1、3.4指数与指数函数专题检测1.(2018海南华侨中学期中,8)已知a=0.40.3,b=0.30.4,c=0.3-0.2,则()A.bacB.bcaC.cbaD.aba=0.40.30.30.3b=0.30.4,c=0.3-0.21,bac,故选A.2.(2018浙江镇海中学阶段性测试,6)函数f(x)=3-2-x,x0,2x-3,x0,则该函数为()A.单调递增函数,奇函数B.单调递增函数,偶函数C.单调递减函数,奇函数D.单调递减函数,偶函数答案A显然函数f(x)在区间(-,0)和0,+)上都是增函数,又x=0时,代入函数的两段解析式中,其值均为零,说明函数图象是连续不断的,故函数f(x
2、)是单调递增函数.又f(-x)=3-2x,-x0,2-x-3,-x0=-(3-2-x),x0,-(2x-3),x0=-(3-2-x),x0,-(2x-3),x0可知函数在(0,+)上单调递增,所以值域为(1,+),故排除A.B项,函数y=ex+lnx,当x0时,lnx-,而ex1,所以y-,可排除B;C项,函数y=x-x可看作关于x的二次函数,即y=(x)2-x,易得值域为-14,+,可排除C,故选D.解题关键熟练掌握指数函数与对数函数的图象和性质是解本题的关键.4.(2018广东第一次模拟,12)函数f(x)=|2x-1|,x2,-x+5,x2.若互不相等的实数a,b,c满足f(a)=f(b
3、)=f(c),则2a+2b+2c的取值范围是()A.(16,32)B.(18,34)C.(17,35)D.(6,7)答案B画出函数f(x)的图象如图所示.不妨令abc,则1-2a=2b-1,则2a+2b=2.结合图象可得4c5,故162c32,182a+2b+2c34.故选B.解题关键利用函数图象进行求解,使得解题过程变得直观形象.解题中有两个关键:一是结合图象得到2a+2b=2;二是根据图象判断出c的取值范围,进而得到162cb)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象是()答案C由函数f(x)的图象可知,-1b1,则g(x)=ax+b为增函数,当x=0时,g(0)=1+b0,故选C.
4、6.(2018重庆万州二模,11)设平行于x轴的直线l分别与函数y=2x和y=2x+1的图象相交于点A,B,若函数y=2x的图象上存在点C,使得ABC为等边三角形,则这样的直线l()A.不存在B.有且只有一条C.至少有两条D.有无数条答案B根据题意,设直线l的方程为y=m,则A(log2m,m),B(log2m-1,m),AB=1,设C(x,2x),ABC是等边三角形,点C到直线AB的距离为32,m-2x=32,x=log2m-32,又x=12(log2m+log2m-1)=log2m-12,log2m-32=log2m-12=log2m2,m-32=m2,解得m=23+62,故符合条件的直线
5、l只有1条.故选B.思路分析设AB方程为y=m,根据ABC是等边三角形计算m的值,得出结论.7.(2018湖南郴州第二次教学质量检测,11)已知函数f(x)=ex-1ex,其中e是自然对数的底数,则关于x的不等式f(2x-1)+f(-x-1)0的解集为()A.-,-43(2,+)B.(2,+)C.-,43(2,+)D.(-,2)答案B函数f(x)=ex-1ex的定义域为R,f(-x)=e-x-1e-x=1ex-ex=-f(x),f(x)是奇函数,那么不等式f(2x-1)+f(-x-1)0等价于f(2x-1)-f(-x-1)=f(1+x),易证f(x)是R上的递增函数,2x-1x+1,解得x2,
6、不等式f(2x-1)+f(-x-1)0的解集为(2,+),故选B.8.若函数f(x)=loga(ax-3)(a0且a1)在1,3上单调递增,则a的取值范围是()A.(1,+)B.(0,1)C.0,13D.(3,+)答案D令u=ax-3,a0且a1,u=ax-3为增函数,若函数f(x)为增函数,则f(x)=logau必为增函数,因此a1.又u=ax-3在1,3上恒为正,a-30,即a3,故选D.易错警示本题既要考虑复合函数单调性法则,还要考虑不等式ax-30在x1,3上恒成立.9.(2017浙江金华十校调研,13)已知函数f(x)=2exex+1,在F(x)=f(x)+1和G(x)=f(x)-1
7、中,为奇函数;若f(b)=32,则f(-b)=.答案G(x);12解析由题可知,G(x)=f(x)-1=ex-1ex+1,显然G(-x)=e-x-1e-x+1=1-exex+1=-G(x),因此函数G(x)为奇函数,所以G(b)+G(-b)=0,即f(b)-1+f(-b)-1=0,所以f(-b)=2-f(b)=12.10.(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数f(x)=2x1+a2x(aR)的图象关于点0,12对称,则a=.答案1解析由已知,得f(x)+f(-x)=1,即2x1+a2x+2-x1+a2-x=1,整理得(a-1)22x+(a-1)2x+1=0,所以当a-1=0,即a=1时,等
