1、2016-2017学年山东师大附中高三（上）第二次模拟数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1设全集U=1，2，3，4，0，集合A=1，2，0，B=3，4，0，则（UA）B=（）A0B3，4C1，2D2函数的定义域为（）A0，1B（0，1）C（，01，+）D（，0）（1，+）3已知函数f（x）=，则f（）=（）ABCD4“m=1”是“函数f（x）=x26mx+6在区间（，3上为减函数”的（）A充分必要条件B既不充分又不必要条件C充分不必要条件D必要不充分条件5若函数f（x）=loga（x+b）的图象如图，其中a，b为常数则函数g（x）=ax+b的大致图象是（）ABC
2、D6已知f（x）=exx，g（x）=lnx+x+1，命题p：xR，f（x）0，命题q：x0（0，+），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）Ap是真命题，p：x0R，f（x0）0Bp是假命题，p：x0R，f（x0）0Cq是真命题，q：x（0，+），g（x）0Dq是假命题，q：x（0，+），g（x）07将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（）ABCD8已知函数，则其导函数f（x）的图象大致是（）ABCD9定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（）A减函数且f（x
3、）0B减函数且f（x）0C增函数且f（x）0D增函数且f（x）010设f（x）与g（x）是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数y=f（x）g（x）在xa，b上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f（x）=x23x+4与g（x）=2x+m在0，3上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A（，2B1，0C（，2D（，+）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分11已知数列an是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列则数列an的通项公式为12设函数若f（4）=f（0），f（2）=2，则关于x的方程f（x）=x
4、的解的个数为13已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为14已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于15直线y=m（m0）与函数y=|log2x|的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1x2），下列结论正确的是（填序号）0x11x2；x1x2=1；2+24；2+24三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16浙江电视台2013年举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的
5、40名选手被平均分成甲、乙两个班下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”（）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；（）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率17在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2b2=ac（）求sin2+cos2B的值；（）若b=2，求ABC面积的最大值18已知三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面
6、ABC，AB=AC，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点（I）求证：DE平面ABC；（II）求证：平面AEF平面BCC1B119用部分自然构造如图的数表：用aij（ij）表示第i行第j个数（i，jN+），使得ai1=aii=i每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和设第n（nN+）行的第二个数为bn（n2）（1）写出bn+1与bn的关系，并求bn（n2）；（2）设数列cn前n项和为Tn，且满足，求证：Tn320已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x1，2，且函数f（x）在x=1和x=处都取得极值（I）求实数a与b的值；（II）对任意x1，2，方程f（x）=2c存在三个实数根
7、，求实数c的取值范围21已知函数，其中a0（）求函数f（x）的单调区间；（）若直线xy1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（）设g（x）=xlnxx2f（x），求g（x）在区间1，e上的最小值（其中e为自然对数的底数）2016-2017学年山东师大附中高三（上）第二次模拟数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分1设全集U=1，2，3，4，0，集合A=1，2，0，B=3，4，0，则（UA）B=（）A0B3，4C1，2D【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先计算集合CUA，再计算（CUA）B【解答】解：A=1，2，0，B=3，4，0，CUA=
