1、2021年高考数学一师一题押题精选考题（撞上高考自学版）理撞题点一 集合3撞题点二 常用逻辑用语4撞题点三 函数图象的识别5撞题点四 函数的基本性质6撞题点五 幂指对函数的图象与性质7撞题点六 导数的几何意义8撞题点七 函数零点（小题）9撞题点八 函数零点（解答题）10撞题点九 导数的应用（参数取值范围）12撞题点十 利用导数处理恒成立问题13撞题点十一 利用导数证明不等式15撞题点十二 三角恒等变换16撞题点十三 三角函数的图象与性质17撞题点十四 解三角形（小题型）19撞题点十五 解三角形（大题型）20撞题点十六 向量线性运算及有关概念22撞题点十七 平面向量的数量积24撞题点十八 等差数
2、列25撞题点十九 等比数列26撞题点二十 数列的综合应用27撞题点二十一 数列解答题28撞题点二十二 三视图29撞题点二十三 与球相关的组合体问题30撞题点二十四 空间角问题（小题型）32撞题点二十五 立体几何解答题（空间角与距离）34撞题点二十六 立体几何解答题（探索性问题）36撞题点二十七 直线与圆的位置关系38撞题点二十八 椭圆的基本性质39撞题点二十九 双曲线的基本性质40撞题点三十 抛物线的基本性质42撞题点三十一 圆锥曲线的轨迹问题43撞题点三十二 圆锥曲线中的定点、定值问题44撞题点三十三 圆锥曲线中的最值问题46撞题点三十四 解析几何中的探索性问题48撞题点三十五 古典概型与几
3、何概型49撞题点三十六 条件概率与相互独立事件的概率51撞题点三十七 统计图表问题53撞题点三十八 排列与组合54撞题点三十九 二项式定理55撞题点四十 回归分析56撞题点四十一 正态分布59撞题点四十二 独立性检验61撞题点四十三 离散型随机变量的分布列、期望问题63撞题点四十四 线性规划65撞题点四十五 基本不等式的应用66撞题点四十六 推理与证明67撞题点四十七 程序框图69撞题点四十八 复数70撞题点四十九 坐标系与参数方程71撞题点五十 不等式选讲72撞题点一 集合1（2021石家庄质检）若集合，满足：，则集合ABCD【答案】B【解析】因为集合，满足：，如图，所以集合故选B考题猜测全
4、视角【为什么猜这道题】集合作为送分题，根据10年高考大数据分析，主要考查集合的交、并、补运算（尤其是抽象集合），综合考查函数的定义域、值域及指数函数与对数函数的性质、一元二次不等式的解法等【还可能怎么考】AB；AB；集合元素个数；子集个数；根据集合的关系求参数的范围比如：（2021衡阳一模）已知集合，为的子集，若，则满足题意的集合的个数为A3B4C7D8【答案】D【解析】因为，所以，因为集合的子集个数为，所以满足题意的的个数为8故选D【方法总结】（1）认清元素的属性解决集合问题时，认清集合中元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件（2）注意元素的互异性在解决含参数
5、的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误（3）防范空集在解决有关AB=，AB等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑的情况，以防漏解撞题点二 常用逻辑用语2（2021海淀区一模）已知点，则“是等边三角形”是“直线的斜率为”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由点，可得点，在抛物线上，根据抛物线的对称性，只有点，关于轴对称时才有可能是等边三角形，此时直线的斜率为；反之直线的斜率为时，虽然点，关于轴对称，但是不一定是等边三角形综上，可知“是等边三角形”是“直线的斜率为”的充分不必要条件故选A考题猜测全
6、视角【为什么猜这道题】根据10年大数据分析，本撞题点热点：充分必要性；易错点：否命题与命题的否定；难点：命题真假的判断要注意区分否命题与命题的否定，否命题需同时否定命题的条件与结论，而命题的否定只需否定命题的结论【还可能怎么考】充分必要性的判断、四种命题的相互关系、对含有一个量词的命题的否定【方法总结】充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则p是q的充分条件（2）等价法：利用pq与非q非p， q p与非p非q， p q与非q非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法（3）集合法：若A B，则A
7、是B的充分条件或B是A的必要条件；若A= B，则A是B的充要条件撞题点三 函数图象的识别3（2021江西模拟）音乐是用声音来表达人的思想感情的一种艺术声音的本质是声波，而声波在空气中的振动可以用三角函数来刻画，在音乐中可以用正弦函数来表示单音，用正弦函数相叠加表示和弦，某二和弦可表示为，则函数的图象大致为ABCD【答案】A【解析】根据题意，定义域为，则，所以函数为奇函数，排除选项D，当时，函数的图象在轴上方，由此可排除选项C，当时，函数与函数都是增函数，函数图象增加最快，排除选项B，故选A考题猜测全视角【为什么猜这道题】函数图象也是新课标高考的常客，一般给出函数的表达式，研究函数图象的形状；也
8、可能以实际背景给出变量间的关系，研究函数图象的形状【还可能怎么考】给定函数图象判断解析式，给定解析式判断函数的图象比如：（2021广东月考）利用计算机绘制函数图象时可以得到很多美丽的图形，图象形似如图所示的函数称为型函数，写出一个定义域为且值域为的型函数是【答案】（答案不唯一）【解析】根据题意，要求函数的定义域为且值域为，其图象关于轴对称，是偶函数，可以考虑二次函数变换得到，则，故答案为（答案不唯一）【方法总结】函数图象的辨识可以从以下方面入手：（1）从函数定义域、值域判断；（2）从函数的单调性判断变化趋势；（3）从函数的奇偶性判断函数的对称性；（4）从函数的周期性判断；（5）从函数的特征点，
9、排除不符合要求的图象；（6）极限思想撞题点四 函数的基本性质4（2021蚌埠三模）若把定义域为的函数的图象沿轴左、右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于轴对称的图象，则关于函数的性质叙述一定正确的是ABC是周期函数D存在单调递增区间【答案】C【解析】因为定义域为的函数的图象沿轴左、右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于轴对称的图象，所以的图象既有对称中心又有对称轴，但不一定具有奇偶性，例如对于A：由，则为奇函数，故A不符合题意；对于B：由，可得函数的图象关于直线对称，故B不符合题意；对于D：当时，不存在单调递增区间，故D不符合题意；对于C：设图象的一条对称抽为直线，
10、一个对称中心为，且，则，所以，所以，所以，所以的一个周期为，故C正确故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】函数的性质包括：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、图象变换等，本类题型属于高考中的高频撞题点，经常与抽象函数、分段函数、复合函数结合到一起考查，尤其是单调性与对称性的双剑合璧题更是命题者青睐的撞题点【还可能怎么考】（1）已知分段函数的单调性求参数的取值范围；（2）若是定义在上的奇函数， 当时，求的解析式；（3）若方程有三个不同的根，求m的取值范围；（4）若是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时，计算的值【方法总结】判断函数周期性的方法：（1），则的周期；（2），则的周期；
11、（3）若函数的图象关于点，对称，则是周期函数，且；（4）若函数的图象有两条对称轴，则是周期函数，且；（5）若函数的图象关于点对称，且关于直线对称，则是周期函数，且撞题点五 幂指对函数的图象与性质5（2021江苏四校高考数学联考）若，则ABCD【答案】A【解析】令，则，可知当时，当，又，所以故选A考题猜测全视角【为什么猜这道题】幂指对函数作为基本初等函数，其图象与性质的应用仍然是高考中的热点，而幂、指数式和对数式的运算有所降低重要题型：比较指数式与对数式的大小方法指点：利用指数函数、对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指
12、数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0，1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小【方法总结】比较大小的方法：（1）利用函数的单调性；（2）利用中间量；（3）利用作差法或作商法；（4）利用数形结合法撞题点六 导数的几何意义6（2021河南省普通高中高考数学适应性试卷）若函数为常数存在两条均过原点的切线，则实数的取值范围是ABCD【答案】B【解析】由题可得，设切点坐标为，则过原点的切线的斜率，整理可得，因为存在两条过原点的切线，所以存在两个不同的解设，则，当时，又，所以在，上单调递减，当时，所以在上单调递增，因为当时，且，当
