1、本章整合1.锐角三角函数的概念【例1】如图,BD是菱形ABCD的对角线,CEAB于点E,交BD于点F,且E是AB中点,则tanBFE的值是()分析连接AC,根据菱形的性质与已知条件,易证ABC是等边三角形,从而可知BFE=60.解析:如图,连接AC.CE垂直平分AB,BC=AC.又四边形ABCD是菱形,AB=BC,ABC是等边三角形,ABC=60,ABD=ABC=30,BFE=60,tanBFE=.故选D.答案:D点拨除像该例恰好遇到特殊角外,解决该类问题的常用方法是设参数法,即先用含参数的代数式表示出各边长,再利用锐角三角函数的定义求锐角三角函数值.跟踪训练1.如图,在ABC中,C=90,A
2、B=5,BC=3,则cos A的值是()答案解析解析关闭答案解析关闭2.与特殊角的三角函数值有关的计算【例2】(1)计算sin245+cos 30tan 60,其结果是()(2)在锐角三角形ABC中,如果A,B满足分析(1)把特殊角的三角函数值直接代入计算即可.(2)根据绝对值与平方的非负性可以得到A的正切值与B的余弦值,进而可先求出两角的度数,再利用三角形内角和定理计算C的大小.又A,B都为锐角,A=45,B=60,C=180-45-60=75,故答案为75.答案:(1)A(2)75点拨熟记特殊角的三角函数值与实数的运算法则是进行三角函数计算的关键.另外,由特殊锐角的三角函数值反求角的度数,
3、常与“几个非负数的和为0,则这几个非负数的值分别为0”的性质密切联系.答案答案关闭3.解直角三角形【例3】如图,已知ABC.按以下步骤作图:以A为圆心,AB长为半径画弧;以C为圆心,CB长为半径画弧,两弧相交于点D;连接BD,与AC交于点E,连接AD,CD.(1)求证:ABCADC;(2)若BAC=30,BCA=45,AC=4,求BE的长.分析(1)根据尺规作图步骤直接利用“SSS”判定方法证得结论;(2)先证明ACBE,得出RtABE和RtBEC.设BE=x,先利用特殊角的三角函数表示相关线段长度,再利用AE+CE=AC构建方程求值.(1)证明在ABC与ADC中,由作图步骤,可知AB=AD,
4、BC=CD.AC=AC,ABCADC(SSS).(2)解由(1)得AB=AD,BAC=DAC,AEBD,即ACBE.设BE=x,在RtABE中,BAC=30,点拨解直角三角形时,要结合图形,根据已知条件选择合适的关系式进行计算.另外,注意把解直角三角形与求锐角的三角函数值区别开来,前者是求直角三角形中未知的边和角,后者是计算锐角的正弦、余弦与正切值.跟踪训练3.如图,在ABC中,ABC=90,A=30,D是边AB上一点,BDC=45,AD=4,求BC的长(结果保留根号).答案答案关闭4.解直角三角形的实际应用【例4】“为了安全,请勿超速”.如图,一条公路建成通车,在某直线路段MN限速60 km
5、/h,为了检测车辆是否超速,交管部门在公路MN旁设立了电子探测点C,从电子探测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5 s,已知CAN=45,CBN=60,BC=200 m.此车超速了吗?请说明理由.(参考数据:分析过点C作CEMN于点E,先在RtBCE中利用正弦函数和余弦函数求出CE和BE的长,再在RtACE中,利用正切函数,求得AE的长;由于小车从点A行驶到点B用时5 s,即可求得小车的速度,与60km/h比较大小,即可判断该车是否超速.点拨利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是转化和构造,即把实际问题转化为数学问题,并构造直角三角形求解.解题时要认真审题,弄清仰角、俯角、方向角、坡度的含
6、义,并注意检验数学问题的答案是否符合实际意义.跟踪训练4.如图,初三年级某同学要测量校园内的旗杆AB的高度.在地面上点C处用测角仪测得旗杆顶点A的仰角AFE=60,再沿着直线BC后退8 m到点D,在点D又测得旗杆顶点A的仰角AGE=45.已知测角仪的高度为1.6 m,求旗杆AB的高度.(的近似值取1.7,结果保留一位小数)答案答案关闭67891011121312345141516答案答案关闭B67891011121312345141516答案答案关闭D678910111213123451415163.如图,在ABC中,C=90,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则()A.c=bsin BB
