1、专题强化练 7 函数的基本性质 一、选择题 1.(2020 江苏南通一中高一上月考,)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x0 的解集为()A.(-,-1)B.(0,1)C.(-,-1)(1,+)D.(-,-1)(-1,0)(1,+)5.(多选)(2021 江苏淮安洪泽中学高一期中,)下列函数是偶函数,且在区间(0,1)上单调递增的是()A.f(x)=x2-2 B.f(x)=2 C.f(x)=|x|+1 D.f(x)=2 6.(多选)(2021 江苏连云港高一期末,)已知函数 f(x),x(-,0)(0,+),对于任意的 x,y(-,0)(0,+),f(xy)=f(x)+f(y),则(
2、)A.f(x)的图象过点(1,0)和(-1,0)B.f(x)在定义域上为奇函数 C.若当 x1 时,有 f(x)0,则当-1x0 时,f(x)0 D.若当 0 x1 时,有 f(x)0 的解集为(1,+)7.(多选)(2021 江苏徐州高一上期中,)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x(-,0)时,f(x)=-x2+2x,则下列说法正确的是()A.当 x(0,+)时,f(x)=x2-2x B.函数在定义域 R 上为增函数 C.不等式 f(3x-2)0 恒成立 二、填空题 8.(2021 江苏泰兴中学高一月考,)函数 y=1 2 2 的单调递增区间为 .9.(2021 江苏南京大厂高级
3、中学高一期末,)设函数 f(x)为定义在集合 D 上的偶函数,对任意 xD 都有f(f(x)=x,若方程 f(x)+x=0 的解为 x=x0,则 x0=.10.(2020 江苏苏州高一上期末,)已知函数 f(x)=(x2-x)(x2+ax+b)的图象关于直线 x=2 对称,则a+b=,函数 y=f(x)的最小值为 .三、解答题 11.(2020 江苏徐州高一上期末,)已知函数 f(x)=2-2,xR,且 x2.(1)判断并证明 f(x)在区间(0,2)上的单调性;(2)若函数 g(x)=x2-2ax 与函数 f(x)在区间0,1上有相同的值域,求实数 a 的值;(3)函数 h(x)=(1-3b
4、2)x+5b,b1,x0,1,若对任意的 x10,1,总存在 x20,1,使得 f(x1)=h(x2)成立,求实数 b 的取值范围.答案全解全析 专题强化练 7 函数的基本性质 一、选择题 1.C f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(0)=0,f(1)=-f(-1)=-(-1)2+3+1=-5,f(1)+f(0)=-5.故选 C.2.B 设 g(x)=x3+,则 g(x)=f(x)-2.f(x)在区间-2,-1上的最大值为 4,g(x)在区间-2,-1上的最大值为 2.g(x)=x3+是奇函数,g(x)在区间1,2上的最小值为-2,函数 f(x)在区间1,2上的最小值为 0.故选 B.3.B
5、 f(x)为奇函数,且在(-,0)上单调递减,f(2)=0,f(-2)=0,f(0)=0,且在(0,+)上单调递减.xf(x)0,0,()0 或 0,()0或 x=0,0 x2 或-2x0,-1,()0或 -1,()0 结合图象得(x+1)f(x)0 的解集为(-,-1)(-1,0)(1,+).故选 D.5.AD 选项 A 中,因为 f(x)的定义域为 R,关于原点对称,且 f(-x)=(-x)2-2=x2-2=f(x),所以 f(x)=x2-2 是偶函数,易知 f(x)在区间(0,1)上为增函数,符合题意;选项 B 中,因为 f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,且 f(-x
6、)=2-2=-f(x),所以 f(x)=2(x0)是奇函数,易知 f(x)在区间(0,1)上为减函数,不符合题意;选项 C 中,因为 f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,且 f(-x)=|-x|+1-1 =f(x),所以 f(x)=|x|+1 (x0)是偶函数,易知当 x(0,1)时,f(x)=x+1 单调递减,不符合题意;选项 D 中,因为 f(x)的定义域为(-,0)(0,+),关于原点对称,且 f(-x)=(-)2-2 =f(x),所以f(x)=2 (x0)是偶函数,易知 f(x)在区间(0,1)上为增函数,符合题意.故选 AD.6.AC 令 x=y=1,则 f(1)=