13、时，作出的大致图象，如图所示，又，所以当时，存在两个不同的解，故实数的取值范围是故选B考题猜测全视角【为什么猜这道题】曲线的切线方程问题是课标卷中的熟面孔了，一般比较基础用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为设是曲线上的一点，则以为切点的切线方程为【还可能怎么考】（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程（或斜率）求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围；（4）已知两个不同曲线有相同切线，求参数问题【易错分析】注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别：（1）在点处的切线方程为；（2）求曲线过点的切线方程，应先设切点坐标为，由过点，求得的值，从而求得切线方程另
14、外，要注意切点既在曲线上又在切线上撞题点七 函数零点（小题）7（2021山东省济南市十一所学校高考数学联考）如果两个函数均存在零点，分别设为，若满足，则称这两个函数互为“度零点函数”若与互为“度零点函数”，则实数的取值范围为【答案】【解析】由题可知函数的零点为，设函数的零点为，则，所以，则，可得，设，则，当时，；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又，所以，故实数的取值范围为故答案为考题猜测全视角【为什么猜这道题】函数的零点问题是数形兼具的题型，也是高频撞题点，经常作为压轴小题来考查处理思想：把函数问题转化为方程解的问题，调整结构转化为两个易画图象的交点个数问题【还可能怎么考】二分
15、法确定零点的区间、零点范围问题、零点个数问题、零点与导数的问题【方法总结】利用函数的零点情况求参数值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为求函数的值域问题；（3）转化为两个熟知函数的图象的位置关系问题，从而构建不等式求解撞题点八 函数零点（解答题）8（2021深圳一模）已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有且仅有个零点，求的取值范围（其中常数，是自然对数的底数）【解析】（1）由题可知函数的定义域为，若，则，当时，单调递增，当时，单调递减；若，当时，当时，当时，所以在和上单调递减，在上单调递增；若，则，所以在上单调递减；若，当时，当时，当时，所
16、以在和上单调递减，在上单调递增，综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；当时，在和上单调递减，在上单调递增（2）令，则，由题可知函数的图象与直线有个不同的交点，由（1）可知必有或当时，在和上单调递减，在上单调递增，所以的极大值为，极小值为，所以函数的图象与直线的图象至多有个交点，不合题意，当时，在和上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，的极大值为，所以必有成立，因为，所以，所以，即下面求不等式的解集，令，则不等式等价于，令函数，则，令，则，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又当时，所以恒成立，故函数单调递减，又，所以当且仅当时，
17、所以不等式的解集为，所以，所以，又，故的解集为，所以的取值范围为考题猜测全视角【为什么猜这道题】函数的零点问题是近几年高考中的热点题型常见题型有：利用导数讨论零点的个数；利用导数证明零点的唯一性；根据零点个数讨论参数的范围【还可能怎么考】（1）若函数至多有一个零点，求的取值范围；（2）若关于的方程有三个不同的实数根，求的取值范围；（3）若关于的方程至多有一个实数根，求的取值范围【方法总结】判断函数零点个数的常用方法：（1）直接研究原函数，明确函数的单调性，求出函数的极值与最值，画出草图函数的零点个数即函数图象与x轴的交点个数；（2）分离出参数，转化为，利用导数知识明确函数的单调性、极值与最值，
18、结合图象，函数的零点个数即直线与图象的交点个数撞题点九 导数的应用（参数取值范围）9（2021江西上饶一模）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为ABCD【答案】C 【解析】由可得，即，故在上恒成立因为在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，则，当时，单调递增；当时，单调递减，所以，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】导数应用是高考命题的热点内容，应用导数研究函数的单调性、极值、最值，难度中等偏上，属于综合性较强的内容【还可能怎么考】求函数的单调区间（极值或最值）、根据单调性（极值或最值）求范围、比较大小、根据零点个数确定范围【方法总结】
19、（1）利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题，往往根据已知与所求合理构造函数，常用构造方法有：条件含有，就构造；若，就构造；若，就构造；若，就构造；若，就构造（2）同构技巧：；撞题点十 利用导数处理恒成立问题10（2021江西省高考数学教学质量检测）已知函数，为自然对数的底数（1）当时，讨论函数极值点的个数；（2）当，时，都有，求实数的取值范围【解析】（1）当时，记，令，得，当时，单调递减，当时，单调递增，当，即时，单调递增，无极值点；当且，即时，有两个不同的根，有两个极值点，当时，有一个根，有一个极值点（2）依题意对任意的恒成立，记，则，令，则，所以时，时，所以在上单调递增，即时，所以在上单
20、调递增，所以恒成立；即时，所以存在，使得，当时，所以在上单调递减，当时，与题意不符综上所述，实数的取值范围是考题猜测全视角【为什么猜这道题】在不等式恒成立或不等式有解的条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数【还可能怎么考】（1）对于任意的，总存在，使得；（2）对于任意的，总存在，使得；（3）若存在，对于任意的，使得；（4）若存在，对于任意的，使得；（5）对于任意的，使得；（6）对于任意的，使得；（7）若存在，总存在，使得；（8）若存在，总存在，使得【方法总结】恒成立问题的处理方法：参变分离；数形结合
21、；含参讨论；端点效应；必要性探路等方法撞题点十一 利用导数证明不等式11（2021江苏省镇江市高三下学期模拟信息卷）已知为自然对数的底数，函数（1）设是的极值点，求的值和函数的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围【解析】（1）因为，由，得，所以，当时，；当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增（2）令，当时，恒成立等价于恒成立由于，所以，当时，函数在上单调递增，所以当时，恒成立，符合题意；当时，在上单调递增，当，即时，函数在上单调递增，所以当时，恒成立，符合题意；当，即时，若，即时，在上恒小于，则在上单调递减，不符合题意；若，即时，存在使得，所以当时，则在上单调递减，所以，不符合题意综上
22、所述，的取值范围为考题猜测全视角【为什么猜这道题】利用导数证明不等式是高考热点题型，解题关键是构造辅助函数，通过构造辅助函数将不等式的证明问题转化为函数的单调性证明或函数的最值问题【还可能怎么考】构造函数证明不等式、双变量不等式证明、极值点偏移题型、数列型不等式的证明【方法总结】此类试题的解题策略：（1）构造差函数根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式（2）根据条件，寻找目标函数一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间的大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数撞题点十二 三角恒等变换12（2021安阳一模）已知，则ABCD【答案】B【解
23、析】由题可得，所以，化简可得，因为，所以，所以故选B考题猜测全视角【为什么猜这道题】三角函数化简求值是高考常考撞题点，对诱导公式、同角基本关系式、二倍角公式的考查是本类问题的重要考查方向之一，本撞题点高考要求不高，掌握课本习题难度即可【还可能怎么考】给角求值、给值求值、给值求角、三角函数式的化简、三角函数式的证明【方法总结】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”，
24、“遇根式要升幂”等撞题点十三 三角函数的图象与性质13（2021济南一模）函数在上的图象如图所示，则的解析式可能是ABCD【答案】B【解析】由函数图象可得，函数的图象关于轴对称，可得函数是偶函数对于A：因为，所以选项A不符合题意；对于C：若，当时，所以，所以当时，即时，取得最小值为，与图中的最小值为矛盾，故选项C不符合题意；对于D：因为函数的图象经过点，而选项D中，所以选项D不符合题意；故选B考题猜测全视角【为什么猜这道题】三角函数的图象与性质属于高考必考撞题点，难度中等或偏上常考题型有：三角函数的图象变换，求三角函数的解析式，三角函数的定义域、值域、周期性、单调性与对称性【还可能怎么考】判断
