1、第1讲集合1集合的概念(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等构成两个集合的元素是一样的AB且BAAB子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素AB或BA真子集集合A是集合B的子集，但存在元素xB，且xAAB或BA续表表示关系文字语言符号语言结论任何一个集合是它本身的子集AA若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集AB，BCAC空集是任何
2、集合的子集，是任何非空集合的真子集AB(B)3集合的基本运算并集交集补集图形符号ABx|xA，或xBABx|xA，且xBUAx|xU，且xA1若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n1，非空真子集的个数为2n2.2AA，AAA，A(AB)，B(AB)3A，AAA，ABA，ABB.4ABABAB.5ABABAABB(UA)(UB)A(UB).6A(UA)；A(UA)U；U(UA)A.7(UA)(UB)U(AB)，(UA)(UB)U(AB)8如图所示，用集合A，B表示图中，四个部分所表示的集合分别是AB，A(UB)，B(UA)，U(AB)9用card(A)表示有限集合A
3、中元素的个数对任意两个有限集合A，B，有card(AB)card(A)card(B)card(AB)1(2022湖北武汉摸底)已知集合P2，1，0,1，集合Qy|y|x|，xP，则Q()A0,1 B0,2C0,1,2 D1,2答案C解析当x1时，y1；当x0时，y0；当x2时，y2.所以Q0,1,2故选C.2(2021新高考卷)设集合Ax|2x4，B2，3,4,5，则AB()A2 B2,3 C3,4 D2,3,4答案B解析因为Ax|2x4，B2,3,4,5，所以AB2,3故选B.3已知集合A，B均为全集U1,2,3,4的子集，且U(AB)4，A(UB)3，则B()A1,2 B1,2,4C2,4
4、 D答案A解析结合Venn图(如图)可知B1,2故选A.4已知集合A1,2，Bx|ax1，若ABB，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为()A. BC. D答案D解析由ABB，得BA，若B为空集，则方程ax1无解，解得a0；若B不为空集，则a0，由ax1，解得x，所以1或2，解得a1或a，则由实数a的所有可能的取值组成的集合为.故选D.5(2022云南昆明月考)已知集合P1，a，Q1，a2，若PQ，则a_.答案0解析因为PQ，P1，a，Q1，a2，所以aa2，解得a0或a1(舍去)6(2022聊城摸底)设全集UR，集合Ax|0x2，By|1y3，则(UA)B_.答案(，0)1，)解析因为Ax
5、|0x2，所以UAx|x2，又By|1y3，所以(UA)B(，0)1，)考向一集合的概念例1(1)设集合Mx|x2，a，则下列关系中正确的是()AaM BaMCaM DaM答案B解析符号“”“”仅表示元素与集合之间的关系，不能用来表示集合与集合之间的关系，故C，D错误a0x|yf(x)y|yf(x)(x，y)|yf(x)代表元素方程f(x)0的根不等式f(x)0的解函数yf(x)的自变量的取值函数yf(x)的函数值函数yf(x)图象上的点(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性1.(多选)(2022山东威海月考)已知集合Ax|x3k1，
6、kZ，则下列表示正确的是()A1A B11AC3k21A D34A答案BCD解析当k0时，x1，所以1A，所以A错误；令113k1，得kZ，所以11A，所以B正确；令343k1，得k11，所以34A，所以D正确；因为kZ，所以k2Z，则3k21A，所以C正确2(2022海口调研)已知集合A，则集合A中的元素个数为()A2 B3 C4 D5答案C解析xZ，且Z，2x的取值有3，1,1,3，x的值分别为5,3,1,1，故集合A中的元素个数为4.故选C.3(2022滨州联考)若集合Aa3,2a1，a24，且3A，则实数a_.答案0或1解析由题意知，可分三种情况讨论：当a33时，a0，经检验符合题意；
7、当2a13时，a1，此时2a1a24不满足集合中元素的互异性；当a243时，a1，经检验，a1符合题意综上可知，a0或1. 考向二集合间的基本关系例2(1)(2021潍坊四县5月联考)已知集合AxN|x2x60，以下可为A的子集的是()Ax|2x3 Bx|0x3C0,1,2 D1,1,2答案C解析AxN|x2x60xN|2x30,1,2，0,1,20,1,2故选C.(2)(2021无锡市天一中学高三下第三次调研)设a，bR，集合Px|(x1)2(xa)0，Qx|(x1)(xb)20，若PQ，则ab()A0 B2 C2 D1答案C解析由题意得，当a1时，P1，当a1时，P1，a；当b1时，Q1，
