1、河北省衡水市桃城区第十四中学2019-2020学年高一数学下学期第二次综合测试试题（含解析）一、选择题（本题共20道小题，每小题5分，共100分）1. 定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，下列结论一定成立的有（ ）A. 在方向上的投影为B. C. D. 若，则与垂直【答案】B【解析】【分析】根据向量的新定义运算，以及向量的投影的定义和垂直的条件，逐项运算，即可求解.【详解】由向量投影的定义运算，其中表示，的夹角，则在方向上的投影为，所以A显然不成立；由，所以B成立；有，当时不成立，所以C不成立；由，得，即两向量平行，故D不成立.综上所述，只有选项B成立.
2、故选：B.【点睛】本题主要考查了向量的新定义的运算，以及向量的投影、向量的垂直的条件，其中解答中正确理解向量的新定义运算，结合向量的投影和垂直条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2. 如图，中，与交于，设，则为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】延长交于点，由于与交于，可知：点是的重心，利用三角形重心的性质和向量的平行四边形法则即可得到答案【详解】延长交于点；与交于，点是的重心，又 ，则为；故答案选A【点睛】本题考查三角形重心的性质和向量平行四边形法则，属于基础题3. 如图，用向量，表示向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由图可知，所以向
3、量，故选C.4. 如图，正方形中，分别是的中点，若则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：取向量作为一组基底，则有，所以又，所以，即.5. 已知向量，且，则A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】向量平行：內积等于外积【详解】【点睛】本题结合向量考查向量与两角差的正切值向量平行：內积等于外积6. 已知，且，则向量与向量的夹角为（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过向量的垂直转化为向量的数量积的运算，利用向量夹角的余弦公式求出其余弦值，问题得解【详解】，即：又，向量与向量的夹角的余弦为，向量与向量的夹角为：故选B【点睛】本题考查向量夹角公式及向量
4、运算，还考查了向量垂直的应用，考查计算能力7. 已知向量，如果向量与平行，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据坐标运算求出和，利用平行关系得到方程，解方程求得结果.【详解】由题意得：， ，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量平行的坐标表示问题，属于基础题.8. 设，向量，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由知，则，可得故本题答案应选B考点：1.向量的数量积；2.向量的模9. 已知点是所在平面内一点，且满足，则直线必经过的( )A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【答案】D【解析】【分析】两边同乘以向量，利用向量的数量积运
5、算可求得从而得到结论【详解】 两边同乘以向量,得即点P在BC边的高线上，所以P的轨迹过ABC的垂心，故选D.【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题10. 已知向量，点，则向量在方向上的投影为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据条件求出向量的坐标，然后根据投影的定义求解即可得到结果【详解】点，又，向量在方向上的投影为故选A【点睛】本题考查向量在另一个向量方向上投影的定义，解题时根据投影的定义求解即可，解题的关键是熟记投影的定义，注意向量坐标的运用，属于基础题11. 在ABC中角所对的边分别为以下叙述或变形中错误的是()A. B. C
6、. D. 【答案】B【解析】分析】结合正弦定理即可判断项正确；利用诱导公式即可判断项不正确；利用等比性质即可判断项正确；利用正弦函数单调性，诱导公式以及大边对大角即可判断项正确.【详解】项：由正弦定理，则，则由，答案正确.项：因为当时，则或，则或，所以不一定能得到，故B不正确，答案选B.项：由正弦定理，结合分数的等比性质即可得.项：因为当时，由正弦函数单调性可得，当时，由正弦函数单调性以及诱导公式可得，所以当时，可得；由正弦定理，当时，可得，即，从而可得，该结论正确.【点睛】主要考查了正弦定理的理解，等比性质，正弦函数单调性以及三角形的相关结论如大边对大角，属于基础题.12. 如图，测量河对岸
7、的塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为( )A. B. C. 60mD. 20m【答案】D【解析】【分析】由正弦定理确定的长，再求出【详解】，由正弦定理得：故选D【点睛】本题是正弦定理的实际应用，关键是利用正弦定理求出，属于基础题13. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，则的形状一定是（ ）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可得，由余弦定理整理可得，根据勾股定理即可判断三角形的形状【详解】，可得，可得：，由余弦定理可得：，整理可得：，为