25、三角函数的最值（周期、对称性等）、三角函数的图象变换、已知函数图象求函数的解析式比如：（2021江西质检）已知函数的一个周期的图象如图所示，其中，则ABCD【答案】A【解析】由，可得，又，所以，由可得，可得，因为周期，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以点，关于直线对称，设，则，所以，又，所以，所以故选A【方法总结】（1）已知函数的图象求解析式，；由函数的周期求，；利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求（2）函数的性质：，；周期；由求对称轴；由求递增区间；由求递减区间撞题点十四 解三角形（小题型）14（2021江苏二模）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔（
26、为塔顶，为塔底）的高度，选取与在同一水平面内的两点与（，不在同一直线上），测得测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的个数是，ABCD【答案】C【解析】对于，已知，在中，利用三角形内角和为可求得，利用正弦定理，可求得，在中，由，即可求；对于，在中，已知一边，一角，无法求解三角形，在中，已知两角，无法求解三角形，在中，已知一边，一角，无法求解三角形；对于，在中，已知一边，两角，由三角形内角和可求得，由正弦定理可求得，在中，已知两角，一边，利用，可求得；对于，在中，已知两角，由，可用表示，由，可用表示，在中，已知，边，表示，利用余弦定理可用表示，在中，利用
27、勾股定理可用表示，在中，已知，表示，表示，利用余弦定理可建立关于的方程，即可求解故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】如果解答题考的是数列的话，小题中必考一道解三角形的小题，难度中等偏上主要考查利用正余弦定理解决边角问题、正余弦定理与面积相结合问题、与正弦定理相关的解的个数问题、判断三角形的形状、正余弦定理与平面向量、不等式、函数等知识的综合应用【还可能怎么考】利用正余弦定理解三角形、判断三角形的形状、与面积相关的问题、解斜三角形【方法总结】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的其基本步骤如下：（1）定条件，即确
28、定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向（2）定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化（3）求结果撞题点十五 解三角形（大题型）15（2021山东二模）在；的面积这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目在中，内角，的对边分别为，已知，且_，_，求【解析】方案一：选条件因为，所以，由正弦定理得因为，所以因为，所以，因为，所以，所以，所以，因为，所以，所以由正弦定理可得方案二：选条件因为，所以因为，所以，所以由正弦定理可得，所以，即，因为且，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以由正弦定理可得方案三：选条件因为，所以，由正弦定理得
29、因为，所以因为，所以，因为，所以，因为，所以，由余弦定理可得，所以，由，可得或考题猜测全视角【为什么猜这道题】解三角形实际问题近几年未考查，但并不意味着不考，对此类问题应多加关注常考题型有：测量高度问题、测量距离问题、测量角度问题【还可能怎么考】利用正余弦定理解三角形、利用中线（角平分线、中垂线或高线）解三角形、解四边形问题、实际问题（测量距离、高度、角度等）比如：（2021深圳一模）拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”已知内接
30、于单位圆，以，为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，若，则的面积最大值为_【答案】【解析】不妨设，若，则由正弦定理可得，故，所以由余弦定理可得，所以显然为由得到的拿破仑三角形（等边三角形），设其边长为，易知，且，所以，故的面积，当且仅当时取等号，故的面积的最大值为故答案为【方法总结】此类问题的一般解题步骤：（1）审题：阅读、理解问题的实际背景及有关名词、术语，明确已知与所求，理清量与量之间的关系；（2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象概括并转化为解三角形问题的数学模型；（3）正确应用正、余弦定理及其他有关知识解三角形；（4）将三角形中的解还原为实际问题的答案撞题点十六 向量线性运算
31、及有关概念16（2021吉林省白城一中高考数学质检试卷）正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的盘，图2中的正八边形窗花在图3的正八边形中，则图1图2图3AB2CD【答案】D【解析】如图，设与交于点，在上取一点，使得，则，设，则，由图可知，所以，故选D考题猜测全视角【为什么猜这道题】平面向量每年必考一道，重点考查向量的几何运算与代数运算，难度较小此类问题一般都是单独命题，有时作为工具，在解答题中与其他知识交汇到一起考查常见题型有：平面向量的有关概念，平面向量的线性运算，共线向量定理及应用，平面向量基本定理等【还可能怎么考】平面向量基本概念的考查、共线向量定理及应用、平面向量基本
32、定理的应用、向量平行垂直的坐标运算【方法总结】在平面几何图形中，用一组基底，表示某向量（即向量分解表示）：（1）利用向量的加减法、共线定理主动分解转化； （2）先设，再利用向量共线列方程组，解出，的值；（3）取特殊的多边形，以便于建立平面直角坐标系，从而求出向量坐标，利用坐标解决问题撞题点十七 平面向量的数量积17（2021深圳一模）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆（前轮），圆（后轮）的半径均为，均是边长为的等边三角形设点为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为ABCD【答案】C【解析】据题意：圆与圆的半
33、径均为，均是边长为的等边三角形，点为后轮上的一点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，圆的方程为，可设，所以，故，故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】平面向量数量积问题是高考重点考查的内容，研究向量数量积问题主要有两个思路，一是代数法，建立平面直角坐标系，利用坐标研究数量积问题；二是利用基底表示目标向量，把问题转化为已知向量的数量积问题【还可能怎么考】平面向量的数量积的运算、向量的模、向量的夹角、平行与垂直、与四心相关的问题、极化恒等式、向量与其他章节的综合等【方法总结】平面向量数量积的类型及求法：（1）求平面向量数量积有三种方法：夹角公式；坐标公式；利用数量积的几何意义（2）求较复杂的平面向
34、量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简撞题点十八 等差数列18（2021池州一模）已知数列是以为首项，为公差的等差数列，则数列的前2021项和为 【答案】【解析】由题意可得：，则，设数列的前项和为，则.故答案为.考题猜测全视角【为什么猜这道题】数列如果不考解答题，一般会考两道数列小题，等差数列是其中一个考点，重点考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用，也可能考查与的递推关系，或者与其他知识综合到一起考查.【还可能怎么考】等差数列的基本量的计算、等差数列的性质、等差数列的判定、等差数列与函数、不等式的综合.【方法总结】在解决等差数列的运算问题时，有两个处理思路，一
35、是利用基本量，将多元问题转化为一元问题，思路简单，目标明确；二是利用等差数列的性质，但要注意性质使用的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.撞题点十九 等比数列19（2021渭南模拟）已知等比数列的前项和为，若，则数列的公比A2BCD【答案】C【解析】当数列的公比时，与矛盾，故不符合题意当时，所以因为，所以，即，所以故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】等比数列是数列考查中的又一个重要考点，重点考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，也可能考查与的递推关系，或者与其他知识综合到一起考查.【还可能怎么考】等比数列的基本量
36、的计算、等比数列的性质、等比数列的判定、等比数列与函数、不等式的综合. 【方法总结】求解等比数列的前n项和时有两点值得注意，其一，注意对公比的分类讨论；其二，当公比不为1时，在结构上很有特点，其中.同时要注意等比数列的首项与公比均不为零.撞题点二十 数列的综合应用20（2021瑶海区月考）已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，记它们的公共项由小到大排成的数列为，令，则的取值范围为A，BCD，【答案】C【解析】由题意可知数列，的共同项为2，8，32，128，故，由，得，所以，令，则当时，故数列为递增数列，所以，因为时，所以，则，所以，故，故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】数列如果以小题形式