7、f(1)+f(1),即 f(1)=0,令 x=y=-1,则 f(1)=f(-1)+f(-1),即 f(-1)=0,所以 f(x)的图象过点(1,0)和(-1,0),故 A 正确;令 y=-1,则 f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),又 x(-,0)(0,+),关于原点对称,所以 f(x)在定义域上为偶函数,故 B 错误;令 y=-1,则 f(-1)=f(x)+f(-1)=0,即 f(-1)=-f(x),当 x1 时,-1(-1,0),又 f(x)0,则 f(-1)0,即当-1x0 时,f(x)0,故 C 正确;令 y=1,则 f(1)=f(x)+f(1)=0,即 f(1)=-f(x),
8、当 0 x1 时,1(1,+),又 f(x)0,即当 x1时,f(x)0,因为 f(x)在定义域上为偶函数,所以当 x0,所以 f(x)0 的解集为(-,-1)(1,+),故 D 错误.故选 AC.7.BC 对于 A,因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x),当 x0 时,-x0,则 f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x=-f(x),所以 f(x)=x2+2x,故 A 错误;对于 B,易知 f(x)=-2 2(0),0(0),2 2(0),所以函数在定义域 R 上为增函数,故 B 正确;对于 C,不等式 f(3x-2)3 可化为 f(3x-2)f(1)
9、,整理得 3x-21,解得 x0 不一定成立,故 D 错误.故选 BC.二、填空题 8.答案(-,-1 解析 由 x2+2x+4=(x+1)2+30 得函数的定义域是 R.设 u=x2+2x+4,则 u 在(-,-1上是减函数,在-1,+)上是增函数.y=1 在(-,0)和(0,+)上是减函数,函数 y=1 2 2 的单调递增区间是(-,-1.9.答案 0 解析 若方程 f(x)+x=0 的解为 x=x0,则 f(x0)+x0=0,即 f(x0)=-x0,所以 f(f(x0)=f(-x0).因为对任意 xD 都有 f(f(x)=x,所以 f(f(x0)=x0,所以 f(-x0)=x0.因为函数
10、 f(x)为定义在集合 D 上的偶函数,所以 f(x0)=x0.联立可得 x0=0.10.答案 5;-解析 因为 f(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以 f(2+x)=f(2-x).当 x=1 时,f(3)=f(1),即(9-)(+a+b)=0,当 x=2 时,f(4)=f(0),即(16-)(16+a+b)=0,联立可得 a=-7,b=12,所以 a+b=5.所以 f(x)=(x2-x)(x2-7x+12)=x(x-1)(x-3)(x-4),所以 f(x+2)=(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)=(x2-1)(x2-4)=(x2)2-5x2+4=(2-2)2 ,所以 f(x+2)m
11、in=-.因为函数图象左右平移不改变函数的值域,所以 y=f(x)的最小值为-.三、解答题 11.解析(1)f(x)在区间(0,2)上为减函数.证明如下:任取 x1,x2(0,2),且 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=12 1-2 22 2-2=12(2-2)-22(1-2)(1-2)(2-2)=1 2(1-2)-2(12-22)(1-2)(2-2)=1 2(1-2)-2(1 2)(1-2)(1-2)(2-2)=1(2-2)-2 2(1-2)(1-2)(2-2),因为 0 x1x22,所以 x1-20,x2-20,x1-x20,x1(x2-2)-2x20,即 f(x1)f(x2),所以 f(x)在区间(0,2)上为减函数.(2)因为 f(x)在区间0,1上递减,所以其值域为-1,0,所以当 x0,1时,g(x)-1,0.因为 g(0)=0 为最大值,所以最小值只能为 g(1)或 g(a).若 g(1)=-1,则 1,1-2 -1,解得 a=1;若 g(a)=-1,则12 1,-2 -1,解得 a=1.综上,a=1.(3)当 b1,x0,1时,h(x)在区间0,1上单调递减,故 h(x)在0,1上的最大值为 h(0)=5b,最小值为h(1)=1-3b2+5b.由(2)知 f(x)在0,1上的值域为-1,0,所以(0)0,(1)-1,所以 0,1-2 -1,1,解得 b2.