8、3，4，（CUA）B=3，4故答案选B2函数的定义域为（）A0，1B（0，1）C（，01，+）D（，0）（1，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据对数的真数大于零列出不等式，由一元二次不等式的解法求出解集，可得函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则x2x0，解得x0或x1，所以函数的定义域是（，0）（1，+），故选D3已知函数f（x）=，则f（）=（）ABCD【考点】函数的值【分析】由已知得f（）=f（），由此能求出结果【解答】解：函数f（x）=，f（）=f（）=故选：A4“m=1”是“函数f（x）=x26mx+6在区间（，3上为减函数”的（）A充分必要条件B既不充分又不必要条件C
9、充分不必要条件D必要不充分条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】函数f（x）=x26mx+6在区间（，3上为减函数，则33m，解得m即可判断出结论【解答】解：函数f（x）=x26mx+6在区间（，3上为减函数，则33m，解得m1“m=1”是“函数f（x）=x26mx+6在区间（，3上为减函数”的充分不必要条件故选：C5若函数f（x）=loga（x+b）的图象如图，其中a，b为常数则函数g（x）=ax+b的大致图象是（）ABCD【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象变换【分析】由函数f（x）=loga（x+b）的图象可求出a和b的范围，再进一步判断g（x）=ax+b的图象即
10、可【解答】解：由函数f（x）=loga（x+b）的图象为减函数可知0a1，f（x）=loga（x+b）的图象由f（x）=logax向左平移可知0b1，故函数g（x）=ax+b的大致图象是D故选D6已知f（x）=exx，g（x）=lnx+x+1，命题p：xR，f（x）0，命题q：x0（0，+），使得g（x0）=0，则下列说法正确的是（）Ap是真命题，p：x0R，f（x0）0Bp是假命题，p：x0R，f（x0）0Cq是真命题，q：x（0，+），g（x）0Dq是假命题，q：x（0，+），g（x）0【考点】全称命题；特称命题【分析】利用导数和函数零点存在条件分别判断命题p，q的真假，结合含有量词的命题
11、的否定进行判断即可【解答】解：f（x）=ex1，由f（x）0得x0，由f（x）0得x0，即当x=0时，函数f（x）取得极小值，同时也是最小值f（0）=e00=10=10，xR，f（x）0成立，即p是真命题g（x）=lnx+x+1在（0，+）上为增函数，当x0时，g（x）0，g（1）=0+1+1=20，则：x0（0，+），使得g（x0）=0成立，即命题q是真命题则p：x0R，f（x0）0，q：x（0，+），g（x）0，综上只有C成立，故选：C7将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数g（x）图象的一个对称中心可以是（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分
12、析】根据y=Asin（x+）的图象变换规律可得所得图象对应的函数为y=sin（x+），由x+=k，kz，可得对称中心的横坐标，从而得出结论【解答】解：，由，令故选：C8已知函数，则其导函数f（x）的图象大致是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，B，再根据函数值得变化趋势得到答案【解答】解：f（x）=x2sinx+xcosx，f（x）=x2cosx+cosx，f（x）=（x）2cos（x）+cos（x）=x2cosx+cosx=f（x），其导函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，当x+时，f（x）+，故排除D，故选：C9定义在R上
13、的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x），当时，f（x）=log2（x+1），则f（x）在区间内是（）A减函数且f（x）0B减函数且f（x）0C增函数且f（x）0D增函数且f（x）0【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明【分析】令x，利用已知表达式及函数的奇偶性知f（x）=log2x，从而可得答案【解答】解：设x，则x1，根据题意，f（x）=f（x+1）=f（x1）=log2（x1+1）=log2x，故选：B10设f（x）与g（x）是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数y=f（x）g（x）在xa，b上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在a，b上是“关联函数”，区间a，b称
14、为“关联区间”若f（x）=x23x+4与g（x）=2x+m在0，3上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A（，2B1，0C（，2D（，+）【考点】函数零点的判定定理【分析】由题意可得h（x）=f（x）g（x）=x25x+4m 在0，3上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围【解答】解：f（x）=x23x+4与g（x）=2x+m在0，3上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）g（x）=x25x+4m在0，3上有两个不同的零点，故有，即，解得m2，故选A二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分11已知数列an是公差不为零的等差数列，a1=2，且a2，a4，a8成等比数列则数列
