1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-ABCD中,向量AB、AD、BD是()A.有相同起点的向量B.等长的向量C.共面向量D.不共面向量解析向量AB、AD、BD显然不是有相同起点的向量,A不正确;由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B不正确.又AD-AB=BD=BD,AB,AD,BD共面,C正确,D不正确.答案C2.已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),则下列结论正确的是()A.ac,bcB.ab,acC.
2、ac,abD.以上都不对解析a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),ab=-4+0+4=0,ab.-4-2=-6-3=21,ac.答案C3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=()A.D1B1B.D1BC.DB1D.BD1解析如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,BA+BC+DD1=(BA+BC)+DD1=BD+DD1=BD1.答案D4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若AB=a,AA1=c,BC=b,则BM可表示为()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b+cD.12a-12b+c
3、解析BM=BB1+B1M=c+12(BA+BC)=c+12(-a+b)=-12a+12b+c.答案A5.在四棱锥P-ABCD中,AB=(4,-2,3),AD=(-4,1,0),AP=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h等于()A.1B.2C.13D.26解析设平面ABCD的法向量为n=(x,y,z),则nAB=0,nAD=0,即4x-2y+3z=0,-4x+y=0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n=(3,12,4),四棱锥的高h=|APn|n|=2613=2.答案B6.已知两不重合的平面与平面ABC,若平面的法向量为n1=(2,-3,1),AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1)
4、,则()A.平面平面ABCB.平面平面ABCC.平面、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能解析由题意,n1AB=21+(-3)0+1(-2)=0,得n1AB,n1AC=21+(-3)1+11=0,得n1AC,所以n1平面ABC,所以平面的法向量与平面ABC的法向量共线,则平面平面ABC.答案A7.直线AB与直二面角-l-的两个面分别交于A,B两点,且A,B都不在棱l上,设直线AB与,所成的角分别为和,则+的取值范围是()A.0+90B.0+90C.90+180D.+=90解析如图,分别过点A,B向平面,作垂线,垂足为A1,B1,连接BA1,AB1.由已知,所以AA1,BB1,因此BAB1=,
5、ABA1=.由最小角定理得BAA1,而BAA1+=90,故+=+90-BAA190,当ABl时,+=90,应选B.答案B8.长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析长方体A1A2A3A4-B1B2B3B4的底面为边长为1的正方形,高为2,建立如图的空间直角坐标系,则A1(1,1,0),A2(0,1,0),A3(0,0,0),A4(1,0,0),B1(1,1,2),B2(0,1,2),B3(0,0,2),B4(1,0,2),则A1B2=(-1,0,2)
6、,与A1B1=(0,0,2)相等的向量为A2B2=A3B3=A4B4,此时A1B2A1B1=22=4,与A1B4=(0,-1,2)相等的向量为A2B3,此时A1B2A1B4=22=4,与A4B1=(0,1,2)相等的向量为A3B2,此时A1B2A4B1=22=4,与A2B1=(1,0,2)相等的向量为A3B4,此时A1B2A2B1=-1+4=3,与A1B2=(-1,0,2)相等的向量为A4B3,此时A1B2A1B2=1+4=5,体对角线向量为A1B3=(-1,-1,2),此时A1B2A1B3=1+4=5,A2B4=(1,-1,2),A1B2A2B4=-1+4=3,A3B1=(1,1,2),A1
7、B2A3B1=-1+4=3,A4B2=(-1,1,2),A1B2A4B2=1+4=5,综上集合x|x=A1B2AiBj,i1,2,3,4,j1,2,3,4=3,4,5,集合中元素的个数为3个.答案C二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9.设a,b,c是空间一个基底,下列选项中正确的是()A.若ab,bc,则acB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zcD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底
8、解析由a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若ab,bc,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.答案BCD10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(ab)c=bcB.(a+b)c=a(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|解析A.左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左
