1、第三章指数函数和对数函数本章复习提升易混易错练易错点1利用指数、对数运算性质进行运算时忽视公式中的限定条件导致错误1.(2021江西吉安永丰中学高一上月考,)化简求值:(-2018)0+32-233823+(1-2)2.2.()计算:5log25(1-3)2+3log9(1+3)2.易错点2研究指数、对数函数时忽视对底数分0a1两种情况讨论导致错误3.(2020陕西榆林绥德中学高一下期末,)设函数f(x)=log2x,若f(a+1)0,a1)在0,1上的最大值和最小值之和为a,则a的值为.5.(2021河南部分重点高中高三上四联,)已知函数f(x)=loga(ax2-2x+5)(a0,且a1)
2、在12,3上单调递增,则a的取值范围为.6.()解关于x的不等式:a2x+1ax-5(a0,且a1).易错点3研究指数、对数函数时忽视定义域与值域导致错误7.()下列两个函数,为相等函数的是()A.函数y=x和y=x2B.函数y=log22x和y=2log2xC.函数y=ln(x2-1)与y=ln(x-1)+ln(x+1)D.函数y=ln(1-x2)与y=ln(1-x)+ln(1+x)8.(2021河南开封五县高一上联考,)函数f(x)=log2(x2-2x+3)的值域为()A.0,+)B.1,+)C.RD.2,+)9.()若函数f(x)=log12(x2-ax+3a)在区间(2,+)上是减函
3、数,则a的取值范围为()A.(-,4B.(-4,4C.-4,4)D.-4,410.()若4x+2x+1+m1对一切实数x成立,则实数m的取值范围是.11.(2019河南师范大学附属中学高一上期中检测,)已知函数h(x)=2x-8+13-x.(1)求h(x)的定义域P;(2)若函数f(x)=log3x9log3(27x),xP,求函数f(x)的值域.思想方法练一、函数与方程思想在解决函数问题中的应用1.()函数的定义域为D,若满足:f(x)在D内是单调函数;存在区间a,b,使f(x)在区间a,b上的值域为a2,b2,那么就称函数为“减半函数”.若函数f(x)=logc(2cx+t)(c0,且c1
4、)是“减半函数”,则t的取值范围为()A.(0,1)B.(0,1C.-,18D.0,182.()已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于任意给定的两个非负数a,b且ab,不等式af(a)f(1)的解集为()A.1e,1B.1e,eC.(0,e)D.(e,+)3.(2019湖南长郡中学高一上第一次模块检测,)已知函数f(x)=a+14x-1是奇函数,则a的值为.二、数形结合思想在解决函数问题中的应用4.(2021四川江油一中高一上期中,)已知函数f(x)=|log2x|,实数a,b满足0a1B.x2f(x1)1C.x2f(x1)=1D.x2f(x1)0,且a1)在(2,4)上是减函数,则实数
5、a的取值范围是()A.12a1B.0a12C.12a1D.00,且a1)在-1,2上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x在0,+)上是增函数,则a=.四、转化与化归思想在解决函数问题中的应用9.(2019江西赣州十四县(市)高一上期中联考,)已知a0,且a1,函数f(x)=-|x+3a-6|,x0,ax,x0满足对任意实数x1,x2(x1x2)都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0成立,则实数a的取值范围是()A.(2,3)B.(2,3C.2,73D.(1,210.()当x(-,-1时,不等式(2m-1)4x-2x0恒成立,则实数m的取值范围是.11.()若3x=4y=
