1、专题10 数学思想第1讲 函数与方程思想1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法 思想方 法解读 2.函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性
2、质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 121.(2015湖南)已知函数 f(x)x3，xa，x2，xa，若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取值范围是_.解析 答案 (，0)(1，)122.(2015安徽)设
3、x3axb0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_.(写出所有正确条件的编号)a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.解析 返回 高考必会题型 题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题 例 1(2016天津改编)已知函数 f(x)x24a3x3a，x0，且 a1)在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f(x)|2x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是_.解析 答案 13，23 34点评 变 式 训 练1 已 知 定 义 在R上 的 函 数f(x)满 足：f(x)x22，x0，1，2x2，x1，0，且 f(x2)f(x)，g
4、(x)2x5x2，则方程 f(x)g(x)在区间5,1上的所有实根之和为_.解析 答案 7 题型二 函数与方程思想在不等式中的应用 点评 例 2 定义域为 R 的可导函数 yf(x)的导函数为 f(x)，满足 f(x)f(x)，且 f(0)1，则不等式fxex 1 的解集为_.解析答案(0，)解析 构造函数 g(x)fxex，则 g(x)exfxexfxex2fxfxex.由题意得 g(x)0 恒成立，所以函数 g(x)fxex 在 R 上单调递减.又 g(0)f0e0 g(0)，所以fxex 1，即 g(x)0，所以不等式的解集为(0，).解析答案 变式训练2 已知f(x)log2x，x2,
5、16，对于函数f(x)值域内的任意实 数 m，使 x2 mx 42m 4x 恒 成 立 的 实 数 x 的 取 值 范 围 为_.所以g10，g40，即x2x220，4x2x220，解析 x2,16，f(x)log2x1,4，即m1,4.不等式x2mx42m4x恒成立，即为m(x2)(x2)20恒成立，设g(m)(x2)m(x2)2，则此函数在1,4上恒大于0，(，2)(2，)解得x2.题型三 函数与方程思想在数列中的应用 点评 例 3 已知数列an是首项为 2，各项均为正数的等差数列，a2，a3，a41 成等比数列，设 bn 1Sn1 1Sn2 1S2n(其中 Sn是数列an的前 n 项和)
6、，若对任意 nN*，不等式 bnk 恒成立，求实数 k 的最小值.解析答案 所以anan1，所以等差数列an为递增数列.变式训练 3 设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，(n1)SnnSn1(nN*).若a8a71，则 Sn 的最小值是_.解析答案 解析 由条件得Snn Sn1n1，即na1an2nn1a1an12n1，又a8a71，所以 a80，a70，即数列an前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7.S7 题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用(1)求椭圆C的方程；例 4 椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，短轴长为 2，离心率为 22，直线 l 与 y
7、轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于相异两点 A，B，且AP3PB.解析答案(2)求m的取值范围.点评 解析答案 返回 变式训练 4 已知点 F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，点 P 为椭圆上一点，且PF1 PF2 c2，则此椭圆离心率的取值范围是_.解析 答案 33，22 高考题型精练 12345678910解析答案 1.关于x的方程3xa22a在(，1上有解，则实数a的取值范围是_.3，2)(0,1 解析 当x(，1时，3x(0,3，要使3xa22a有解，a22a的值域必须为(0,3，即00，a10，解得 a1.1，)12345678910解析
8、答案(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线与x轴平行，求实数a的值；7.设函数 f(x)ln x ax1(a 为常数).解 函数f(x)的定义域为(0,1)(1，)，由 f(x)ln x ax1得 f(x)1xax12，由于曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线与x轴平行，所以 f(2)0，即12a2120，所以 a12.12345678910解析答案(2)若函数f(x)在(e，)内有极值，求实数a的取值范围.12345678910解析答案 8.已知f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；解 f(x)exax1(xR)，f(x)exa.令f(x)0，得exa，当a0时，f
9、(x)0在R上恒成立；当a0时，有xln a.综上，当a0时，f(x)的单调增区间为(，)；当a0时，f(x)的单调增区间为(ln a，).12345678910解析答案(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围.解 由(1)知f(x)exa.f(x)在R上单调递增，f(x)exa0在R上恒成立，即aex在R上恒成立.当xR时，ex0，a0，即a的取值范围是(，0.12345678910解析答案(1)求椭圆C的方程；9.已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 22，直线 yk(x1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N.解 由题意得 a2，ca 22，a2b2c2，解得 b 2.所以椭圆 C 的方程为x24y221.12345678910解析答案(2)当AMN 的面积为 103 时，求 k 的值.1234567891010.已知等比数列an满足2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中项.(1)求数列an的通项公式；解析答案 12345678910(2)若 bnanlog21an，Snb1b2bn，求使 Sn2n1470 成立的正整数 n 的最小值.解析答案 返回
