1、 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第 1 课时 周期性与奇偶性课标解读课标要求素养要求1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.2.会求函数 及 的周期.3.掌握 的奇偶性,会判断简单函数的奇偶性.直观想象、数学运算会用正弦函数、余弦函数的性质求周期、判断奇偶性.自主学习必备知识教材研习教材原句要点一 周期性一般地,设函数的 定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个 都有 且 .那么函数 就叫做周期函数.非零常数 叫做这个函数的周期.如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.正弦函数是周期函数，且 都是它的周期，最小正周期是 .类似地,余弦函
2、数也是周期函数.且 都是它的周期,最小正周期是 .要点二 奇偶性正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.自主思考1.已知函数 ,存在一个非零常数,使得对无数个 ,都有 且 ,那么非零常数 是不是这个函数的周期?答案：提示不是无数个 并不能代表定义域中所有的,只有当定义域中.的每一个 都满足时,才是周期.2.诱导公式 体现了函数的什么性质?答案：提示奇偶性.名师点睛1.若函数的图象关于原点对称,则该函数是奇函数,若函数的图象关于 轴对称,则该函数是偶函数2.求形如 或 的函数图象的对称轴和对称中心时,常常运用换元法,令 ,将函数转化为 或 求解.互动探究关键能力探究点一函数的周期性精讲精练例求下列函
3、数的最小正周期.（1）（2）.答案：（1）因为 ,即 ,所以函数 的最小正周期为.（2）作出函数 的图象,如图所示.由图象可知最小正周期为.解题感悟求函数最小正周期的常用方法（1）定义法：利用周期函数的定义求解;（2）公式法：形如 和 （其中 ,为常数,且 ）的函数的周期 ;（3）图象法：作出函数的图象,通过观察图象得到最小正周期.迁移应用1.设 ,若函数 的最小正周期是,则 .答案：2解析：由题意知 ,且 ,所以 .2.求下列函数的最小正周期.（1）;（2）.答案：（1）由 ,可得函数的最小正周期为 4.（2）由 ,得函数 的最小正周期为 .探究点二函数的奇偶性精讲精练例 判断下列函数的奇偶
4、性（1）;（2）;（3）.答案：（1）函数的定义域为,关于原点对称.因为 ,所以 ，所以 是偶函数.（2）函数的定义域为,关于原点对称.因为 ,所以 为奇函数.（3）由 得 ,所以函数的定义域为 ,定义域关于原点对称.当 时,所以 既是奇函数又是偶函数.解题感悟判断函数奇偶性的“三步曲”一看：看函数的定义域是否关于原点对称;二求：求 与 的关系;三判断：恒等式奇偶性 偶函数 奇函数 ,且 既是奇函数,又是偶函数 ,且 非奇非偶函数迁移应用1.判断下列函数的奇偶性.（1）;（2）;（3）.答案：（1）因为 ,关于原点对称,所以 为奇函数（2）因为 ,关于原点对称,所以 为偶函数（3）因为 ,关于
5、原点对称,且 ,所以 为非奇非偶函数.探究点三函数周期性与奇偶性的综合运用精讲精练例定义在 上的函数 既是偶函数,又是周期函数,若 的最小正周期为,且当 时,则 等于()A.B.C.D.答案：解析：.解题感悟与三角函数奇偶性有关的结论（1）要使 为奇函数,则 ;（2）要使 为偶函数,则 （3）要使 为奇函数,则 （4）要使 为偶函数,则则 ;迁移应用1.若 是奇函数,且 ,当 时,求 的值.答案：因为 ,所以 ,所以 ,即 的最小正周期为 2,所以 .又因为 为奇函数,且 时,所以 ,故 .评价检测素养提升课堂检测1.函数 是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案
6、：解析：,因为 ,且 ,所以 为奇函数.2.如图所示的是定义在 上的四个函数的图象,其中不是周期函数的图象的是()A.B.C.D.答案：解析：观察题中图象易知,只有 D 选项中的图象不是周期函数的图象3.设函数 ,则 是()A.最小正周期为 的奇函数B.最小正周期为 的偶函数C.最小正周期为 的奇函数D.最小正周期为 的偶函数答案：解析：因为 ,所以 ,又 ,所以 是最小正周期为 的偶函数.4.函数 是 上的周期为 4 的偶函数,且 ,则 .答案：35.已知 为奇函数,且周期为 ,若 ,则 .答案：1解析：因为 ,所以 .素养演练直观想象周期函数的求解和图象识别1.已知定义在 上的偶函数 的最小正周期是,当 时,.（1）求 的值;（2）求 时 的解析式.解析：由题意可知,函数图象关于 y 轴对称,画出函数的图象,如图,由图象可得 ,则 .答案：（1）.（2）.素养探究：直观想象就是借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化,利用几何图形理解和解决问题的思维过程.三角函数的对称性问题常常通过数形结合解决.迁移应用1.设函数 满足 ,则函数 的图象可以是()A.B.C.D.答案：解析：由 ,得 是偶函数,图象关于 轴对称.由 ,得 的周期为 2.故选 B.
