1、数学章末总结 数学网络建构主题串讲数学网络建构网络点拨 一种思想:函数与方程思想 两种数列:等差数列、等比数列 三种表示方法:图象法、解析法、列表法 四个公式:等差数列通项公式与前n项和公式、等比数列通项公式与前n项和公式 数学主题串讲解:(1)由 an+1-an=3n-n,得 an-an-1=3n-1-(n-1),an-1-an-2=3n-2-(n-2),a3-a2=32-2,a2-a1=3-1.当 n2 时,以上(n-1)个等式两端分别相加,得(an-an-1)+(a n-1-an-2)+(a2-a1)=3n-1+3n-2+3-(n-1)+(n-2)+1,即 an-a1=13 1313n-
2、12n n.又因为 a1=1,所以 an=12 3n-12n n-12.显然 a1=1 也适合上式,所以an的通项公式为 an=12 3n-12n n-12.一、通项公式的求法【典例 1】(1)已知数列an中,a1=1,且 an+1-an=3n-n,求数列an的通项公式.(2)已知数列an满足 an+1=2nan,且 a1=1,求 an.数学(2)因为1nnaa=2n,所以21aa=2,32aa=22,43aa=23,1nnaa=2n-1,将上述各式相乘,可得 21aa 32aa 43aa 1nnaa=222232n-1.又因为 a1=1,所以 an=21+2+3+(n-1)=122n n.数
3、学解:设 an+1-A=12(an-A),则 an+1=12an+12A.根据 an+1=12an+1 可得 12A=1,A=2,所以 an+1-2=12(a n-2).令 bn=an-2,则 b1=a1-2=-1,bn+1=12 bn,所以数列bn是以-1 为首项,12 为公比的等比数列.所以 bn=b1qn-1=(-1)（12）n-1=-（12）n-1,所以 a n=2+bn=2-（12）n-1.【典例 2】若数列an满足 a1=1,an+1=12 an+1,求 an.数学规律方法 求数列通项公式的常用方法:(1)观察归纳法;(2)迭代法;(3)累加法:适用于 an+1-an=f(n)形式
4、;(4)累乘法:适用于1nnaa=f(n)形式;(5)构造法:适用于 an+1=pan+q(p、q 为常数,p1,q0)形式;(6)公式法:适用于等差、等比数列;(7)由 an 与 Sn 的关系求 an.数学二、等差数列与等比数列的基本运算【典例 3】已知an是各项为不同的正数的等差数列,lg a1、lg a2、lg a4 成等差数列.又 bn=21na,n=1,2,3.(1)证明:bn为等比数列;(2)如果数列bn的前 3 项的和等于 724,求数列an的通项公式 an及数列bn的前 n 项和 Tn.数学(1)证明:因为 lg a1、lg a2、lg a4 成等差数列,所以 2lg a2=l
5、g a1+lg a4.即22a=a1a4.设等差数列an的公差为 d,则(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得 d2=a1d.因为 d0,所以 a 1=d.所以2na=a1+(2n-1)d=2nd.所以 bn=21na=1d 12n.所以bn是以 12d 为首项,12 为公比的等比数列.(2)解:因为 b1+b2+b3=12d（1+12+14）=724,所以 d=3.所以 a1=d=3.所以 an=a1+(n-1)d=3n,bn=13（12）n.Tn=b1+b2+bn=11162112n=13 1-(12)n.数学规律方法 在等差数列an中,通常把首项a1和公差d作为基本量,在等比数列bn
6、中,通常把首项b1和公比q作为基本量,列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列的常用方法.数学三、数列求和【典例 4】若数列an满足21na -2na=d,其中 d 为常数,则称数列an为等方差数列.已知等方差数列an满足 an0,a1=1,a5=3.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列2 12nna的前 n 项和 Sn.解:(1)由21a=1,25a=9,得25a-21a=4d,所以 d=2.2na=1+(n-1)2=2n-1,因为 an0,所以 an=21n .数列an的通项公式为 an=21n.数学(2)2na(12)n=(2n-1)12n.Sn=1 12+3212+5312