8、当b1时，Q1，b，因为PQ，所以当且仅当a1，b1时，符合题意，故ab2.故选C.(3)已知集合Ax|(x1)(x6)0，Bx|m1x2m1若BA，则实数m的取值范围为_.答案m2m1，即m2时，符合题意；当B时，有解得0m.综上，实数m的取值范围是m2或0m. 1判断集合间关系的方法(1)化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系(2)用列举法表示集合，从元素中寻找关系(3)利用数轴，在数轴上表示出两个集合(集合为数集)，从而确定集合与集合的关系2已知两个集合间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方
9、程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到4.(2021重庆一中高三月考)已知集合Ax|x22，xZ，则A的真子集的个数为()A3 B4 C6 D7答案D解析因为Ax|x22，xZ1,0,1，所以其真子集的个数为2317.故选D.5设Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，(1)若BA，则实数a的取值范围为_；(2)若AB，则实数a的取值范围为_.答案(1)a1或a1(2)a1解析由题意，得A4,0(1)BA，B或B4或B0或B4，0当B时，x22(a1)xa210无解，即4(a1)24(a21
10、)8a80，解得a1.当B4或B0时，x22(a1)xa210有两个相等的实数根，则8a80，a1，此时B0，符合条件当B4,0时，4和0是方程x22(a1)xa210的两个根，则解得a1.综上所述，a1或a1.(2)AB，B4,0由(1)知a1.多角度探究突破考向三集合的基本运算角度集合间的交、并、补运算例3(1)(2021新高考卷)设集合U1,2,3,4,5,6，A1,3,6，B2,3,4，则A(UB)()A3 B1,6 C5,6 D1,3答案B解析由题意可得UB1,5,6，故A(UB)1,6，故选B.(2)(2021日照三模)已知集合Ax|2x4，Bx|x22x30，则AB()A1,2)
11、 B(2,3C(1,3 D(，3答案D解析Ax|x2，Bx|1x3，AB(，3故选D.(3)(2021临沂三模)若集合A，B，U满足A(UB)，则下面结论中一定成立的是()ABA BABUCA(UB)U DB(UA)U答案D解析画出Venn图如右图，由图可知，A(UB)，AB，A错误；ABBU，B错误；A(UB)U，C错误；B(UA)U，D正确故选D. 1集合基本运算的求解策略(1)当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算(2)当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解对于端点处的取舍，可以单独检验2集合的交、并、补运算口诀交集元素仔细找，属于A且属于B
12、；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集6.(2021枣庄二模)已知集合Ax|yln x，ByZ|y2sinx，则AB()A(0,2 B0,2C1,2 D0,1,2答案C解析集合Ax|yln x(0，)，ByZ|y2sinx2，1,0,1,2，所以AB1,2故选C.7(2021淄博三模)已知全集UR，集合A，Bx|x|1，则如图阴影部分表示的集合是()A1,0) B1,0)1,2)C(1,2) D(0,1)答案C解析由图可知所求集合为A(UB)，A(0,2)，UB(，1)(1，)阴影部分表示的集合是(1,2)故选C.8(2021新高考八省联考)已知M，N
13、均为R的子集，且RMN，则M(RN)()A BM CN DR答案B解析解法一：RMN，MRN，据此可得M(RN)M.故选B.解法二：如图所示，设矩形区域ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合RM，矩形区域CDFG表示集合N，满足RMN，结合图形可得M(RN)M.故选B.角度利用集合运算求参数例4(1)(2021百校联盟联考)已知集合A2a1，a2,0，B1a，a5,9，且AB9，则a()A3,5 B3,5 C3 D5答案C解析易知a29或2a19，a3或a5.当a3时，则1aa52，不满足集合中元素的互异性，舍去当a5时，则AB9,0，与题设条件AB9矛盾，
14、舍去当a3时，A7,9,0，B4，8,9，满足AB9，故a3.(2)(2022潍坊一模)已知集合Ax|y，Bx|axa1，若ABA，则实数a的取值范围为()A(，32，)B1,2C2,1D2，)答案C解析集合Ax|yx|2x2，Bx|axa1，ABA，BA，解得2a1. 根据集合的运算结果求参数的值或取值范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范