37、呈现的话，两道小题有一道小题会比较难，经常将数列与函数、三角、解析几何、不等式等结合到一起考查.【还可能怎么考】等差数列与等比数列的综合、数列与函数的综合、数列与不等式的综合、数列的实际应用.【方法总结】判断数列单调性的方法：作差法、作商法、导数法、递推法、数学归纳法等.撞题点二十一 数列解答题21（2021唐山一模）已知数列满足，记数列的前项和为.（1）求的值；（2）求的最大值【解析】（1）由题知，则当时，（）所以，因此（2）当时，（）（）式减去（）式得，又，所以，所以，且当时，；又，所以时，；又，所以时，；因此时，取得最大值，且考题猜测全视角【为什么猜这道题】课标全国卷中的数列解答题，重点
38、考查通性通法，难度偏易.【还可能怎么考】（1）以等差、等比数列为核心，考查通项与前n项和问题；（2）已知递推公式求通项公式；（3）数列求和；（4）数列与函数、不等式的综合考查.【方法总结】（1）由递推关系求通项，常用方法有：累加法，累乘法，构造等差、等比数列法，取倒数法，取对数法等等；（2）数列求和的常用方法有：直接法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、并项法、倒序相加法等.撞题点二十二 三视图22（2021乌鲁木齐二模）热爱劳动是我们中华民族的传统美德，劳动教育也是我们中小学重要的教育内容之一，平时我们打扫卫生常常要用到簸箕簸箕的三视图如图所示（单位：），已知制造簸箕的成本是0.01元/，
39、试估计500元最多可以制造（ ）个簸箕.A43B44C45D46【答案】C【解析】根据几何体的三视图将其还原可知，该几何体可分割为一个三棱柱和两个三棱锥，如图所示：由此可得该几何体的表面积为，因为元，所以，故最多制造45个故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】立体几何一般有两道小题，三视图问题是课标全国卷常考的一个考点.此类问题主要考查由空间几何体的三视图确定其直观图，并求其表面积或体积.由三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正、高平齐、宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，
40、宽是几何体的宽.【还可能怎么考】由直观图确定三视图、由三视图还原直观图、利用三视图求几何体的体积或表面积（外接球或内切球的体积或表面积）.【方法总结】由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1.首先看俯视图，根据俯视图画出几何体底面的直观图；2.观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3.画出整体，然后再根据三视图进行调整.撞题点二十三 与球相关的组合体问题23（2021江苏二模）在三棱锥中，ABBC，AC=8，点P到底面ABC的距离为7若点P，A，B，C均在一个半径为5的球面上，则PA2+PB2+PC2的最小值为 【答案】198 【解析】设AC的中点为O1，则O1为ABC的外接圆的圆心
41、，设点P所在截面圆的圆心为O2，半径为r，则此截面与平面ABC平行，球心O在线段O1O2上，连接，则，OO2=O1O2OO1=73=4，所以r设点P在平面ABC上的射影为Q，则Q在以O1为圆心，3为半径的圆上，PQ平面ABC，PQ与平面ABC内所有直线垂直，连接PQ，QA，QB，QC，则PA2+PB2+PC2=PQ2+QA2+PQ2+QB2+PQ2+QC2=QA2+QB2+QC2+147而QA2+QB2+QC2 =75，当，反向时，取得最小值12，则PA2+PB2+PC2的最小值为147+75212=198故答案为198考题猜测全视角【为什么猜这道题】几何体的外接球、内切球问题，是立体几何的重
42、点与难点，同时也是高考的热点.【还可能怎么考】柱体、锥体的外接球，几何体的内切球，与几何体棱相切的球的问题. 比如：（2021广州一模）已知三棱锥的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA=PB=PC，先在三棱锥内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥的三个侧面都相切，则球O1的体积为 ，球O2的表面积为 【答案】， 【解析】设O为外接圆的圆心，连接OP，OA.因为是边长为6的等边三角形，所以，由题意可知OP2+OA2=PA2，所以OP=3，设球O1的半径为r，球O2的半径为R，三棱锥的表面积为，由等体积法可得，所以1，所以球O1的体积为；作截面图如图所示，其中D为
43、AB的中点，可知O1O=O1N=1，PN=1，PO1=2，PO2=1R，因为PO2EPO1F，则，即，解得，所以球O2的表面积为故答案为，【方法总结】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于内切球的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球的半径组成的直角三角形，利用勾股定理可求得球的半径.撞题点二十四 空间角问题（小题型）24（2021河南省九师联盟高考数学联考试卷）九章算术卷五商功中描述，几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”现有“阳马”（如
44、图），平面，点，分别在，上，当空间四边形的周长最小时，直线与平面所成角的正切值为ABCD【答案】A【解析】如图1，把平面沿展开到与平面共面的的位置，延长到，使得，连接，则，.的长度为定值，要使空间四边形的周长最小，只需的值最小，当，四点共线时，的值最小图1如图2，过点作，交的延长线于点，连接，平面，又，平面，平面，平面，平面平面，过点作于，平面平面，平面，平面，为直线与平面所成的角.，故选A图2考题猜测全视角【为什么猜这道题】直线和平面所成角的问题在课标全国卷中时常考到，此类问题多以柱体或锥体为载体，考查空间问题平面化的思想，难度中档；二面角问题在小题中考查概率较小.【还可能怎么考】一般空间角
45、除考查直线和平面所成的角，还常常考查异面直线所成的角、二面角，如果所成的角不是特殊角，还经常设问成角的正弦值或余弦值.如下题：比如：（2021海南三模）已知直四棱柱的所有棱长均相等，是上一动点，当取得最小值时，直线与所成角的余弦值为ABCD【答案】A【解析】如图，设直四棱柱的棱长为2，将侧面展开到与平面共面的位置，可知当取得最小值时，为的中点，连接，则，为直线与所成的角或其补角，此时，连接BD，为等边三角形，则为等腰三角形，可得故选A【方法总结】求关于空间角的小题时往往通过平移把空间角转化为平面角，放在三角形中解决问题.撞题点二十五 立体几何解答题（空间角与距离）25（2021安徽省江南十校高
46、考数学一模试卷）如图，在平面四边形中，且以为折痕把和向上折起，使点到达点的位置，点到达点的位置，不重合）（1）求证：；（2）若平面平面，点在平面内的正投影为的重心，且直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值【解析】（1）如图，取的中点，连接和， 由题意可知，和均为等腰三角形，且，故，又因为，所以平面，又因为平面，所以.（2）由（1）可知，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，直线与平面所成的角为，可得，因为，为的中点，所以，所以,所以，所以为等边三角形，且为等边的中心，连接OA，则点在线段OA上，以O为坐标原点，OD，OA所在直线分别为x，y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的
47、空间直角坐标系，则,所以,设为平面的法向量，则，即，令，可得，则平面的一个法向量为，设为平面的法向量，则，即，令，可得，故平面的一个法向量为，故，易知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为考题猜测全视角【为什么猜这道题】立体几何解答题中，证明线线、线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些.【还可能怎么考】线线平行与垂直、线面平行与垂直、面面平行与垂直、线面角的度量、二面角的度量、距离的度量，根据角或距离确定线段长度等.【方法总结】利用法向量求解空间角与距离的关键在于“四破”：第一，破
48、“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.撞题点二十六 立体几何解答题（探索性问题）26（2021广东一模）如图，在四棱锥中，平面平面，（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由【解析】（1）平面平面，平面平面，平面，平面，在直角梯形中，即，又，平面，平面（2）以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，0，1，4，0，1，4，设，则，0，1，设平面的法向量为，则，即，令，则，平面的一个法向
49、量为，1，与平面所成角的正弦值为，化简得，解得，故线段上存在点满足题意，且考题猜测全视角【为什么猜这道题】立体几何中探索性问题是热点问题，主要探索某直线或某平面上是否存在一点满足条件.【还可能怎么考】探索平行或垂直需满足的条件、探索空间角或距离需满足的条件.【方法总结】（1）假设题中的数学对象存在；（2）在（1）的前提下进行逻辑推理，把要成立的结论当条件，据此列方程或方程组，有解就存在，无解就不存在.撞题点二十七 直线与圆的位置关系27（2021福州一模）已知圆的方程为，过点的直线与圆交于，两点（点在第四象限）若（O为坐标原点），则点的纵坐标为 【答案】【解析】由三角形的补角可知，又因为，所以