15、an的通项公式为an=2n【考点】等差数列的通项公式【分析】数列an是公差d0的等差数列，由a2，a4，a8成等比数列，可得=a2a8，利用等差数列通项公式代入解出d即可得出【解答】解：数列an是公差d0的等差数列，a2，a4，a8成等比数列，=a2a8，（2+3d）2=（2+d）（2+7d），化为2d24d=0，解得d=2或d=0（舍）an=2+2（n1）=2n故答案为：an=2n12设函数若f（4）=f（0），f（2）=2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数为3【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】利用条件先求当x0时的函数解析式，再求x0时f（x）=x的解的个数；最后求当x0时方程f
16、（x）=x的解为2从而得关于x的方程f（x）=x的解的个数为3【解答】解：当x0时f（x）=x2+bx+c，因为f（4）=f（0），f（2）=2，所以，得：b=4，c=2，所以当x0时f（x）=x2+4x+2，方程f（x）=x，即x2+3x+2=0，解得两根为：1，2当x0时方程f（x）=x，即x=2则关于x的方程f（x）=x的解的个数为 3故答案为：313已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为【考点】几何概型【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积欲求取到的点P到M的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与
17、矩形的面积之比即可【解答】解：根据几何概型得：取到的点到M的距离小1的概率：p=故答案为：14已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SA=AB=1，BC=，则球O的表面积等于4【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】由已知中S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，易S、A、B、C四点均为长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O的直径（半径），代入球的表面积公式即可得到答案【解答】解：SA平面ABC，ABBC，四面体SABC的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC三边长的长方体的外接球的半径
18、SA=AB=1，BC=，2R=2球O的表面积S=4R2=4故答案为：415直线y=m（m0）与函数y=|log2x|的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1x2），下列结论正确的是（填序号）0x11x2；x1x2=1；2+24；2+24【考点】对数函数的图象与性质【分析】分别画出两函数的图象，根据图象的性质和基本不等式解题【解答】解：画出f（x）的图象，该函数先减后增，在x=1处取得最小值0，再画出直线y=m，两图象交于A，B，如右图（A在B左边），此时，A（x1，y1），B（x2，y2），由图可知，0x11x2，因为y1=y2，所以，log2x1=log2x2，解得x1x2=1，所
19、以x1+x22，根据基本不等式：22=4，且x1x2，所以，4，综合以上分析：正确；正确；错误，正确；故填：三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16浙江电视台2013年举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”（）分别求出甲、乙两班的大众评
20、审的支持票数的中位数、众数与极差；（）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差【分析】（I）将甲乙两班的大众评审的支持票数从小到大排列，根据众数、中位数与极差的定义和解法分别进行计算，即可求出答案（II）根据已知求出：符合条件的情况数目，全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率【解答】解：（I）甲班的大众评审的支持票数：62，66，67，67，68，69，72，72，72，76，77，78，81，81，82，85，85，86，88，9072出现了3次，出现的次数最多，故众数是72，从小到大排列最中间的两
21、个数是76，77，则中位数是76.5最大数为90，最小值为62，故极差为28，乙班的大众评审的支持票数：65，67，68，69，73，74，76，78，81，82，84，86，87，88，89，90，91，95，95，9895出现了2次，出现的次数最多，故众数是95，从小到大排列最中间的数是82，84，则中位数是83最大数为98，最小值为65，故极差为33，（II）共有6名选手进入决赛，其中有3名拥有“优先挑战权”所有的基本事件共=20种，符合题意的基本事件有=9种，故随机抽出3名，其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率P=17在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a2+c2b2=
