1、2.2函数的单调性1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI，都有f(x
2、)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值概念方法微思考1在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对x1，x2D，x1x2，0f(x)在D上是增函数；对x1，x2D，x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在D上是增函数减函数类似2写出函数yx(a0)的增区间提示(，和，)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数()(2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1
3、，)()(3)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(4)所有的单调函数都有最大值和最小值()题组二教材改编2.如图是函数yf(x)，x4,3的图象，则下列说法正确的是()Af(x)在4，1上是减函数，在1,3上是增函数Bf(x)在区间(1,3)上的最大值为3，最小值为2Cf(x)在4,1上有最小值2，有最大值3D当直线yt与f(x)的图象有三个交点时1t2答案C3函数y在2,3上的最大值是_答案24若函数f(x)x22mx1在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_答案(，2解析由题意知，2，)m，)，m2.题组三易错自纠5函数f(x)(2x2x)的单调增区间是_；f(x)的值域是_答案
4、3，)6函数yf(x)是定义在2,2上的减函数，且f(a1)f(2a)，则实数a的取值范围是_答案1,1)解析由条件知解得1a1.7设函数f(x)是单调函数则a的取值范围是_；若f(x)的值域是R，则a_.答案(0,22解析当x1时，f(x)x，则f(x)10恒成立，f(x)在1，)上单调递增，f(x)minf(1)2，当x0，得f(x)的定义域为x|x4或x0)在(，1)上的单调性解方法一x1，x2(，1)，且x1x2，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(，1)上单调递减方法二f(x)，
5、(x1)20，a0，f(x)0时，f(x)在(，1)上是减函数思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性跟踪训练1(1)(2019北京)下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是()Ay By2xCy Dy答案A解析y，y2xx，y，y的图象如图所示由图象知，只有y在(0，)
6、上单调递增(2)函数f(x)|x2|x的单调递减区间是_答案1,2解析f(x)画出f(x)的大致图象(如图所示)，由图知f(x)的单调递减区间是1,2(3)函数f(x)(6x2x1)的单调增区间为_答案解析由6x2x10得，f(x)的定义域为.由复合函数单调性知f(x)的增区间即y6x2x1的减区间(定义域内)，f(x)的单调增区间为. 函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(1)若函数f(x)x2，设alog54，b，c，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是()Af(a)f(b)f(c) Bf(b)f(c)f(a)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(a)f(b)答案D解析因
7、为函数f(x)x2在(0，)上单调递增，而0log53log541，所以f(b)f(a)f(c)故选D.(2)已知定义在R上的函数f(x)2|xm|1(mR)为偶函数记af(log22)，bf(log24)，cf(2m)，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcabCacb Dcba答案B解析定义在R上的函数f(x)2|xm|1(mR)为偶函数，m0，f(x)2|x|1，当x(，0)时，f(x)是减函数，当x(0，)时，f(x)是增函数af(log22)f(1)，bf(log24)f(2)，cf(2m)f(0)，a，b，c的大小关系为caf(x)，则实数x的取值范围是_答案(2,1)解析根据
8、函数f(x)的图象可知，f(x)是定义在R上的增函数2x2x，2x1.(2)已知函数f(x)ln x2x，若f(x24)2，则实数x的取值范围是_答案(，2)(2，)解析因为函数f(x)ln x2x在定义域(0，)上单调递增，且f(1)ln 122，所以由f(x24)2得，f(x24)f(1)，所以0x241，解得x2或2x1)是增函数，故a1，所以a的取值范围为10且a1，函数u在0,1上是减函数由题意可知函数ylogau在0,1上是增函数，a1.又u在0,1上要满足u0，得a2.综上得1a2.思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小(2)求最值(3)解不等式利用函数的单
9、调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域(4)利用单调性求参数依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值跟踪训练2(1)(2019唐山模拟)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是_答案(1,0)(0,1)解析因为f(x)在R上为减函数，且f1，即0|x|1，所以0x1或1x0.(2)函数f(x)的最大值为_答案2解析当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x0在1,2上恒成立解得4a5，实数a的取值范围是4,5)