9、边=(4,2,2)(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)(2,5,-4)=2+10-12=0,左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=59,a-b-c=(-1,-3,7),|a-b-c|=59,左边=右边,因此正确.故BCD正确.答案BCD11.已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列说法中正确的是()A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3A1B12B.A1C(A1B1-A1A)=0C.向量AD1与向量A1B的
10、夹角是60D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|ABAA1AD|解析已知ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以(A1A+A1D1+A1B1)2=A1A2+A1D12+A1B12=3A1B12,所以A正确;A1B1-A1A=AB1,AB1A1C,A1CAB1=0,故B正确;ACD1是等边三角形,AD1C=60,又A1BD1C,异面直线AD1与A1B所成的夹角为60,但是向量AD1与向量A1B的夹角是120,故C不正确;ABAA1,ABAA1=0,故|ABAA1AD|=0,因此D不正确.答案AB12.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下四个结论:ACBD;ACD是
11、等边三角形;AB与平面BCD所成的角为60;AB与CD所成的角为60.其中正确的结论有()A.B.C.D.解析如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD的边长为2,则D(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以AC=(0,-1,1),BD=(2,0,0),CD=(1,0,-1),AD=(1,-1,0),AB=(-1,-1,0),ACBD=0,故ACBD,正确.又|AC|=2,|CD|=2,|AD|=2,所以ACD为等边三角形,正确.对于,OA为平面BCD的一个法向量,cos=ABOA|AB|OA|=(-1,-1,0)(0,1,0)21=-12=-2
12、2.因为直线与平面所成的角0,90,所以AB与平面BCD所成的角为45,故错误.又cos=ABCD|AB|CD|=(-1,-1,0)(1,0,-1)22=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB与CD所成的角为60,故正确.答案ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.棱长为a的正四面体中,ABBC+ACBD=.解析棱长为a的正四面体中,AB=BC=a,且AB与BC的夹角为120,ACBD.ABBC+ACBD=aacos120+0=-a22.答案-a2214.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2).若2a-b与b垂直,则|a|=.解析a=(1,n,2)
13、,b=(-2,1,2),2a-b=(4,2n-1,2).2a-b与b垂直,(2a-b)b=0,-8+2n-1+4=0,解得n=52,a=1,52,2,|a|=1+254+4=352.答案35215.设PARtABC所在的平面,BAC=90,PB、PC分别与成45和30角,PA=2,则PA与BC的距离是;点P到BC的距离是.解析作ADBC于点D,PA面ABC,PAAD.AD是PA与BC的公垂线.易得AB=2,AC=23,BC=4,AD=3,连接PD,则PDBC,P到BC的距离PD=7.答案3716.已知向量m=(a,b,0),n=(c,d,1),其中a2+b2=c2+d2=1,现有以下命题:向量
14、n与z轴正方向的夹角恒为定值(即与c,d无关);mn的最大值为2;(m,n的夹角)的最大值为34;若定义uv=|u|v|sin,则|mn|的最大值为2.其中正确的命题有.(写出所有正确命题的序号)解析取z轴的正方向单位向量a=(0,0,1),则cos=na|n|a|=1c2+d2+121=12=22,向量n与z轴正方向的夹角恒为定值4,命题正确;mn=ac+bda2+c22+b2+d22=a2+c2+b2+d22=1+12=1,当且仅当a=c,b=d时取等号,因此mn的最大值为1,命题错误;由可得|mn|1,-1mn1,cos=mn|m|n|=ac+bda2+b2c2+d2+12-112=-2
15、2,的最大值是34,命题正确;由可知:-22cos22,434,22sin1,mn=|m|n|sin121=2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是.答案四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱AM的长为3,且AM和AB,AD的夹角都是60,N是CM的中点,设a=AB,b=AD,c=AM,试以a,b,c为基向量表示出向量BN,并求BN的长.解BN=BC+CN=AD+12CM=AD+12(AM-AC)=AD+12AM-(AD+AB)=-12AB+12AD+12AM.所以BN=
16、-12a+12b+12c,|BN|2=BN2=-12a+12b+12c2=14(a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc)=174.所以|BN|=172,即BN的长为172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,底面边长为2.(1)设侧棱长为1,求证:AB1BC1;(2)设AB1与BC1所成角为3,求侧棱的长.(1)证明AB1=AB+BB1,BC1=BB1+BC.因为BB1平面ABC,所以BB1AB=0,BB1BC=0.又ABC为正三角形,所以=-=-3=23.因为AB1BC1=(AB+BB1)(BB1+BC)=ABBB1+ABBC+BB12+BB1BC=|AB|BC|cos+
