1、排列组合问题常见的类型：分组分配问题：1、是否均匀；2、是否有组别。复习引入：解有关组合的应用问题时，首先要认真分析题意，以判断这个问题是不是组合问题组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题取出的元素之间与顺序有关，即如元素相同而顺序不同，就是不同的排列；而组合问题取出的元素之间与顺序无关，即只要元素相同就是同一个组合解有限制条件的组合问题的方法与排列问题一样，主要有两种方法：1、直接法，它包含直接分类法与直接分步法，其处 理问题的原则是要优先处理特殊元素，再处理其他元素，从而直接求出所要求的组合数；2、间接法，先算出无条件的组合数，再排除不符合题意的组合数，从而间接地得出有附加条件地组合数例
2、1:南大医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5人赴云南参加支边医疗队.某内科医生必须参加，某外科医生不能参加，有几种选法？至少有1名内科医生且至少有1名外科医生参加，有几种选法？解：某内科医生必参加，某外科医生不参加，故只须从剩下的18名医生中选4名即可，选法数为方法一：（分类法）方法二：（排除法）例2:3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有多少?解法一：首先，将3名医生分配到3所学校，每校1名，不同的分配方法有A33种；其次，将6名护士分配到3所学校，每校2名，不同的分配方法有C62C42C22种；由分步计数原理，共有A33 C62
3、C42C22 540种解法二：首先，给第1所学校派去1名医生和2名护士，不同的分配方法有 C31 C62种；其次，给第2所学校派去1名医生和2名护士，不同的分配方法有 C21 C42种；最后，将所剩的1名医生和2名护士派往第3所学校派去，只有1种派法.由分步计数原理，共有C31 C62C21C42 1540种.1、将四个小球分成两组，每组两个，有多少分法？3种2、将四个小球分给两人，每人两个，有多少分法？甲甲乙乙6种3、将四个小球分成两组，一组三个，一组一个，有多少分法？4种4、将四个小球分给两人，一人三个，一人一个，有多少分法？甲乙甲乙8种将mn个不同元素分成m组，每组n个元素，共有将n个不
4、同元素分成元素个数分别为n1,n2,nm(ni nj)，共有若分成的m组是有组别的，只需在原来的分组基础上再例3:有6本不同的书，分成3堆.（1）如果每堆2本，有多少种分法？（2）如果分成一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种分法？分析:这与例2不同，区别在于把 6本不同的书分给甲、乙、丙3人，每人2本，相当于把6本不同的书先分成3堆，再把分得的3堆分给甲、乙、丙3人.总 结：分组分配问题主要有分组后有分配对象(即组本身有序)的均分与不均分问题及分组后无分配对象(即组本身无序)的均分与不均分问题四种类型，常见的情形有以下几种:(2)均匀、有序分组:把n个不同的元素分成有序的m组，每组r个元素，
5、则共有种分法.(其中mr=n)(1)均匀、无序分组:把n个不同的元素分成无序的m组，每组r个元素，则共有种分法.(其中mr=n)(3)非均匀、无序分组:把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组r2个元素，第3组r3个元素，第m组rm个元素，则共有种分法.(其中r1+r2+r3+rm=n)(4)非均匀、有序分组:把n个不同的元素分成m组，第1组r1个元素，第2组r2个元素，第3组r3个元素，第m组rm个元素，再分给m个人，则共有种分法.(其中r1+r2+r3+rm=n)(5)局部均匀分组:把n个不同的元素分成m组，其中m1个组有r1个元素，m2个组有r2个元素，mk个组有rk个元素，则
6、共有种分法.(其中m1r1+m2r2+m3r3+mkrk=n)例3:有6本不同的书，分成4堆.（3）如果一堆3本，其余各堆各1本，有多少种分法？（4）如果每堆至多2本，至少1本，有多少种分法？练习2:将5个人分成4个组，每组至少1人，则分组的种数是多少？练习1:将12个人分成2，2，2，3，3的5个组，则分组的种数是多少？例4:4个不同的小球，全部放入3个不同的盒子中，要求不能有空盒，则有多少种不同的放法？解：方法一：从4个小球中取出2个看成一个“大球”，再行排列，共有种.方法二：从3个盒子中选出1个有种选法；再从4个小球中选出2个放入盒子中，有种方法；最后把剩下的2个小球放入剩下的2个盒子中
7、有种方法，故共有种.方法三：先将4个小球分成三组，每组分别为1个、2个、1个小球，再放入三个盒子中有种.练习3:9件不同的玩具，按下列方案有几种分法？1.甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法？2.一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少种分法？3.每人3件，有多少种分法？4.平均分成三堆，有多少种分法？5.分为2、2、2、3四堆，有多少种分法？解：练习4:10名学生均分成2组，每组选出正、副组长各1人，共有多少种不同的方法？解：分两步，先分组，再分别在每一组中选正、副组长.分组有种方法，每组中选正、副组长都有种方法.由分步计数原理共有种.例5:从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每
8、校至少有1人,这样有几种选法?分析:问题相当于把30个相同的球放入6个不同盒子(盒子不能空的)有几种放法?这类问题可用“隔板法”处理.小结：把n个相同元素分成m份，每份至少1个元素，问有多少种不同分法的问题可以采用“隔板法”.共有：变式1:将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的放法有多少种？变式2:将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒可空，不同的放法有多少种？例6:f是集合M=a,b,c,d到N=0,1,2的映射，且f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4,则不同的映射有多少个？解：根据题意，集合M中元素a、b、c、d对应到集合N中元素的情形分别为1、1、1、1；1、1、
9、0、2；0、0、2、2三种类型则不同的映射个数共有：例7:用0、1、2、3、9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的 五位数有多少个？解法一：分类：第一类，含有0的满足条件的五位数，第二类，不含有0的五位数，总共有C53C41A41A44+C53C42A55=11040解法二：排除法：总的含有三个奇数数字和两个偶数数字的五位数,有C53C52A55个排除掉以0为首位的那些五位数,C53C41A44共有N=C53C52A55 C53C41A44=11040有C53C41A41A44个有C53C42A55个课堂小结：1、对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干个简单的基本问题后再用两个计数原理来解决；2、一般情况下应遵循先取元素，后排列的原则；3、对于某些特殊问题要能熟练使用相应方法解决，如：隔板法、均匀分组（局部均匀分组）等问题.