6、36,则2x+1y=.五、特殊与一般思想在解决函数问题中的应用12.()设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)=()A.1B.-1C.-3D.313.()已知定义域为R的函数f(x)=-2x+b2x+1+a是奇函数,求a,b的值.答案全解全析第三章指数函数和对数函数本章复习提升易混易错练3.A7.D8.B9.D1.解析(-2018)0+32-233823+(1-2)2=1+4927823+2-1=1+49322+2-1=1+2.易错警示对于指数、对数的混合运算,易忽略偶次算术根非负而致错,错用指数幂的运算性质而致错;对于根式nan化简时要注
7、意n是正奇数还是正偶数.进行指数幂化简和计算时,为避免错误可先将根式化为分数指数幂,然后按分数指数幂的运算性质进行化简和计算.2.解析原式=25log25(3-1)+9log9(1+3)=3-1+1+3=23.3.A函数f(x)=log2x在定义域内单调递增,f(4)=log24=2,不等式f(a+1)2等价于f(a+1)f(4),0a+14,解得-1a1时,y=ax与y=loga(x+1)(a0,a1)在0,1上都是增函数,因此f(x)=ax+loga(x+1)(a0,a1)在0,1上都是增函数,f(x)max=f(1)=a+loga2,f(x)min=f(0)=a0+loga1=1,a+l
8、oga2+1=a,loga2=-1=loga1a,解得a=12(舍去);当0a1时,y=ax与y=loga(x+1)在0,1上是减函数,因此f(x)=ax+loga(x+1)在0,1上是减函数,f(x)max=f(0)=a0+loga(0+1)=1,f(x)min=f(1)=a+loga2,a+loga2+1=a,loga2=-1=loga1a,解得a=12.综上所述,a=12.5.答案19,132,+)解析由题意可得0a1,1a12,14a-1+50,解得19a13或a2.易错警示本题考查由复合函数的单调性求参数的范围,在解题过程中要注意真数的取值范围,保证真数大于零,其次对数式对底数a的限
9、制条件为a0,且a1,然后分0a1讨论.6.解析当0a1时,a2x+1ax-5,2x+1x-5,解得x-6.综上所述,当0a1时,不等式的解集为x|x-6.7.D对于A,y=x和y=x2=|x|的解析式不同,两函数不相等;对于B,y=log22x的定义域为R,y=2log2x的定义域为(0,+),定义域不同,两函数不相等;对于C,y=ln(x2-1)的定义域为x|x1,y=ln(x-1)+ln(x+1)的定义域为x|x1,定义域不同,两函数不相等;对于D,y=ln(1-x2)的定义域为(-1,1),y=ln(1-x)+ln(1+x)=ln(1-x2)的定义域为(-1,1),定义域和解析式都相同
10、,两函数相等.故选D.8.Bx2-2x+3=(x-1)2+22,f(x)=log2(x2-2x+3)log22=1.因此,函数f(x)=log2(x2-2x+3)的值域为1,+).故选B.9.D设u=x2-ax+3a,则函数f(x)是由y=log12u,u=x2-ax+3a复合而成.因为y=log12u是减函数,所以u=x2-ax+3a在(2,+)上递增,从而a22,解得a4.又当x(2,+)时,u=x2-ax+3a0,所以当x=2时,u=4-2a+3a0,解得a-4,所以-4a4.故选D.易错警示f(x)在(2,+)上为减函数,既要考虑单调性,又要考虑f(x)在(2,+)上有意义,解题时易忽
11、视对数函数的定义域,导致错误.10.答案1,+)解析设t=2x,y=t2+2t+m,t=2x(0,+),t+1(1,+),由y=(t+1)2-1+m,得y1-1+m=m,因此m1,故填1,+).11.解析(1)由2x8,3-x0,得x3,x3,即x3.因此函数h(x)的定义域P为(3,+).(2)依题意得,f(x)=(log3x-2)(3+log3x)=(log3x)2+log3x-6=log3x+122-254.xP,log3x1,f(x)-4,即函数f(x)的值域为(-4,+).易错警示解题时忽视了log3x1,误以为log3x的取值范围为R,导致解题错误.思想方法练1.D2.C6.B7.
