1、24.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角2会用两个向量的数量积判断它们的垂直关系平面向量数量积、模、垂直、夹角的坐标表示设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则有下表：坐标表示数量积ab_模|a|_或|a|2_设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|_垂直abab0_0夹角cos _已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)若abx1y2x2y1，即x1y2x2y10.若abx1x2y1y2，即x1x2y1y20.这两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：共线纵横交错积相
2、等，垂直横横纵纵积相反【做一做11】 向量m(1,0)，n(2，5)，则mn等于()A2 B0 C2 D7【做一做12】 已知(3，4)，则|等于()A3 B4 C. D5【做一做13】 若向量a(4,2)，b(6，m)，且ab，则m的值是()A12 B3 C3 D12【做一做14】 已知a(3,0)，b(5,5)，则a与b的夹角_.答案：x1x2y1y2xyx1x2y1y2【做一做11】 Cmn120(5)2.【做一做12】 D|5.【做一做13】 Dab，462m0，解得m12.【做一做14】 |a|3，|b|5，ab3(5)0515，则cos .又0，即a与b的夹角为.1投影的坐标表示剖
3、析：由于向量b(x2，y2)在向量a(x1，y1)方向上的投影为|b|cos (为a与b的夹角)，从而向量b在向量a方向上的投影的坐标表示为.同理可得，向量a在向量b方向上的投影的坐标表示为|a|cos .2向量数量积性质的坐标表示剖析：设两个非零向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，a与b的夹角为.(1)aba1b1a2b2；(2)aba1b1a2b20；(3)aa|a|2|a|；(4)cos cos ；(5)|ab|a|b|a1b1a2b2|.在解决向量数量积的坐标运算问题时，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式aba1b1a2b2以及相关的向量的长度公式和夹角公式在这个过程中还要熟练运用
4、方程的思想值得注意的是，对于一些向量数量积的坐标运算问题，有时考虑其几何意义可使问题快速得解题型一 数量积的坐标运算【例1】 已知a(2，1)，b(3，2)，求(3ab)(a2b)分析：先求出ab，a2，b2，再对(3ab)(a2b)展开求解反思：对于数量积的坐标运算有两种方法：一是先化简再代入向量的坐标，二是先确定向量的坐标，再计算数量积题型二 垂直问题【例2】 已知向量a(1,2)，向量b(x，2)，且a(ab)，则实数x等于()A9 B4 C0 D4反思：有关向量垂直的问题，通常利用它们的数量积为0来解决本题也可先求出ab的坐标，再代入a(ab)0解得x.题型三 夹角问题【例3】 已知a
5、(，1)，b(2,2)(1)求ab；(2)求a与b的夹角.分析：(1)直接用公式abx1x2y1y2即可；(2)直接用cos 求解反思：利用坐标求两向量夹角的步骤为：(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积；(2)利用|a|计算出这两个向量的模；(3)由公式cos 直接求出cos 的值；(4)在0内，由cos 的值求角.【例4】 已知ABC中，A(2，2)，B(5,1)，C(1,4)，求BAC的余弦值分析：BAC是和的夹角，转化为求向量的夹角问题反思：已知三角形各顶点坐标求其内角时，可转化为求向量的夹角问题题型四 易错辨析【例5】 已知a(1，2)，b(1，)，且a与b的夹
6、角为锐角，则实数的取值范围是()A(，2) B.C. D.错解：a与b的夹角为锐角，cos 0，即ab120，得，故选D.错因分析：以上错解是由于思考欠全面，由不等价转化而造成的如当a与b同向时，即a与b的夹角0时cos 10，此时2，显然是不合理的反思：对非零向量a与b，设其夹角为，则为锐角cos 0且cos 1ab0且amb(m0)；为钝角cos 0且cos 1ab0且amb(m0)；为直角cos 0ab0.答案：【例1】 解法一：因为ab23(1)(2)8，a222(1)25，b232(2)213，所以(3ab)(a2b)3a27ab2b2357821315.解法二：a(2，1)，b(3
7、，2)，3ab(6，3)(3，2)(3，1)，a2b(2，1)(6，4)(4,3)(3ab)(a2b)3(4)(1)315.【例2】 Aa(ab)，a(ab)0，a2ab5(x4)0，解得x9.【例3】 解：(1)ab224.(2)cos .又0180，30.【例4】 解：(5,1)(2，2)(3,3)，(1,4)(2，2)(1,6)，3(1)3615.又|3，|，cos BAC.【例5】 Aa与b的夹角为锐角，cos 0且cos 1，即ab0且a与b方向不同，即ab120，且amb(m0)，解得(，2)，故选A.1设a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a2b)c等于()A(15,1
8、2) B0 C3 D112ABC中，A(5，1)，B(1,1)，C(2,3)，则ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等边三角形3(2011广东佛山高三质检)已知向量a(1,1)，2ab(4,2)，则向量a，b的夹角为()A. B. C. D.4若向量a(2x1，x3)，b(x,2x1)，c(1,2)，且(ab)c，则实数x的值为_5已知a(1,2)，b(3,2)，若kab与a3b垂直，求实数k的值答案：1Ca2b(5,6)，(a2b)c53623.2B(4，2)，(1,2)，则4(2)20.ABC90.3B由于2ab(4,2)，则b(4,2)2a(2,0)，则ab2，|a|，|b|2.设向量a，b的夹角为，则cos .又0，所以.43ab(x1,2x)由于(ab)c，则(ab)c0，所以(x1)2(2x)0，解得x3.5分析：由(kab)(a3b)，得(kab)(a3b)0，列方程解得k的值解：kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)kab与a3b垂直，(kab)(a3b)0，即(k3)10(2k2)(4)0，解得k19.