8、直角三角形故选：【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题14. 在中，已知，则该三角形（ ）A. 无解B. 有一解C. 有两解D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由正弦定理求出即得解.【详解】由正弦定理得.所以A无解，所以三角形无解.故选A【点睛】本题主要考查正弦定理，考查三角形解的个数的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15. ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A60，b10，则结合a的值解三角形有两解的为( )A. a8B. a9C. a10D. a11【答案】B【解析】【分析
9、】根据正弦定理得到，分情况讨论，得到正确的结果.【详解】由正弦定理知，由题意知，若，则，只有一解；若，则AB，只有一解；从而要使的值解三角形有两解，则必有，且，即，解得，即，因此只有B选项符合条件，故选B.【点睛】该题考查的是有关根据三角形的解的个数选择边长的可取值的问题，涉及到的知识点有正弦定理，属于简单题目.16. 在中，若，则的形状是（ ）A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】，两种情况对应求解.【详解】所以或故答案选D【点睛】本题考查了诱导公式，漏解是容易发生的错误.17. 在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，则外接圆
10、的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由余弦定理及三角形面积公式可得和，结合条件，可得，进而得，由正弦定理可得结果【详解】由余弦定理得，所以又，所以有，即，所以，由正弦定理得，得所以外接圆的面积为答案选D【点睛】解三角形问题多为边角求值的问题，这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件，灵活选择，它的作用除了直接求边角或边角互化之外，它还是构造方程（组）的重要依据，把正、余弦定理，三角形的面积结合条件形成某个边或角的方程组，通过解方程组达到求解的目标，这也是一种常用的思路18. 在钝角中，角的对边分别是，若，则的面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】
11、根据已知求出b值，再求三角形的面积.【详解】在中，由余弦定理得：，即，解得：或.是钝角三角形，（此时为直角三角形舍去）.的面积为.故选A.【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.19. 如图，在中，D是边上一点，则的长为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由余弦定理得到，结合正弦定理，即可确定的长【详解】由余弦定理可得得到故选B【点睛】本题对正弦定理和余弦定理综合进行考查，属于中档题20. 在中，内角，的对边分别为，且，为的面积，则的最大值为（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由正
12、弦定理，将化为，结合余弦定理，求出，再结合正弦定理与三角形面积公式，可得，化简整理，即可得出结果.【详解】因为，所以可化为，即，可得，所以.又由正弦定理得，所以，当且仅当时，取得最大值.故选C【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理与余弦定理即可，属于常考题型.二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）21. 已知向量若向量与的夹角是钝角，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由，可知，因为向量与的夹角是钝角，从而得出答案【详解】因为向量，所以因为向量与的夹角是钝角，所以 解得 ，而与不可能共线，所以实数的取值范围是【点睛】本题考查向量数量积的坐标运算，属于一般题22. 已知向
13、量与共线且方向相同，则_.【答案】3【解析】【分析】先根据向量平行，得到，计算出t的值 ，再检验方向是否相同【详解】因为向量与共线且方向相同所以得解得或当时，不满足条件；当时，与方向相同，故【点睛】本题考查两向量平行的坐标表示，属于基础题.23. 在中，则的面积是_.【答案】【解析】【分析】计算，等腰三角形计算面积，作底边上的高，计算得到答案.【详解】， 过C作于D，则 故答案为【点睛】本题考查了三角形面积计算，属于简单题.24. 在中，角所对的边分别为，已知，且的面积为，则的周长为_.【答案】【解析】【分析】由正弦定理和已知，可以求出角的大小，进而可以求出的值，结合面积公式和余弦定理可以求出
14、的值，最后求出周长.【详解】解:由正弦定理及得，又，由余弦定理得，.又，的周长为.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、面积公式，考查了数学运算能力.三、解答题（本题共2道小题，每题10分）25. 在中，角所对的边分别为，为的中点. （1）求的长；（2）求的值.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）在中分别利用余弦定理完成求解；（2）在中利用正弦定理求解的值.【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，解得为的中点，中，由余弦定理得，（2）在中，由正弦定理得，【点睛】本题考查解三角形中的正余弦定理的运用，难度较易.对于给定图形的解三角形问题，一定要注意去结合图形去分析.26. 已知ABC内角
15、A，B，C的对边分别为a、b、c，面积为S，且（）若，求；（）若，求的值【答案】（）；（）5【解析】【分析】（）由余弦定理和题设条件求得，再由余弦定理和，解得，利用正弦定理，即可求得的值；（）根据三角形的面积公式和余弦定理列出方程组，即可求解的值，得到答案.【详解】（）由题意知，即整理得，即，即，又由，所以，又由余弦定理可得，即，整理得又因为，可得，即，由正弦定理可得：.（）由，根据余弦定理和三角形的面积公式，可得，即，解得，所以.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
