1、第2课时 两条直线的垂直基础达标练1.（2020湖北武汉外国语学校高二期中）已知直线l1：x+y+2=0与l2：x-y-1=0，则这两条直线的位置关系是( )A.重合B.平行C.垂直D.不能确定答案：C2.已知ABC的三个顶点A(5,-1)，B(1,1)，C(2,3)，则其形状为( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.无法判断答案：A3.（2020重庆第七中学高二月考）过点(3,2)且与直线x-4y-5=0垂直的直线方程是( )A.4x+y-5=0 B.x-4y+5=0C.4x-y-10=0 D.4x+y-14=0答案：D4.已知直线l1经过A(-3,4)，B(-8,-1)两点，直
2、线l2的倾斜角为135，则l1与l2 ( )A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直答案：A5.若直线2x+y+5=0与直线kx+2y=0垂直，则它们的交点坐标为( )A.(-1,-3)B.(-2,-1)C.(-12,-1) D.(-1,-2)答案：B6.（2021山东临沂卧龙中学高二期末）已知直线ax+4y-2=0与2x-5y+b=0垂直，垂足为(1,c)，则a+b+c的值为( )A.-4B.20C.0D.24答案：A解析：由两直线垂直可得-a425=-1，所以a=10，所以第一条直线的方程为5x+2y-1=0，又垂足(1,c)在直线上，所以代入得c=-2，再把点(1,-2)代入另一方程可得
3、b=-12，所以a+b+c=-4 .7.（多选）已知不共线的四点A(-4,2)，B(6,-4)，C(12,6)，D(2,12)，则下面四个结论中正确的是( )A.ABCD B.ABADC.ACBD D.ACBD答案：A ; B ; D解析：易知kAB=-4-26+4=-35，kCD=12-62-12=-35，ABCD，A中结论正确；kAD=12-22+4=53，kABkAD=-1，ABAD，B中结论正确；kAC=6-212+4=14，kBD=12+42-6=-4，kACkBD=-1，ACBD，D中结论正确.故选ABD.8.（2021上海通河中学高二期中）直线l1:(a+3)x+y-3=0与直线
4、l2:5x+(a-3)y+4=0，若l1的方向向量是l2的法向量，则实数a=答案： -29.已知点A(2,3)，B(-1,-1)，C(-1,-2)，点D在x轴上，则当点D的坐标为时，ABCD .答案：(-9,0)解析：设点D(x,0)，因为kAB=-1-31-2=40，所以直线CD的斜率存在.则由ABCD知，kABkCD=-1，所以4-2-0-1-x=-1，解得x=-9 .则D的坐标为(-9,0).10.动点P在直线x+y-1=0上运动，Q(1,1)为定点，当|PQ|最小时，点P的坐标为答案：(12,12)解析：易知当线段PQ与直线x+y-1=0垂直时，|PQ|最小，直线x+y-1=0的斜率为
5、-1，其垂线的斜率为1，过点Q与直线x+y-1=0垂直的直线方程为y-1=x-1，即x-y=0，由x+y-1=0,x-y=0,解得x=y=12，当|PQ|最小时，点P的坐标为(12,12) .素养提升练11.若n1=(1,2)，n2=(-2,1)，且n1，n2分别是直线l1:(b-a)x-ay-a=0，l2:4bx-ay+b=0的法向量，则a，b的值分别可以是( )A.2，1B.1，2C.-1，2D.-2，1答案：A解析：由题意得n1n2=0，n1n2，l1l2，4b(b-a)+a2=(a-2b)2=0，a=2b，选项A满足a=2b，选项B，C，D均不满足.12.已知点A(3,-1)，B(5,
6、-2)，点P在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取得最小值，则点P的坐标是( )A.(1,-1)B.(-1,1)C.(135,-135) D.(-2,2)答案：C解析：设点A(3,1)关于直线xy0的对称点为A(x,y)，则x+32+y-12=0,y+1x-3(-1)=-1,解得x=1,y=-3,所以A(1,-3)，则直线AB的方程为y=14x-134，与xy0联立，解得x=135,y=-135,所以点P(135,-135) .13.已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线的方程为2x-y-5=0，AC边上的高BH所在直线的方程为x-2y-5=0 .（1）求顶点C的坐标；
7、（2）求直线BC的方程.答案：（1）设点C的坐标为(m,n) .kBH=12，kAC=-2，n-1m-5=-2 .又点C(m,n)在直线2x-y-5=0上，2m-n-5=0 .由2m-n-5=0,n-1m-5=-2,解得m4,n3,点C的坐标为(4,3).（2）设点B的坐标为(a,b)，则a-2b-5=0，边AB的中点M的坐标为(a+52,1+b2)，2a+52-1+b2-5=0，即2a-b-1=0 .由a2b50,2ab10,解得a1,b3,点B的坐标为(1,3)，直线BC的方程为y-3-3-3=x-4-1-4，即6x-5y-9=0 .14.已知四边形ABCD的顶点A(m,n)，B(5,-1
8、)，C(4,2)，D(2,2)，求使四边形ABCD为直角梯形的m和n的值.答案：当A=D=90时，如图（1）所示，四边形ABCD为直角梯形，ABDC且ADAB，易求得m=2，n=-1 .当A=B=90时，如图（2）所示，四边形ABCD为直角梯形，ADBC且ABBC，kAD=kBC，kABkBC=-1，n-2m-2=-1-25-4,n+1m-5-1-25-4=-1,解得m=165，n=-85 .综上所述，m=2,n=-1或m=165，n=-85 .创新拓展练15.设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y)（点P与点A，B不重合），求PAB面积的最
9、大值.解析：命题分析本题考查了直线方程、三角形面积计算公式、相互垂直的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力.答题要领首先根据两直线的方程求出定点A，B的坐标，然后判断两直线的位置关系并确定PAB的形状，进而求出其面积的最大值.答案：动直线x+my=0，令y=0，解得x=0，此直线过定点A(0,0) .动直线mx-y-m+3=0，即m(x-1)+3-y=0，令x-1=0，3-y=0，解得x=1，y=3，此直线过定点B(1,3) .m=0时，两条直线分别为x=0，y=3，交点P(0,3)，SPAB=1213=32；m0时，两条直线的斜率分别为-1m，m，-1mm=-1，两条直线垂直.设|PA|=a，|PB|=b，|AB|=12+32=10，a2+b2=10，又a2+b22ab，ab5，当且仅当a=b=5时等号成立，SPAB=12|PA|PB|=12ab52 .综上可得，PAB面积的最大值是52 .方法感悟求平面图形面积的最大值要首先确定平面图形的形状，求出面积的表达式，以便于利用基本不等式或函数的性质求最值.