15、围9.(2021重庆八中模拟)已知集合Ax|1xm，若A(RB)，则m的取值范围为()A(，1 B(，2C1，) D2，)答案A解析A(RB)，AB，又Ax|1xm，m1.10已知集合Py|y2y20，Qx|x2axb0，若PQR，PQ(2,3，则ab_.答案5解析Py|y2y20y|y2或y0，则B.若A与B构成“全食”或“偏食”，则1或，解得a1或a4.综上，a的值为0或1或4.答题启示解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质
16、解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质对点训练1如图所示的Venn图中，A，B是两个非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合若x，yR，Ax|y ，By|y3x，x0，则AB为()Ax|0x2Bx|12答案D解析Ax|0x2，By|y1，ABx|x0，ABx|122集合Aa1，a2，a3，an(其中n2)，如果A中的元素满足a1a2ana1a2an，就称A为“复活集”，给出下列结论：集合是“复活集”；若a1，a2R，且a1，a2是“复活集”，则a1a24；若a1，a2N*，则a1，a2不可能是“复活集”其中正确的结论是_.(填序号)答案解析对于，1
17、，故正确；对于，不妨设a1a2a1a2t，则由根与系数的关系知a1，a2是一元二次方程x2txt0的两个根，由(t)24t0，可得t4，故错误；对于，不妨设a1a2a3an，由a1a2ana1a2annan，得a1a2an1n，当n2时，有a10xN|x2，又集合ByN|y2|x1|，xRyN|y1，所以(RA)B1,2故选D.10定义集合的商集运算为，已知集合A2,4,6，B，则集合B中的元素个数为()A6 B7 C8 D9答案B解析由题意知，B0,1,2，则B，共有7个元素故选B.二、多项选择题11(2022烟台月考)已知集合Ax|12DA(RB)x|2x3答案BD解析Ax|1x3，Bx|
18、x|2x|2x2，ABx|1x3x|2x2x|1x2，A不正确；ABx|1x3x|2x2x|2x3，B正确；RBx|x2，A(RB)x|x1，A(RB)x|2x3，C不正确，D正确12(2022河北唐山模拟)由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足MNQ，MN，M中的每一个元素小于N中的每一个元素，则称(M，
19、N)为戴德金分割下列结论中可能成立的是()AMx|x0是一个戴德金分割BM没有最大元素，N有一个最小元素CM有一个最大元素，N有一个最小元素DM没有最大元素，N也没有最小元素答案BD解析因为Mx|x0，MNx|x0Q，故A错误；设MxQ|x0，NxQ|x0，满足戴德金分割，则M中没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；若M有一个最大元素，N有一个最小元素，则不能同时满足MNQ，MN，故C错误；设MxQ|x，NxQ|x ，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确三、填空题13已知集合A，Bx2，xy,0，若AB，则xy_.答案2解析显然y1，即A2x,0,1，Bx2，x
20、1,0若x11，则x0，集合A中元素不满足互异性，舍去x21，且2xx1，x1，故xy2.14(2022湖北宜昌摸底)已知集合A1,3，B1，m，若BA，则m_.答案0或3解析由BA，得m3或m，解m，得m0或m1，由集合元素的互异性知m1.m0或3.15设集合Ax|(xa)21，且2A,3A，则实数a的取值范围为_.答案(1,2解析Ax|(xa)21x|xa|1x|a1xa1因为2A,3A，所以解得1a2.故实数a的取值范围是(1,216(2022德州月考)已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.答案11解析AxR|x2|3xR|5x1，由A
21、B(1，n)，可知m1，则Bx|mx2，画出数轴，可得m1，n1.四、解答题17已知集合A，集合Bx|1xa2(1)求集合A；(2)若BA，求实数a的取值范围解(1)由10，即0得x1或x2，所以集合Ax|x1或x2(2)集合Bx|1xa2x|1ax2a，由BA得2a3或a3，所以实数a的取值范围为(，3(3，)18(2022临沂模拟)在A，Ax|x22x30，Ax|x1|2这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答问题：设集合_，集合Bx|(x2m)(xm21)0(m1)，(1)当m1时，求AB，B(RA)；(2)若ABA，求实数m的取值范围解(1)当m1时，Bx|(x2)(x2)0x|2x1100(x3)(x1)0，解得1x3，所以Ax|1x3，所以ABx|1x2，RAx|x1或x3，B(RA)x|x2或x3若选：x22x30(x3)(x1)0，解得1x3，所以Ax|1x3，下同选.若选：由|x1|2得2x12，解得1x3，所以Ax|1x3，下同选.(2)由(1)知Ax|1x0，即m212m，B(2m，m21)，因为ABA，所以BA，所以解得m.所以实数m的取值范围为.
