程为.40（1）；（2）【详解】（1）由己知，可设抛物线的方程为，又到焦点的距离是1，点到准线的距离是1，又到轴的距离是，解得，则抛物线方程是（2）假设直线的斜率不存在，则直线的方程为，与联立可得交点、的坐标分别为，易得，可知直线与直线不垂直，不满足题意，故假设不成立，直线的斜率存在设直线为，整理得，设，联立直线与抛物线的方程得，消去，并整理得，于是，又，因此，即，解得或当时，直线的方程是，不满足，舍去当时，直线的方程是，即，
25、直线的方程是41（1）；（2）8【详解】（1）一条曲线在轴右边，上每一点到点的距离等于它到x=-1的距离，所以该曲线是以点为焦点，以x=-1为准线的抛物线，设其方程为，所以；（2）设直线与曲线交于，联立方程，整理得，.所以直线被曲线截得线段长为8.42（1）；（2）.【详解】（1）因为抛物线，所以准线方程为；（2）设直线，联立直线与抛物线得，由韦达定理可得，故，将点坐标代入圆方程得，解得(0舍去).根据抛物线的对称性，不妨设，联立，消去得，所以所以，坐标原点到直线的距离，所以.43（1）；（2）解：（1）因为椭圆的焦点坐标为，又因为椭圆的焦点与抛物线：的焦点重合，所以，即，所以抛物线方程为（2）由（1）知，设的方程为，联立，消去得，由得或设，由韦达定理知，所以，点到直线的距离所以的面积为，因为，所以，解得，因为或，所以满足条件，所以所求直线的方程为30原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！