17、BB12=-1+1=0,所以AB1BC1.(2)解由(1)知AB1BC1=|AB|BC|cos+BB12=BB12-1.又|AB1|=AB2+BB12=2+BB12=|BC1|,所以cos=BB12-12+BB12=12,所以|BB1|=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=AB,b=AC.(1)若|c|=3,且cBC,求向量c;(2)已知向量ka+b与b互相垂直,求k的值;(3)求ABC的面积.解(1)空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=AB,b=AC,BC=(3,0,-4
18、)-(1,-1,-2)=(2,1,-2),|c|=3,且cBC,c=mBC=m(2,1,-2)=(2m,m,-2m),|c|=(-2m)2+(-m)2+(2m)2=3|m|=3,m=1,c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).(2)由题得a=(-1,-1,0),b=(1,0,-2),ka+b=k(-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k,-k,-2),向量ka+b与b互相垂直,(ka+b)b=1-k+4=0,解得k=5.k的值是5.(3)AB=(-1,-1,0),AC=(1,0,-2),BC=(2,1,-2),cos=ABAC|AB|AC|=-125=-110,sin=1-110=3
19、10,SABC=12|AB|AC|sin=1225310=32.20.(12分)已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.(1)用向量法证明E,F,G,H四点共面;(2)用向量法证明:BD平面EFGH;(3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O,有OM=14(OA+OB+OC+OD).证明(1)如图,连接BG,BD=2EH,BC=2BF,则EG=EB+BG=EB+12(BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH,由共面向量定理的推论知E、F、G、H四点共面.(2)因为EH=AH-AE=12AD-12AB=12(AD-AB)=12BD.所以EHBD,又E
20、H平面EFGH,BD平面EFGH,所以BD平面EFGH.(3)连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG,由(2)知EH=12BD,同理FG=12BD,所以EH=FG,EHFG,EH=FG,所以EG、FH交于一点M且被M平分,所以OM=12(OE+OG)=1212(OA+OB)+12(OC+OD)=14(OA+OB+OC+OD).21.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.解取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AEBC,从而AEAD,A
21、E=AB2-BE2=AB2-(BC2)2=5.以A为坐标原点,AE的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知,A(0,0,0),P(0,0,4),M(0,2,0),C(5,2,0),N52,1,2,PM=(0,2,-4),PN=52,1,-2,AN=52,1,2.设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则nPM=0,nPN=0,即2y-4z=0,52x+y-2z=0,可取n=(0,2,1).于是|cos|=|nAN|n|AN|=8525.设AN与平面PMN所成的角为,则sin=8525,直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为8525.22.(12分)如图,在四棱锥P-
22、ABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADBC,ADC=90,平面PAD底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12AD=1,CD=3.(1)求证:平面PBC平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60?(1)证明ADBC,Q为AD的中点,BC=12AD,BCQD,BC=QD,四边形BCDQ为平行四边形,BQCD.ADC=90,BCBQ.PA=PD,AQ=QD,PQAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PQ平面ABCD,PQBC.又PQBQ=Q,BC平面PQB.BC平面PBC,平面PBC平面PQB.(2)解
23、由(1)可知PQ平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,3),B(0,3,0),C(-1,3,0),QB=(0,3,0),DC=(0,3,0),DP=(1,0,3),PC=(-1,3,-3),PC=(-1)2+(3)2+(-3)2=7.设PM=PC,则PM=(-,3,-3),且01,得M(-,3,3-3),QM=(-,3,3(1-).设平面MBQ的法向量为m=(x,y,z),则QMm=0,QBm=0,即-x+3y+3(1-)z=0,3y=0.令x=3,则y=0,z=1-,平面MBQ的一个法向量为m=3,0,1-.设平面PDC的法向量为n=(x,y,z),则DCn=0,DPn=0,即3y=0,x+3z=0.令x=3,则y=0,z=-3,平面PDC的一个法向量为n=(3,0,-3).平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60,cos60=|nm|n|m|=|33-31-|123+(1-)2=12,=12.PM=12PC=72.即当PM=72时,平面QMB与平面PDC所成的角大小为60.