50、，故为等腰三角形，所以，设，则，解得，所以点的纵坐标为故答案为考题猜测全视角【为什么猜这道题】直线与圆的位置关系是高考考查的热点之一，通常涉及位置关系的判断、圆的切线、直线与圆相交的弦长、公共弦、弦中点的问题等.【还可能怎么考】求圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的切线、圆与圆的位置关系、弦长与中点弦问题、与圆相关的最值问题、与圆相关的轨迹问题.【方法总结】 已知两圆半径分别为，两圆的圆心距为，则：（1）两圆外离；（2）两圆外切；（3）两圆相交；（4）两圆内切；（5）两圆内含.撞题点二十八 椭圆的基本性质28（2021温州模拟）如图，是直线上一点，过点作椭圆的两条切线，直线与交于点，则的最小值是
51、 ABCD【答案】A【解析】设则易得直线AB的方程为，故，且过左焦点，当且仅当，即时取等号，时，取到最小值，的最小值是.故选A.考题猜测全视角【为什么猜这道题】椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的简单几何性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中基本量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点，在各种题型中均有涉及.【还可能怎么考】椭圆的定义及应用、求椭圆的标准方程、求椭圆的离心率、椭圆的简单几何性质及应用、弦长问题、中点弦问题、切线问题、最值范围问题.【方法总结】椭圆中常用的重要结论：（1）若是椭圆的不平行于对称轴的弦，为的中点，O为坐标原点，则（2）设点是椭圆上异于长轴端点的任
52、一点，为其焦点，记，则：；（3）若在椭圆上，则过点的椭圆的切线方程是（4）若在椭圆外，则过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线的方程为（5）已知椭圆，为坐标原点，为椭圆上两动点，且，则：；的最小值为；的最小值为撞题点二十九 双曲线的基本性质29（2021河北省衡水中学高考数学第二次联考试卷）三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题如图，在扇形中，为其一条弦，是弦的两个三等分点，以为左焦点，为顶点作双曲线设双曲线与的交点为，若双曲线的方程为，则圆的半径为ABCD【答案】C【解析】设双曲线的焦距为，圆的半径为，由题意可知，由，是弦的两个三等
53、分点，可得，又，在中，则故选C考题猜测全视角【为什么猜这道题】双曲线是高考中几乎必考知识点，难度比椭圆和抛物线略低一些.课标全国卷主要考查双曲线的定义、方程、离心率和渐近线等基础知识，侧重考查基本量的计算.【还可能怎么考】双曲线的定义及应用、求双曲线的标准方程、双曲线的离心率、双曲线的简单几何性质、弦长问题、中点弦问题、最值与范围问题.【方法总结】双曲线中常用的重要结论：（1）若是双曲线的不平行于对称轴且过原点O的弦，为的中点，则（2）设点是双曲线上异于实轴端点的任一点，为其焦点，记，则：；（3）若在双曲线上，则过点的双曲线的切线方程为（4）若在双曲线外，则过点作双曲线的两条切线，切点分别为，
54、则切点弦所在直线的方程为（5）已知双曲线，为坐标原点，为双曲线上两动点，且，则：；的最小值为；的最小值为撞题点三十 抛物线的基本性质30（2021九江二模）已知抛物线，斜率为1的直线过抛物线的焦点，若抛物线上有且只有三点到直线的距离为，则A4B2C1D【答案】B【解析】由题意知，设与抛物线相切，由，可得，则，解得，且，因为平行线与的距离为：，所以，故选B考题猜测全视角【为什么猜这道题】抛物线是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线及其几何性质.【还可能怎么考】抛物线的定义及应用、求抛物线的标准方程、抛物线的简单几何性质、弦长问题、中点弦问题、切线问题、最值与范围问题.【方法总
55、结】抛物线中常用的重要结论：若为抛物线的焦点弦，则有以下结论：（1）（2）（3）焦点弦长公式1：，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）（4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角，O为坐标原点）撞题点三十一 圆锥曲线的轨迹问题31（2021江苏四校模拟）已知椭圆的右焦点为，且过点（1）求椭圆的标准方程；（2）若点、分别在椭圆和直线上，（O为坐标原点），为的中点，求证：直线与直线的交点在某定曲线上【解析】（1）由题意可知，为椭圆的左顶点，故，又为的右焦点，所以，于是，故椭圆的标准方程为.（2）设，则，直线的斜率，又，所以直线的方程为，令得，所
56、以，又点在椭圆上，所以，代入得，所以，故直线与的交点在以为直径的圆上（除去O，F两点），且该圆的方程为，即直线与直线的交点在定曲线上考题猜测全视角【为什么猜这个题】动点的运动轨迹所给出的条件千差万别，因此求轨迹的方法也多种多样，但应理解所求动点的轨迹方程其实质即为其上动点的横纵坐标所满足的等量关系式，通常的方法有直译法、定义法、几何法、相关点法（代入法）、参数法.【还可能怎么考】直接法求轨迹方程、定义法求轨迹方程、相关点法求轨迹方程、参数法求轨迹方程.【方法总结】直接法求轨迹方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系；（2）设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；（3）化
57、简整理这个方程，检验并说明所求方程就是曲线的方程.直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为“建系，设点，列式，化简”.撞题点三十二 圆锥曲线中的定点、定值问题32（2021泉州一模）已知椭圆的左、右顶点分别为，右焦点为，折线与椭圆交于，两点（1）当时，求的值；（2）设直线与交于点，证明：点在定直线上【解析】如图，设，则，关于x轴对称的点分别为，联立，得，所以，（1），当时，（2）由题意知，则直线的方程为，又因为，所以直线的方程为，由题意知，则直线的方程为，又因为，所以直线的方程为，得，所以，所以，即，所以，解得，所以定点在直线上考题
58、猜测全视角【为什么猜这个题】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的热点题型.【还可能怎么考】证明过定点问题、面积或长度为定值问题.【方法总结】一、圆锥曲线中定点问题的常见解法：（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意二、解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量函数定值”，具体操作程序如下：（1）变量选择适当的量为变量；（2）函数把要证明为定值的量表示成变量的函数；（3）定值化简得到函数解析式，消去
59、变量得到定值.三、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 撞题点三十三 圆锥曲线中的最值问题33（2021徐州三调）（2021徐州模拟）某城市决定在夹角为的两条道路、之间建造一个半椭圆形状的主题公园，如图所示，千米，为的中点，为椭圆的长半轴，在半椭圆形区域内再建造一个游乐区域（如图中），其中，在椭圆上，且的倾斜角为，交于（1）若千米，为了不破坏道路，求椭圆长半轴长的最大值；（2）若椭圆的离心率为，当线段长为何值时，游乐区域的面积最大？【解析】（1）以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方
60、向为轴的正方向建立平面直角坐标系，则由题意可知，由，可得，所以，所以直线的方程为，设，则，所以椭圆方程为，当最大时直线与椭圆相切，由，整理可得：，则，解得（不合题意，舍去）所以椭圆长半轴长的最大值为.（2）因为，所以，所以椭圆的方程为.设，则，直线的方程为，由，整理可得：，设，则，要保证与半椭圆有交点，当位于时，所以，当，即时，有最大值1，综上所述，当时，三角形的面积最大考题猜测全视角【为什么猜这道题】圆锥曲线中最值与范围问题是高考中的热点题型，属于高考高频考点.【还可能怎么考】长度、角度、面积、数量积、斜率等最值问题、范围问题.【方法总结】常见求法：(1)几何法，若题目中的条件和结论能明显体
61、现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下几个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围撞题点三十四 解析几何中的探索性问题34（2021江西省高考数学教学质量检测试卷）如图，已知椭圆的离心率为，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于，的一个动点，直线过点且垂直于轴，直线与交于点，圆以为直径当点在椭圆短轴端点
