1、第4课时导数及其应用课后篇巩固提升基础巩固1.已知f(x)=x3-92x2+6x-a,若对任意实数x,f(x)m恒成立,则m的最大值为()A.3B.2C.1D.-34解析f(x)=3x2-9x+6,因为对任意实数x,f(x)m恒成立,即3x2-9x+(6-m)0恒成立,所以=81-12(6-m)0,解得m-34,即m的最大值为-34,故选D.答案D2.设函数f(x)的定义域为R,x0(x00)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.xR,f(x)f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点解析f(x)与-f(-x)的图象
2、关于原点对称,故x0(x00)是f(x)的极大值点时,-x0是-f(-x)的极小值点,故选D.答案D3.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+)内单调递增,则k的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)解析由f(x)=k-1x,又f(x)在(1,+)内单调递增,则f(x)0在x(1,+)上恒成立,即k1x在x(1,+)上恒成立.又当x(1,+)时,01x0,因此函数f(x)在R上单调递增,且f(-2)=-530,因此函数f(x)零点的个数为1,故选B.答案B5.若0x1x2ln x2-ln x1B.ex2-ex1x1ex2D.x2ex1x1ex2解析令f(x)=
3、exx,则f(x)=xex-exx2=ex(x-1)x2.当0x1时,f(x)0,即f(x)在(0,1)内单调递减,0x1x21,f(x2)f(x1),即ex2x2x1ex2,故选C.答案C6.函数y=xex在其极值点处的切线方程为.解析令y=(x+1)ex=0,得x=-1,则切点为-1,-1e.函数在极值点处的导数为0,即切线斜率为0,则切线方程为y=-1e.答案y=-1e7.已知函数f(x)=axln x,x(0,+),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数,若f(1)=3,则a的值为.解析因为f(x)=axlnx,所以f(x)=alnx+ax1x=a(lnx+1).由f(1)=3得a(
4、ln1+1)=3,所以a=3.答案38.已知函数f(x)=ex(ax2-2x+2),其中a0.(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+e2y-1=0垂直,求实数a的值;(2)讨论f(x)的单调性.解f(x)=exax2+(2a-2)x(a0).(1)由题意得f(2)-1e2=-1,解得a=58.(2)令f(x)=0,得x1=0,x2=2-2aa.当0a1时,f(x)的单调递增区间为-,2-2aa,(0,+),单调递减区间为2-2aa,0.9.已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2)x,其中a0得x0,25或x(2,+),故函数f(x)的单调递增区间为0,25和(2,+).(2)因为
5、f(x)=(10x+a)(2x+a)2x,a0,由f(x)=0得x=-a10或x=-a2.当x0,-a10时,f(x)单调递增;当x-a10,-a2时,f(x)单调递减;当x-a2,+时,f(x)单调递增.易知f(x)=(2x+a)2x0,且f-a2=0.当-a21时,即-2a0时,f(x)在1,4上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=22-2,均不符合题意.当1-a24时,即-8a4时,即a0,f(x)在(0,1)内单调递增;当x(1,+)时,f(x)0,所以b1-1x-lnxx恒成立.令g(x)=1-1x-lnxx,可得g(x)=lnxx2,因此g(x)在(0,1)内
6、单调递减,在(1,+)内单调递增,所以g(x)min=g(1)=0,故b的取值范围是(-,0.能力提升1.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.(-,0)B.0,12C.(0,1)D.(0,+)解析由题意知,x0,f(x)=lnx+1-2ax,由于函数f(x)有两个极值点,则f(x)=0有两个不相等的正根,显然a0时不合题意,必有a0.令g(x)=lnx+1-2ax,则g(x)=1x-2a,令g(x)=0,得x=12a,故g(x)在0,12a内单调递增,在12a,+内单调递减,所以g(x)在x=12a处取得最大值,即f12a=ln12a0,所以0a12
7、.答案B2.若函数f(x)定义域为R,且xf(x)2f(0)B.f(-1)+f(1)2f(0)C.f(-1)+f(1)=2f(0)D.f(-1)+f(1)与2f(0)的大小不确定解析由于xf(x)0时f(x)0,当x0,即函数f(x)在(-,0)内单调递增,在(0,+)内单调递减,因此f(-1)f(0),f(1)f(0),故f(-1)+f(1)0时,实数b的最小值是.解析设切点为(x0,alnx0),则y=alnx上此点处的切线为y=ax0x+alnx0-a,故ax0=2,alnx0-a=b,b=alna2-a=alna-aln2-a(a0),b=lna2,b在(0,2)上单调递减,在(2,+
8、)上单调递增.b的最小值为-2.答案-25.已知函数f(x)=aex-ln x-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a1e时,f(x)0.解(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aex-1x.由题设知,f(2)=0,所以a=12e2.从而f(x)=12e2ex-lnx-1,f(x)=12e2ex-1x.当0x2时,f(x)2时,f(x)0.所以f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+)内单调递增.(2)当a1e时,f(x)exe-lnx-1.设g(x)=exe-lnx-1,则g(x)=exe-1x.当0x1时,g(x)1时,g(x)0.所
9、以x=1是g(x)的最小值点.故当x0时,g(x)g(1)=0.因此,当a1e时,f(x)0.6.设函数f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.解(1)因为f(x)=ax2-(3a+1)x+3a+2ex,所以f(x)=ax2-(a+1)x+1ex.所以f(2)=(2a-1)e2.由题设知f(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=12.(2)由(1)得f(x)=(ax-1)(x-1)ex.当a=0时,令f(x)=0,得x=1.f(x),f(x)随x的变化情况如下表:
10、x(-,1)1(1,+)f(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.当a0时,令f(x)=0,得x1=1a,x2=1.当x1=x2,即a=1时,f(x)=(x-1)2ex0,f(x)在R上单调递增,f(x)无极值,不合题意.当x1x2,即0a1时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-,1)11,1a1a1a,+f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.当x11时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x-,1a1a1a,11(1,+)f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增f(x)在x=1处取得极小值,即a1满足题意.当a0时,令f(x)=0,得x1=1a,x2=1.f(x),f(x)随x的变化情况如下表:x-,1a1a1a,11(1,+)f(x)-0+0-f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+).