7、+(2n-1)12n,12Sn=1212+3312+5412+(2n-1)112n,-,得 12 Sn=12+2(212+312+12n)-(2n-1)112n=12+2111142112n-(2n-1)112n,Sn=3-232nn.即数列2 12nna的前 n 项和为 3-232nn.数学规律方法 (1)一般地,对于数列cn,如果cn=anbn,且数列an是等差数列,数列bn是等比数列,那么可以用错位相减法求数列cn的前n项和.(2)错位相减法的步骤是:在等式两边同时乘等比数列bn的公比;将两个等式相减;利用等比数列的前n项和公式求和.数学解:法一 已知an为等差数列,a1=14,由 S3
8、=S5,得 3a 1+3 22d=5a1+542d.即 2a1+7d=0,所以 d=-27 a1=-4.所以 an=14+(n-1)(-4)=18-4n.令 an=-4n+180,则 n4,而 a4=2,所以 n=4 时,Sn 最大.四、数列中的最值【典例5】等差数列an的首项为a1=14,前n项和为Sn.若S3=S5,当n为何值时,Sn最大?名师导引:根据S3=S5,确定基本量后,根据项的正负求解即可,根据二次函数的性质讨论最值.数学法二 由 S3=S5 3a1+3 22d=5a1+542d,又 a1=14,所以 d=-27a1=-4.所以 Sn=na1+12n n d=14n+12nn(-
9、4)=-2n2+16n(nN*).所以 Sn=-2(n2-8n)=-2(n-4)2+32.所以 n=4 时,Sn 最大.法三 由法二知,Sn=-2n2+16n,而函数 y=-2x2+16x 的对称轴是x=-1622=4.若 xN*,则 x=4,y 最大,即当 n=4 时,Sn 最大.数学规律方法 求等差数列前n项和Sn的最值问题的常用方法有:(1)二次函数法配方,找对称轴,注意nN*.(2)通项公式法利用100nnaa (a10,d0),求 Sn 的最大值.利用100nnaa(a10),求 Sn 的最小值.数学五、数列的应用题【典例6】某文具用品商店开业前要购买一批文具,预算需16000元,店
10、主已有现金6000元,尚缺10000元,以月利率1%,每月按复利计息借贷,借款人借贷后第二个月开始以一定金额分6个月付清,则每月应支付多少元?(不满百元凑足百元,lg 1.010.0043,lg 1.0610.0257,lg 1.070.0294)名师导引:本题考查分期付款问题.方法一:以该商店的欠款为主线计算.方法二:可以假设该店主不是每个月以一定金额还清贷款,而是每个月将这一固定数目的金额以相同的条件存储在银行,最后再一次还清.数学解:法一 设每个月还贷款 a 元,以后第 n 个月还贷款 a 元后还剩下欠款 an 元(1n6),设最初贷款为 a0=10000,则 a1=a0(1+1%)-a
11、,a2=a1(1+1%)-a=a0(1+1%)2-1+(1+1%)a,a6=a5(1+1%)-a=a0(1+1%)6-1+(1+1%)+(1+1%)5a,由题意,得 a6=0,即 a0(1+1%)6-1+(1+1%)+(1+1%)5a=0,所以 1041.016-61 1.011 1.01a=0,所以 a=6261.01101.011.又因为 lg 1.016=6lg 1.010.0258,所以 1.0161.061.因此,a=6261.01101.0111739.结合题意每月应支付 1800 元.数学法二 一方面,借贷 10000 元,将此贷款以相同的条件存储六个月,则它的本息和为 S1=1
12、04(1+0.01)6=1041.016.另一方面,设每个月还贷款 a 元,分 6 个月还清,其本息和为 S2元,则 S2=a(1+0.01)5+a(1+0.01)4+a=610.0111.01 1a=a(1.016-1)102.由 S1=S2,得 a=6261.01101.011.又因为 lg 1.016=6lg 1.010.0258,所以 1.0161.061.因此,a=6261.01101.0111739.结合题意每月应支付 1800 元.数学规律方法 处理分期付款问题的两种常用方法:(1)按照事件发生的先后顺序依次求出数列的前几项,并由此归纳得出数列通项的一般表达式.(2)以贷款和存款的增值两条线索分别计算,并由它们的相等关系(或不等关系)建立方程(或不等式)求解.数学点击进入检测试题数学 谢谢观赏Thanks!