62、时，圆的面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆与的另一交点为，记的面积为，的面积为，试判断是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，求的取值范围【解析】（1）由题意可得，当点在椭圆短轴端点时，由，所以圆的面积为，所以，所以椭圆的标准方程为（2）由（1）知，的坐标分别为，设，则，所以，则直线的方程为，令，得，又，点在圆上，所以，因此，所以直线的方程为，即，由得到，代入直线的方程，化简为，设，两点到直线的距离分别为，则，为定值考题猜测全视角【为什么猜这道题】圆锥曲线中探索性问题是高考中的热点题型，经常与定值、定点问题综合到一起考查.【还可能怎么考】（1）探求直线与圆锥曲线的位置关系；（2）
63、探求满足题意的点与线是否存在；（3）探求满足题意的特殊图形是否存在.【方法总结】存在性问题的求解策略：（1）解决存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性明朗化.（2）一般步骤：假设满足条件的曲线（或直线、点）等存在，用待定系数法设出；列出关于待定系数的方程（组）；若方程（组）有实数解，则曲线（或直线、点等）存在，否则不存在.撞题点三十五 古典概型与几何概型35（1）（2021广东一模）某圆形广场外围有12盏灯，如图所示，为了节能每天晚上12时关掉其中4盏灯，则恰好每间隔2盏灯关掉1盏的概率是_【答案】【解析】将12盏灯依次编号为1，2，3，12，从12盏灯中关掉4盏灯，共有种方法，每间隔2
64、盏灯关掉1盏共有3种情况，即关掉1，4，7，10或2，5，8，11或3，6，9，12，所以恰好每间隔2盏灯关掉1盏的概率为，故答案为：（2）（2021东北三省三校高考数学第二次联考试卷）割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现如图，揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法，在三角形内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为ABCD【答案】A【解析】根据题意可得长方形BCGH的长为三角形ABC的底，长方形BCGH的宽为三角形ABC的高的一半，故该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形ABC面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的
65、区域的概率为，故选A考题猜测全视角【为什么猜这道题】几何概型与古典概型结合互斥、对立事件的概率公式在新课标高考中也属于高频撞题点.解决古典概型问题时，首先分析试验的基本事件是什么，然后找到所有的基本事件，计算事件总数，其次要找到所研究事件包含的基本事件，计算总数，然后根据比值计算概率；解决几何概型问题时，首先分析基本事件的总体，再找所研究事件的区域，选择合适的度量方式，概率就是度量比，一般是长度、面积、体积.【还可能怎么考】古典概型的计算、古典概型与统计的综合应用、长度概型、面积概型、体积概型、角度概型等.【方法总结】几何概型的判断与运用：1凡是涉及一个点在线段上或圆周（弧）上移动或只有一个变
66、量在区间上任意取值，则所求事件A的概率一定是长度比！2凡是涉及一个点在（曲边）多边形内部（及边界）移动或两个变量（或两个动点）在区间上任意取值，则所求事件A的概率一定是面积比！如：两人见面的概率问题，两船先后停泊的概率问题，二次方程（含两个参数）有实数解的概率问题，两个变量在同一区间取值的概率问题3凡是涉及一个（质）点在空间几何体中的运动或位置，则所求事件A的概率一定是体积比！撞题点三十六 条件概率与相互独立事件的概率36（1）（2021长春二模）已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为ABCD【答案】C【
67、解析】设事件“第1次抽到代数题”，事件“第2次抽到几何题”，所以，则故选：C（2）（2021湖南三模）在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为和，则ABCD以上三种情况都有可能【答案】A【解析】根据题意，按方法一摸球，每箱中黑球被摸出的概率为，则没有摸出黑球的概率为，则至少能摸出一个黑球的概率为，按方法二摸球，每箱中黑球被摸出的概率为，则没有摸出黑球的概率为，则至少能摸出一个黑球的概率为，因为，所以，
68、故选：A考题猜测全视角【为什么猜这道题】条件概率与相互独立事件的概率在小题中也时有考查，情境新颖，与生活实际紧密结合，充分考查学生分析问题与解决问题的能力.【还可能怎么考】比如：（2021宝鸡模拟）托马斯贝叶斯（Thomas Bayes）在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率这个定理在实际生活中有着重要的应用价值假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为99%，即已知患病情况下，99%的可能性可以检查出阳性，正常人99%的可能性检查为正常如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全
69、概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为A0.1%B8%C9%D99%【答案】C【解析】记一个人得病为事件A，检测结果为阳性为事件B，则，所以，所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为9%故选：C【方法总结】（1）条件概率一般有两种求解方法：定义法：先求P(A)和P(AB)，再由,求P(B|A)；基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得.（2）求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较繁或难以入手时，可
70、从其对立事件入手计算撞题点三十七 统计图表问题37（2021菏泽一模）2020年5月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A这11天复工指数和复产指数均逐日增加B这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差C第3天至第11天复工复产指数均超过D第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量【答案】C【解析】第8天比第7天的复工指数和复产指数均低，A错；这11天期间，复产指数的极差小于复工指数的极差：两者最高值差不多，但复工指数的最低值比复产指数的最低值低得多，B错；第3天至第11天复工复产指数均超过，C正确；第
71、9天至第11天复工指数的增量小于复产指数的增量，D错误故选：C考题猜测全视角【为什么猜这道题】统计学属于高考必考题型，难度一般较小.主要内容有：（1）三种抽样(以分层抽样为主)；（2）频率分布表和频率分布直方图（或其他图表）；（3）回归分析；（4）独立性检验.【还可能怎么考】频率分布直方图、茎叶图、折线图、雷达图、条形图等.【方法总结】利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者在频率分布直方图中：（1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积
72、乘以小长方形底边中点的横坐标之和撞题点三十八 排列与组合38（2021浙江超级全能生）某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题，并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有_种不同的答题顺序【答案】60【解析】由题意可知，只需要同一列顺序为从下到上即可，一共6只灯笼，第一步，从6个选3个，第二步，从3个选2个，最后回答剩下的那一个，故有种，故答案为：60考题猜测全视角【为什么猜这道题】排列组合问题往往以实际问题为背景，重在考查学生解决问题的能力，试题难度与教材相当.排列问题主要考查：特
73、元特位、捆绑、插空和定序等问题；组合问题主要考查：单纯组合题、分选问题、选排问题、分组问题和分配问题.【还可能怎么考】排列应用题（典型题相邻与不相邻）、组合应用题（分组分配）、相同元素（隔板法）、排列组合综合应用.比如：（2021辽宁省百校联盟精练卷）某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加且不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的个数是若1班不再分配名额，则共有种分配方法若1班有除劳动模范之外学生参加，共有种分配方法若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法若每个班至少3人