12、C9.D12.C1.D显然f(x)是定义域上的增函数,因此,若f(x)是“减半函数”,则f(a)=a2,f(b)=b2,即f(x)=x2有两个不相等的实数根,将函数问题转化为方程有两个不相等的实数根问题.又logc(2cx+t)=x2,2cx+t=cx2.令cx2=u,则u0,且2u2-u+t=0.依题意知方程有两个不等正根,进一步转化为方程有两个不相等的正实数根求参数.=1-42t0,t20,解得0tf(1)F(lnx)F(1)lnx1=lne0xe.故选C.利用函数的单调性将抽象不等式转化为具体不等式.3.答案12解析由题知,f(x)的定义域为x|xR,且x0.任取x(-,0)(0,+),
13、都有f(-x)+f(x)=0,即a+14-x-1+a+14x-1=0,利用函数的奇偶性进行转化,得到关于参数的方程.所以a+4x1-4x+a+14x-1=02a+4x-11-4x=02a-1=0a=12.通过解方程体现方程思想.故a的值为12.4.答案4解析如图所示:根据函数f(x)=|log2x|的图像得0a1b,所以0a2a1.以形助数,借助函数图像得到a与b的关系.结合函数图像,易知当x=a2时,f(x)在a2,b上取得最大值,所以f(a2)=|log2a2|=2,又0a1,所以a=12,再结合f(a)=f(b),可得b=2,所以1a+b=2+2=4.5.答案116,1解析f(x)=x2
14、-2x+logaax-1=x2-2x+logaa-loga(x-1)=(x-1)2-loga(x-1)(x-1)2对任意的x1,32恒成立.当a1时,1x32,则0x-112,由于底数a为参数,故对a进行分类讨论.此时loga(x-1)loga12(x-1)2对任意的x1,32不成立;当0a(x-1)2对任意的x1,32恒成立,则0a1,loga1232-12,解得116a1.因此,实数a的取值范围是116,1.思想方法本题考查对数不等式恒成立问题,解题时要注意对底数的取值范围进行分类讨论,并利用数形结合思想得出一些关键点列不等式(组)求解,考查数形结合思想的应用,属于中档题.6.B由题知,f
15、(x)=e|lnx|=x,x1,1x,0x1.分段函数分段求,体现分类讨论思想.由x1时,f(x)=x是增函数;0x1时,f(x)=1x是减函数知,x1,x2分别在(0,1)和(1,+)内.当0x111,x1f(x2)=x1x2=1,从而x2f(x1)x1f(x2).此时A成立.当0x211,从而x2f(x1)0,且a1)在(2,4)上是减函数,令t=ax2-x,则利用复合函数的单调性可知:由于底数a为参数,故对底数a分a1和0a1时,y=logat在定义域内为增函数,所以t=ax2-x在(2,4)上是减函数,其图像的对称轴为直线x=12a,且ax2-x0在(2,4)上恒成立,转化为不等式恒成
16、立问题.则12a4,16a-40,此不等式组无解;当0a0在(2,4)上恒成立,转化为不等式恒成立问题.则12a2,4a-20,解得a12,12a1.综上,实数a的取值范围是12a1,则函数f(x)在-1,2上单调递增,有a2=4,a-1=m,解得a=2,m=12,此时g(x)=-x为减函数,不合题意;由于底数含参数a,故需对a进行分类讨论.若0a1或0a0知,f(x)在R上是增函数.当x0时,f(x)=-|x+3a-6|,由f(x)递增得6-3a0,解得a2.由函数单调性进一步转化为解不等式.当x0时,f(x)=ax是增函数,因此a1,又由f(x)在R上递增得-|3a-6|a0,解得aR,1
17、a2,故选D.10.答案-,32解析原不等式可变形为2m-112x.因为函数y=12x在(-,-1上是减函数,所以ymin=12-1=2.不等式2m-12m-1,将不等式恒成立问题转化为参数与函数的关系.因此2m-12,解得m32,故实数m的取值范围是-,32.11.答案1解析3x=4y=36,取以6为底的对数,将指数式化为对数式得xlog63=ylog64=2,指数式化为对数式,体现转化与化归思想.2x=log63,2y=log64,即1y=log62,故2x+1y=log63+log62=1.利用对数运算性质进一步转化.12.C由f(x)是定义在R上的奇函数知,f(0)=20+0+b=0,解得b=-1,根据奇函数的性质转化为f(0)=0.f(-1)=-f(1)=-(21+2-1)=-3,故选C.13.解析因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即-1+b2+a=0,解得b=1,所以f(x)=-2x+12x+1+a,又由-f(x)=f(-x)知,-2x+12x+1+a=-2-x+12-x+1+a,化简,得2x+1+a=2+a2x,即(a-2)(2x-1)=0.根据奇函数的定义转化为关于a的方程求解.由(a-2)(2x-1)=0对xR恒成立,解得a=2.故a=2,b=1.
