1、第3课时 定点、定值与存在性问题基础达标练1.（2021山东淄博高二期中）已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点F在x轴上,抛物线C上一点P(4,m)到焦点F的距离为92（1）求抛物线C的标准方程;（2）设点M(-2,1) ,过点N(2,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,记直线MA与直线MB的斜率分别为k1,k2 ,证明：k1+k2为定值答案：（1）由题意,可设抛物线C：y2=2px(p0) ,则焦点F(p2,0) ,则|PF|=4+p2=92 ,解得p=1 ,因此,抛物线C的标准方程为y2=2x .（2）证明：设过点N(2,0)的直线l：x=ty+2(tR),A(x1,y1),B(x2,y
2、2),联立x=ty+2y2=2x消去x ,得y2-2ty-4=0 ,则y1+y2=2t,y1y2=-4k1+k2=y1-1x1+2+y2-1x2+2=y1-1ty1+4+y2-1ty2+4=2ty1y2+(4-t)(y1+y2)-8t2y1y2+4t(y1+y2)+16=-2t2-84t2+16=-12,因此,k1+k2为定值-122.（2020江西南昌新建一中高二期中）已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F(1,0),O为坐标原点,A,B是抛物线C上异于O的两点.（1）求抛物线C的方程;（2）若直线OA,OB的斜率之积为-12 ,求证：直线AB过定点,并求出定点坐标.答案：（1）因为抛
3、物线y2=2px(p0)的焦点为F(1,0) ,所以p2=1 ,即p=2 ,所以抛物线的方程为y2=4x .（2）当直线AB的斜率不存在时,设A(t24,t),则B(t24,-t),因为直线OA,OB的斜率之积为-12,所以tt24-tt24=-12,即t2=32,所以A(8,t),B(8,-t) ,此时直线AB的方程为x=8 ,直线AB过定点(8,0).当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=kx+b,k0 ,A(x1,y1),B(x2,y2) ,由y2=4xy=kx+b得ky2-4y+4b=0 ,则y1y2=4bk，因为直线OA,OB的斜率之积为-12,所以y1x1y2x2=-12,即x1x
4、2+2y1y2=0,即y124y224+2y1y2=0,解得y1y2=0（舍去）或y1y2=-32 ,所以4bk=-32 ,即b=-8k ,所以直线AB的方程为y=kx-8k ,即y=k(x-8) ,所以直线AB过定点(8,0).综上所述,直线AB过定点(8,0).3.已知点A(0,1)与B(3,12)都在椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)上,直线AB交x轴于点M .（1）求椭圆C的方程,并求点M的坐标;（2）设O为原点,点D与点B关于x轴对称,直线AD交x轴于点N ,则在y轴上是否存在点E ,使得OEM=ONE？若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由.答案：（1）由题意得1b2=1
5、,3a2+14b2=1,解得a2=4,b2=1,故椭圆C的方程为x24+y2=1 .直线AB的方程为y-112-1=x-03-0，即x+23y-23=0 ,令y=0 ,得x=23,所以M的坐标为(23,0) .（2）存在.因为点D与点B关于x轴对称,所以D(3,-12) ,所以kAD=-12-13-0=-32,所以直线AD的方程为y=-32x+1 ,令y=0 ,得x=233 ,所以点N(233,0) .假设存在点E(0,yE) ,使得OEM=ONE ,则EOMNOE ,则|OM|OE|=|OE|ON| ,即|OE|2=|OM|ON| ,则yE2=|xM|xN|,所以yE2=23233=4,所以
6、yE=2,故在y轴上存在点E ,使得OEM=ONE ,且点E的坐标为(0,2)或(0,-2).素养提升练4.（2020山东潍坊高二期中）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32 ,且上顶点M到直线3x+y+4=0的距离为3.（1）求椭圆C的方程;（2）设直线l过点(4,-2)且与椭圆C相交于A,B两点,l不经过点M .证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值.答案：（1）由题可得,e=ca=32b+42=3a2=b2+c2解得a=4,b=2 ,故椭圆C的方程为x216+y24=1 .（2）证明：易知直线l的斜率小于0,设直线l的方程为y+2=k(x-4),k0且k-1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立y+2=k(x-4)x216+y24=1得(1+4k2)x2-16k(2k+1)x+64k(k+1)=0则x1+x2=16k(2k+1)1+4k2,x1x2=64k(k+1)1+4k2,易知M(0,2),所以kMA+kMB=y1-2x1+y2-2x2=(kx1-4k-4)x2+(kx2-4k-4)x1x1x2=2k-(4k+4)x1+x2x1x2=2k-4(k+1)16k(2k+1)64k(k+1)=2k-(2k+1)=-1 ,所以直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值-1.