74、参加，则共有126种分配方法A1B2C3D4【答案】B【解析】依次分析选项：对于，若1班不再分配名额，即将20个名额分配到其他5个班级，每个班都必须有人参加，可以将20个名额看成20个小球，排成一排，中间有19个空位可用，在其中任选4个，安排4个挡板，有种情况，即有种分配方法，错误；对于，若1班有除劳动模范之外学生参加，即将20个名额分配到6个班级，每个班都必须有人参加，可以将20个名额看成20个小球，排成一排，中间有19个空位可用，在其中任选5个，安排5个挡板，有种情况，即有种分配方法，正确；对于，若每个班至少3人参加，1班有2个劳动模范，先满足每个班级2个名额，还剩10个名额，分配到6个班
75、级，每个班都必须有人参加，可以将10个名额看成10个小球，排成一排，中间有9个空位可用，在其中任选5个，安排5个挡板，有情况，即有126种分配方法，错误，正确；故选：B【方法总结】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；（1）“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；（2）“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；（3）“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；（4）“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决撞题点三十九
76、 二项式定理39（2021湖北武汉质检）已知正整数，若的展开式中不含的项，则的值为A7B8C9D10【答案】B【解析】，的展开式的通项为，中的系数为，中的系数为，故的展开式中的项系数为，故，故，故选：B考题猜测全视角【为什么猜这道题】二项式定理是高考中的热点题型，一般考查二项展开式的系数或某项，属于中等偏易题此题与课本紧密结合主要考查二项展开式中不含某一项的问题，回归课本考查考生的应用意识【还可能怎么考】利用通项求解展开式中的某指定项；利用二项式特别是的展开式求解系数或求某些类似于二项展开式的式子的值；二项式系数的有关问题比如：（2021辽宁二模）在的展开式中，所有形如的项的系数之和是_【答案
77、】【解析】因为，所以展开式中含的项为，令，则所求系数之和为，故答案为：【方法总结】二项式定理问题解题策略：常规问题通项分析法；系数和差赋值法；近似问题截项法；整除(余数)问题展开法撞题点四十 回归分析40（2021福建省质检二）抗癌药在消灭癌细胞的同时也会使白细胞的数量减少一般地，病人体内白细胞浓度低于4000个/mm3时需要使用升血药物进行“升血”治疗，以刺激骨髓造血，增加血液中白细胞数量为了解病人的最终用药剂量数y（1剂量=25 g）和首次用药时的白细胞浓度x（单位：百个/mm3）的关系，某校研究性学习小组从医院甲随机抽取了首次用药时白细胞浓度均分布在04000个/mm3的47个病例，其首
78、次用药时的白细胞浓度为xi（单位：百个/mm3），最终用药剂量数为yi（i=1，2，47），得到数据（xi，yi）（i=1，2，47），数据散点图如图所示他们观察发现，这些点大致分布在一条L形折线（由线段L1和L2组成）附近，其中L1所在直线是由、区的点得到的回归直线，方程为，其中，；L2所在直线是由、区的点得到的回归直线，方程为以下是他们在统计中得到的部分数据：区：，；区：，（1）根据上述数据求的值；（结果保留两位小数）（2）根据L形折线估计，首次用药时白细胞浓度（单位：个/mm3）为多少时最终用药剂量最少？（结果保留整数）（3）事实上，使用该升血药的大量数据表明，当白细胞浓度在04000个
79、/mm3时，首次用药时白细胞浓度越高，最终用药剂量越少请从统计学的角度分析（2）的结论与实际情况产生差异的原因（至少写出两点）参考数据：，30+0.74510=37.45，24+1.88914.551.39，24.4+1.21414.241.64【解析】（1），即，；（2）由（1）知，所以的方程为联立，解得所以首次用药时白细胞浓度为2195个时，最终用药剂量最少；（3）从统计学的角度分析（2）的结论可得：一次取样未必能客观反映总体；样本容量过小也可能影响估计的准确性考题猜测全视角回归分析是统计学的热点之一，经常与离散型随机变量的期望与方差结合到一起考查.【为什么猜这道题】回归分析是统计学的热点
80、之一，主要考查散点图、变量间的相关关系的判断以及线性回归方程的求法，考查学生分析问题解决问题的能力.【还可能怎么考】利用散点图判断变量间的相关性；求线性回归方程；求非线性回归方程；与概率统计相结合.【方法总结】求线性回归直线方程的步骤：（1）用散点图或相关系数判断两个变量是否具有线性相关关系；（2）求系数：公式有两种形式，即，当数据较复杂时，题目一般会给出部分中间结果，观察这些中间结果来确定选用公式的哪种形式求；（3）求：；（4）写出回归直线方程撞题点四十一 正态分布41（2021深圳二调）已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学
81、生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为，求的期望和方差；（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量服从二项分布，那么当比较大时，可视为服从正态分布任意正态分布都可变换为标准正态分布且的正态分布），如果随机变量，那么令，则可以证明当时，对于任意实数，记已知如表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布对应的概率值例如当时，由于，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是的值（）求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；（）若要
82、使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.5000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58340.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.6
83、3680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.6280.66640.67000.67360.67720.68080.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.71570.71900.7224【解析】（1）由题意可得，随机变量服从二项分布，则，；（2）由于（1）中二项分布的值较大，故可以认为随机变量服从正态分布，由（1）可得，由题意，可得，则，则，由标准正态分布性质可得，故，则，故阅览室晚上座位不够用的概率为0.5793；查表可得，则，即，又，故座位数至少要1016个，由于，所以阅览
84、室至少还需要增加22个座位考题猜测全视角【为什么猜这道题】正态分布是统计学的热点之一，主要考查正态分布的概念与性质、正态分布计算问题、正态分布的实际应用，考查学生分析问题与解决问题的能力.【还可能怎么考】正态分布的性质、服从正态分布的计算、正态分布的应用、正态分布与概率统计的综合.【方法总结】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：熟记P(-X+)，P(-2X+2)，P(-3p1p2，且假定各人能否完成任务的事件相互独立若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，其中q1，q2是p1，p2的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最
85、小【解析】（1）这5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽选到的概率为，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽选到的概率为；（2）第二次抽选到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人，设表示第二次抽选到的没有支教经验的教师人数，可能的取值有0，1，2，则，因为，所以第二次抽选到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人；（3）按照先A后B的顺序所需人数期望最小：设X表示先A后B完成任务所需人员数目，则X12Pp11-p1，设Y表示先B后A完成任务所需人员数目，则X12Pp21-p2，故按照先A后B的顺序所需人数期望最小考题猜测全视角【为什么猜这道题】离散型随机变量及分布列是高考的热点问题，主要考查：离散型
86、随机变量的分布列及期望方差；二项分布及其应用；超几何分布及其应用【还可能怎么考】离散型随机变量的分布列、超几何分布、二项分布、决策性问题【方法总结】“二项分布”与“超几何分布”的区别与联系（1）“二项分布”所满足的条件：每次试验中，事件发生的概率是相同的，是一种放回抽样；各次试验中的事件是相互独立的；每次试验只有两种结果，要么发生，要么不发生（2）“超几何分布”的本质：在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的，是不放回抽样；（3）超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”撞题点四十四 线性规划44（2021西安一模）已知实数，满足约束条件，则的最大值为_【答