7、.b=csin BC.a=btan BD.b=ctan B答案答案关闭B678910111213123451415164.如图,某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点O旋转到AB的位置,已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角AOA=,则栏杆A端升高的高度为()答案答案关闭B678910111213123451415165.如图,小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度,他作了如下操作:(1)在点C处放置测角仪,测得旗杆顶的仰角ACE=;(2)量得测角仪的高度CD=a;(3)量得测角仪到旗杆的水平距离DB=b.利用锐角三角函数解直角三角形的知识,旗杆的高度可表示为()答案答案关闭A67891011121
8、3123451415166.如图,在45的正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上,则sinACB的值为()答案答案关闭D67891011121312345141516答案答案关闭B67891011121312345141516答案答案关闭C678910111213123451415169.如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图.自动扶梯AB的倾斜角为30,在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60,A,C之间的距离为4 m,则自动扶梯的垂直高度BD=m.(结果保留根号)答案答案关闭6789101112131234514151610.如图,我市在建高铁的某
9、段路基横断面为梯形ABCD,DCAB.BC的长为6米,坡角为45,AD的坡角为30,则AD的长为米.(结果保留根号)答案答案关闭6789101112131234514151611.如图,小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15,B处的俯角为60.若斜面坡度为,则斜坡AB的长为米.答案答案关闭6789101112131234514151612.如图,某校教学楼后面紧邻着一个山坡,坡上面是一块平地.BCAD,BEAD,斜坡AB长为26 m,斜坡AB的坡比为125.为了减缓坡面,防止山体滑坡,学校决定对该斜坡进行改造.经地质人员勘测,当坡角不超过50时,可确保山体不滑坡.若改造时保持坡脚A不动
10、,则坡顶B沿BC至少向右移m时,才能确保山体不滑坡.(取tan 50=1.2)答案答案关闭1067891011121312345141516解:由题意可知,AB=20米,DAB=30,C=90,DBC=45,则BCD为等腰直角三角形.设CB=CD=x米,解得x27,即CD27.故古树CD的高度约为27米.6789101112131234514151614.某市为了加快5G网络信号覆盖,在市区附近小山顶架设信号发射塔,如图所示.小军为了知道发射塔的高度,从地面上的一点A测得发射塔顶端点P的仰角是45,向前走60 m到达点B测得点P的仰角是60,测得发射塔底部点Q的仰角是30.请你帮小军计算出信号
11、发射塔PQ的高度.(结果精确到0.1 m,1.732)67891011121312345141516解:延长PQ交直线AB于点C,设PC=x m.在RtAPC中,A=45,则AC=PC=x m.PBC=60,BPC=30.6789101112131234514151615.为了维护我国海洋权力,海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理.如图,正在执行巡航任务的海监船以60海里/时的速度向正东方向航行,在A处测得灯塔P在北偏东60方向上,海监船继续向东航行1小时到达B处,此时测得灯塔P在北偏东30方向上.(1)求B处到灯塔P的距离;(2)已知灯塔P的周围50海里内有暗礁,则海监船继续向正东方向航行
12、是否安全?67891011121312345141516解:(1)过点P作PDAB于点D,由题意可知AB=601=60(海里),PAB=30,PBD=60,APB=PBD-PAB=60-30=30,APB=PAB,PB=AB=60海里.故B处到灯塔P的距离为60海里.678910111213123451415166789101112131234514151616.如图,在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B,D.某海岛上的观测塔A距离海岸5海里,在A处测得B位于南偏西22方向.一艘渔船从D出发,沿正北方向航行至C处,此时在A处测得C位于南偏东67方向,求此时观测塔A与渔船C之间的距离.(结果精确到0.1海里)67891011121312345141516解:如图,过点A作AEBD于点E,过点C作CFAE于点F,则四边形CDEF是矩形.BAE=22,AE=5海里,DE=BD-BE=6-2=4(海里).四边形CDEF是矩形,CF=DE=4海里,故此时观测塔A与渔船C之间的距离为4.3海里.