8、式成立.11.(2019届江苏锡山高级中学检测)若偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x0),则不等式f(x-2)0的解集为.答案x|x4或x0解析因为f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=f(-x)=2-x-4,所以f(x)=2x-4,x0,2-x-4,x0时,有x-20,2x-2-40或x-20,解得x4或x4或x0.12.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,17)已知函数f(x)=e,0x0,b0,则f(a+b)f(a)f(b);若ab0,则f(a-b)f(a)f(b);若a0,b0,则f(ab)f(a)b;若ab0,则fabf(a)1b.其中真命题为.(写出所有真命题的序号)答案解析
9、对于,当a1,b1时,f(a+b)=ea+b,f(a)=ea,f(b)=eb,此时f(a+b)f(a)f(b)成立;当a1,0bea+b=f(a+b),此时f(a+b)f(a)f(b)成立;当0a1,0b1时,f(a+b)=e,0a+b1,ea+b,1a+b2,f(a)f(b)=e2,此时f(a+b)f(a)f(b)成立;当0aea+b=f(a+b),此时f(a+b)f(a)f(b)成立.综上可知正确.对于,当a1b0时,若0a-b1,则1ab+12,则a-11.此时f(a-b)=e,f(a)f(b)=eae=ea-1a-1,此时f(a-b)=ea-b,f(a)f(b)=eae=ea-1b1时
10、,若0a-b1,则f(a-b)=e,f(a)f(b)=eaeb=ea-be,f(a-b)f(a)f(b)成立;若a-b1,则f(a-b)=ea-b,f(a)f(b)=eaeb=ea-b=f(a-b),f(a-b)f(a)f(b)成立.当0ba1时,0a-b1,此时f(a-b)=e,f(a)f(b)=ee=1e,f(a-b)f(a)f(b)成立.综上可知正确.对于,当a=13,b=2时,f(ab)=e,f(a)b=e2,此时f(ab)b1时,fab=eab,f(a)1b=(ea)1b=eab,fabf(a)1b成立;当a1b0时,fab=eab,f(a)1b=(ea)1b=eab,fabf(a)
11、1b成立;当0baeab,fabf(a)1b成立.综上可知正确.故填.13.(2018江苏如东中学期中,16)已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a0)在区间2,3上有最大值5,最小值2.(1)求a,b的值;(2)若b0时,f(x)在2,3上为增函数,故f(3)=5,f(2)=2,所以9a-6a+2+b=5,4a-4a+2+b=2,解得a=1,b=0.当a0时,f(x)在2,3上为减函数,故f(3)=2,f(2)=5,所以9a-6a+2+b=2,4a-4a+2+b=5,解得a=-1,b=3.故a=1,b=0或a=-1,b=3.(2)因为b1,所以a=1,b=0,即f(x)=x2-2x+2
12、,g(x)=x2-2x+2-2mx=x2-(2+2m)x+2.若g(x)在2,4上单调,则2+2m22或2m+224.所以2m2或2m6,即m1或mlog26.故实数m的取值范围是(-,1log26,+).14.(2019苏州期中,18)已知f(x)=ex-aex是奇函数.(1)求实数a的值;(2)求函数y=e2x+e-2x-2f(x)在x0,+)上的值域;(3)令g(x)=f(x)-2x,求不等式g(x3+1)+g(1-3x2)0时,h(t)h(),+),所求值域为2-2,+).(9分)(3)g(x)的定义域为R.因为f(x)=ex-1ex为奇函数,所以g(-x)=f(-x)-2(-x)=-f(x)+2x=-g(x),所以g(x)=f(x)-2x为奇函数,所以g(x3+1)+g(1-3x2)0等价于g(x3+1)g(3x2-1).(10分)又g(x)=f(x)-2=ex+1ex-22-2=0,当且仅当x=0时,等号成立,所以g(x)=f(x)-2x在R上单调递增,所以x3+13x2-1,即x3-3x2+20,(13分)即(x-1)(x2-2x-2)0,所以x1-3或1x1+3.(14分)所以不等式的解集是(-,1-3)(1,1+3).(15分)