87、案】9【解析】画出约束条件的可行域如图中阴影部分所示，令，由图可知，当直线过点时，取得最大值为，此时取得最大值为9故答案为：9考题猜测全视角【为什么猜这道题】新课标卷线性规划几乎每年必考，多出现在第5-9或第13-14题的位置，考法比较简单，常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）与其他章节（如平面向量、基本不等式、解析几何等等）交汇考查的可能性较小【还可能怎么考】表示平面区域（求面积）、求目标函数的最值、利用目标函数的最值求参数的范围、线性规划的实际应用【方法总结】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线
88、的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围撞题点四十五 基本不等式的应用45（2021辽宁模拟）已知，且，则的最小值为_【答案】【解析】因为，当且仅当时取等号，所以，故，所以，所以，即最小值为故答案为：考题猜测全视角【为什么猜这道题】新课标高考在小题中很少单纯考基本不等式，但并不意味着不考，基本不等式作为重要工具经常与其他章节交汇到一起考查，比如：函数、解析几何最值范围问题、不等式选修等等【还可能怎么考】利用基本不等式求最值、求参数的取值范围、证明不等式、实际应用问题比如：（2021湖南4月六校联考）数学里有一种证明方法叫做，也称之
89、为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，则该图形可以完成的无字证明为ABCD【答案】C【解析】由题意得，在中，因为，所以，当且仅当时取等号，故选：C【方法总结】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值撞题点四十六 推理与证明46（2021江苏一模）哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆
90、尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为 A11B13C15D17【答案】C【解析】根据题意，如图：假设在图2的哥隆尺中，从左到右，依次有点，BE之间的距离为11，可以一次性度量11，CF之间的距离为13，可以一次性度量13，AF之间的距离为17，可以一次性度量17，任意两点间的距离不会等于15，不能一次性度量15，故选：C考题猜测全视角【为什么猜这道题】合情推理在高考中时而考到，重点考查归纳推理，经常以图表或解析式的形式考查.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质；二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.【还可能
91、怎么考】考查式的归纳、图的归纳、形的归纳，考查类比推理，考查逻辑推理等.比如：（2021福建质检）甲、乙、丙三位同学参加学习脱贫干部黄文秀、戍边英雄陈红军、人民科学家南仁东、抗疫英雄张定宇等英雄的先进事迹知识竞赛该竞赛共有10道判断题，三位同学的答题情况如下：考试成绩公布后，三个人都答对了7道题，由此可知，题的正确答案依次是题号选手12345678910甲乙丙A、B、C、D、【答案】A【解析】甲与乙1，2，3，10题答案相同，乙与丙2，4，5，7题答案相同，甲与丙2，6，8，9题答案相同，两两都有4题答案相同，6题不同，因为都对7题，所有4题相同的都答对了，6题不同的各对了3道，所以题的答案为
92、：，故选：A【方法总结】常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：（1）数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；（2）形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.撞题点四十七 程序框图47（2021九江二模）孙子算经是中国古代重要的数学著作，具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”是中国最早一元线性同余方程组问题，如图为由该算法演变而来的一个程序框图，则程序运行后输出的结果是_（其中表示P被n除余m）【答案】6【解析】模拟
93、程序的运行，可得；不满足判断框条件，；不满足判断框条件，；不满足判断框条件，；不满足判断框条件，此时满足判断框条件，故输出的i的值为6故答案为：6考题猜测全视角【为什么猜这道题】新课标近八年高考几乎每年必考，主要考查循环结构框图，综合性较强，涉及撞题点非常广泛，经常与数列、函数、不等式、概率统计、传统文化等交汇到一起考查.【还可能怎么考】条件结构框图、循环结构框图、填条件等.【方法总结】解决程序框图问题时一定注意以下几点：（1）不要混淆处理框和输入框；（2）注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；（3）注意区分当型循环结构和直到型循环结构；（4）处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；
94、（5）要注意各个框的顺序；（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.撞题点四十八 复数48（2021武汉质检）复数z满足，则在复平面内表示复数z的点位于A第一或第三象限B第二或第四象限C实轴D虚轴【答案】B【解析】设，则，因为，所以，即，所以，所以在复平面内表示复数z的点位于第二或第四象限，故选B考题猜测全视角【为什么猜这道题】复数题几乎每年必考一道，重点考查了复数的代数形式的四则运算，偶尔也与其他知识交汇到一起考查，比较基础经常涉及的基本概念有：复数的分类、实部、虚部、复数的模、共轭复数、复数相等、对应复平面内点的坐标.备考指南：试
95、题难度与课本持平，掌握好课本习题的水准，即可从容应考【还可能怎么考】复数的基本概念、复数的运算、复数的几何意义.比如：（2021哈尔滨三中三模）已知复数z的模为1，复数，则在复平面内，复数w所对应的点与点的距离的最大值是A6BCD【答案】B【解析】设，因为，所以，故在复平面内复数w对应的点的坐标为，设在复平面内复数w所对应的点与点的距离为d，则，对称轴为，因为，所以当时，故，所以在复平面内复数w所对应的点与点的距离的最大值是故选：B【方法总结】复数运算中的常用结论：（1）；（2）.撞题点四十九 坐标系与参数方程49（2021安徽合肥一模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），
96、以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若点为曲线C上两点，且满足，求的最大值【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数），其中，所以，根据转换为极坐标方程为（2）设，故，不妨设，故，当时，取得最大值为考题猜测全视角【为什么猜这道题】极坐标与参数方程作为两道选做大题之一出现，主要考查极坐标方程、参数方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系的判断以及距离的最值问题.难度中等.【还可能怎么考】（1）求曲线的极坐标方程和普通方程；（2）求弦长；（3）求点的直角坐标或极坐标；（4）求曲线上的点到直线的距离的最小值，并求取得最小值时点的坐标.【方法总结】
97、利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题.经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为，则以下结论在解题中经常用到：撞题点五十 不等式选讲50（2021安徽江淮十校第三次质检）已知，（1）若，求实数的取值范围；（2）证明：对，【解析】（1）由，可得，当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，即，不成立；当时，不等式化为，解得综上，原不等式的解集为或（2）要证明对，恒成立，需证明对，恒成立，即因为，所以只需证，即因为，当且仅当时等号成立，所以原命题成立考题猜测全视角【为什么猜这道题】不等式选讲作
98、为两道选做大题之一出现，一般设计绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题以及不等式的证明问题，难度中等.【还可能怎么考】已知函数.（1）当a=1时，作出函数的图象；（2）若,求a的取值范围；（3）若不等式恒成立，求a的取值范围；（4）若不等式的解不是空集，求a的取值范围；（5）若恒成立，求a的取值范围；（6）设,且当时，,求a的取值范围；（7）当时，恒成立，求a的取值范围；（8）若函数的图象都在函数图象的上方，求a的取值范围.【方法总结】一、绝对值不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想二、已知不等式恒成立（或有解）求参数范围的方法：分离参数法，更换主元法，数形结合法.