22、ac（）求sin2+cos2B的值；（）若b=2，求ABC面积的最大值【考点】余弦定理【分析】（）利用余弦定理列出关系式，代入已知等式求出cosB的值，原式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，把cosB的值代入计算即可求出值；（）把b的值代入已知等式，并利用基本不等式求出ac的最大值，再由sinB的值，利用三角形面积公式求出面积的最大值即可【解答】解：（）在ABC中，由余弦定理可知，a2+c2b2=2accosB，由题意知a2+c2b2=ac，cosB=，又在ABC中，A+B+C=，sin=cos，则原式=cos2+cos2B=+2cos2B1=2cos2B+cosB=+=；（）b=2，s
23、inB=，由a2+c2b2=ac得：a2+c24=ac，即a2+c2=ac+42ac，整理得：ac，SABC=acsinBsinB=，则ABC面积的最大值为18已知三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，AB=AC，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点（I）求证：DE平面ABC；（II）求证：平面AEF平面BCC1B1【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（I）要证DE平面ABC，只需证明DE平行平面ABC内的直线DG（设G是AB的中点，连接DG）；（II）欲证平面AEF平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知，证AF平面BCC1B1即可【解答】证明：（I）
24、设G是AB的中点，连接DG，FG则DGEC，所以四边形DECG是平行四边形，所以DEGC，从而DE平面ABC（II）三棱柱ABCA1B1C1中，CC1底面ABC，AFCC1，AB=AC，F为BC中点，AFBC又BCCC1=C，AF平面BCC1B1，又AF平面AEF，平面AEF平面BCC1B119用部分自然构造如图的数表：用aij（ij）表示第i行第j个数（i，jN+），使得ai1=aii=i每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和设第n（nN+）行的第二个数为bn（n2）（1）写出bn+1与bn的关系，并求bn（n2）；（2）设数列cn前n项和为Tn，且满足，求证：Tn3【考点】数列的
25、求和；数列递推式【分析】（1）由题意可得bn+1=bn+n，n2，运用累加法，即可得到bn；（2）求得n2时，cn=2（），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理即可得到所求和，由不等式的性质，即可得证【解答】解：（1）由已知得b2=2，bn+1=bn+n，n2，当n2时，b3b2=2，b4b3=3，bnbn1=n1，累加得bnb2=2+3+n1=（n2）（n+1），则bn=1+n（n1）（n2）；（2）证明：由，由（1）可得n2时，cn=2（），前n项和为Tn=1+2（1+）=1+2（1）=3320已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x1，2，且函数f（x）在x=1和x=处都取得极
26、值（I）求实数a与b的值；（II）对任意x1，2，方程f（x）=2c存在三个实数根，求实数c的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断【分析】（1）求出f（x），由题意函数f（x）在x=1和x=处都取得极值列出方程求解即可（2）原题等价于函数与y=f（x）与函数y=2c两个图象存在三个交点，求出f（x）=3x2x2=（3x+2）（x1），求出极值，列出不等式求解即可【解答】（本小题满分13分）解：（1）f（x）=3x2+2ax+b由题意可知，解得经检验，适合条件，所以（2）原题等价于函数与y=f（x）与函数y=2c两个图象存在三个交点，由（1）知f（x）=3x2x2=（
27、3x+2）（x1），令（3x+2）（x1）=0，可得x=，x=1；x1，2，当x（1，），x（1，2）时，f（x）0，函数是增函数，x（，1）时，函数是减函数，函数的极大值为：f（）=c+，f（2）=2+cc+极小值为：f（1）=+c，f（1）= x1，2时，可得，21已知函数，其中a0（）求函数f（x）的单调区间；（）若直线xy1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（）设g（x）=xlnxx2f（x），求g（x）在区间1，e上的最小值（其中e为自然对数的底数）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）先求导函数，直接让导
28、函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间1，e上的单调性，进而求得其在区间1，e上的最小值【解答】解：（）因为函数f（x）=，f（x）=，f（x）00x2，f（x）0x0，或x2，故函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（，0）和（2，+），（）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，x3=ax+2a，由xy1=x1=0（x2a）（x1）=0x=1，x=把x=1代入得a=1，把x=代入得a=1，把x=代入得a=1（舍去），故所求实数a的值为1（）g（x）=xlnxx2f（x）=xlnxa（x1），g（x）=lnx+1a，解lnx+1a=0得x=ea1，故g（x）在区间（ea1，+）上递增，在区间（0，ea1）上递减，当ea11时，即0a1时，g（x）在区间1，e上递增，其最小值为g（1）=0；当1ea1e时，即1a2时，g（x）的最小值为g（ea1）=aea1；当ea1e，即a2时，g（x）在区间1，e上递减，其最小值为g（e）=e+aae2017年4月20日第21页（共21页）
