1、第1课时 空间向量的概念及线性运算基础达标练1.空间向量a,b互为相反向量，已知|b|=3，则下列结论正确的是( )A.a=b B.a+b为实数0C.a与b方向相同D.|a|=3答案：D2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量一定共面的组数为( )AD1,AB；AC1,A1B；AB,BB1,CD1；AB,AD,AA1 .A.1B.2C.3D.4答案：C3.（2021山东聊城高二期中）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1=a，A1D1=b，A1A=c，则下列向量中与B1M相等的向量是( )A.-12a+12b+c B.12a+12b+
2、cC.12a-12b+c D.-12a-12b+c答案：A4.（多选）下列关于空间向量的命题中正确的是( )A.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆B.长度不相等、方向相反的两向量一定是共线向量C.由于零向量的方向不确定，故零向量不能与任意向量平行D.对于任意向量a,b，有|a|-|b|a+b|a|+|b|答案：B ; D解析：对于A，其终点构成一个球面，故A错误；对于B，由共线向量的概念知，长度不相等、方向相反的两向量一定是共线向量，故B正确；对于C，规定0的方向是任意的，与任意向量平行，故C错误；对于D，由向量模的性质知，对于任意向量a,b，有|a|-|b|a+b|
3、a|+|b|，故D正确.5.（多选）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量BD1的是( )A.(A1D1-A1A)-AB B.(BC+BB1)-D1C1C.(AD-AB)-DD1 D.(B1D1-A1A)+DD1答案：A ; B6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M,N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，若DA=a，DC=b，DD1=c，则MN= .答案：12(c-a)解析：MN=MA1+A1N=12BA1+12A1C1=12BA+AA1+12A1B1+B1C1=12(-b+c)+12(b-a)=12(c-a) .素养提升练7.（2021山东武训高
4、中月考）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点，若PA=a，PB=b，PC=c，则BE= ( )A.12a-12b+12c B.12a-12b-12cC.12a-32b+12cD.12a-12b+32c答案：C解析：BE=12(BP+BD)=-12PB+12(BA+BC)=-12PB+12BA+12BC=-12PB+12(PA-PB)+12(PC-PB)=-32PB+12PA+12PC=12a-32b+12c .故选C.8.设棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中的八个顶点所构成的集合为S，向量的集合P=mm=P1P2,P1,P2S，则集合P中长度为3a的向量有个.
5、答案：8解析：集合P是由长度为3a的向量的元素组成的，所以本题转化为求棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中长度为3a的对角线的条数，每一条体对角线对应两个向量，正方体共有4条体对角线，所以长度为3a的向量有8个.9.对于空间中的非零向量AB、BC、AC有下列各式：AB+BC=AC；AB-AC=BC；|AB|+|BC|=|AC|；|AB|-|AC|=|BC| .其中一定不成立的是 .答案：解析：根据空间向量的加法、减法运算，对于：AB+BC=AC恒成立；对于：当AB、BC、AC方向相同时，有|AB|+|BC|=|AC|；对于：当BC、AB、AC共线且BC与AB、AC方向相反时，有|AB|
6、-|AC|=|BC|；只有一定不成立.10.已知平行六面体ABCD-ABCD .求证：AC+AB+AD=2AC .答案：证明 平行六面体的六个面均为平行四边形，AC=AB+AD，AB=AB+AA，AD=AD+AA，AC+AB+AD=(AB+AD)+(AB+AA)+(AD+AA)=2(AB+AD+AA) .又AA=CC，AD=BC，AB+AD+AA=AB+BC+CC=AC+CC=AC，AC+AB+AD=2AC .创新拓展练11.如图所示，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中.（1）化简A1F1-EF-BA+FF1+CD+F1A1，并在图中标出表示化简结果的向量；（2）化简DE+E1
7、F1+FD+BB1+A1E1，并在图中标出表示化简结果的向量.答案：（1）A1F1-EF-BA+FF1+CD+F1A1=AF+FE+AB+BB1+CD+DC=AE+AB1+0=AE+ED1=AD1 .化简结果的向量如图所示.（2）DE+E1F1+FD+BB1+A1E1=DE+EF+FD+BB1+B1D1=DF+FD+BD1=0+BD1=BD1 .化简结果的向量如图所示.解析：命题分析本题是以正六棱柱为载体的向量的线性运算问题，考查数学运算与直观想象的核心素养.答题要领利用向量运算的三角形法则，其关键是利用结合律，找到首尾相接的两个向量求解.方法感悟在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可以利用多边形法则求解.如图，OA1+A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+A5A6=OA6，即首尾相接的若干个向量的和等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.则求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和.
