1、第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面基础过关练题组一点、直线、平面位置关系的三种语言转换1.(2021河南郑州中学高一上月考)如图所示,用符号语言可表达为() A.=m,n,Am,AnB.=m,n,Am,AnC.=m,n,mn=AD.=m,n,mn=A2.根据下列符号表示的语句,说明点、线、面之间的位置关系,并画出相应的图形.(1)A,B;(2)l,m=A,Al;(3)Pl,P,Ql,Q.3.如图所示,用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系.(1)点P与直线AB;(2)点C与直线AB;(3)点M与平面AC;(4)点A1与平面AC;(5)直线
2、AB与直线BC;(6)直线AB与平面AC;(7)平面A1B与平面AC.题组二公理1、2、3的应用4.(2021河南开封兰考二中高一上月考)工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时,只需连接对“脚”,构成两条线段,看它们是否相交,就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是()A.两条相交直线确定一个平面B.两条平行直线确定一个平面C.四点确定一个平面D.直线及直线外一点确定一个平面5.下列说法中正确的是()A.相交直线上的三个点可以确定一个平面B.空间两两相交的三条直线确定一个平面C.空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形D.和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内6.(20
3、21江苏南京高二期末)在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H,若直线EF、GH相交于点P,则()A.点P必在直线AC上B.点P必在直线BD上C.点P必在平面ABD内D.点P必在平面BCD内7.如图,平面平面=l,A、B,C,Cl,直线ABl=D,过A、B、C三点确定的平面为,则平面、的交线必过()A.点AB.点BC.点C,但不过点DD.点C和点D8.给出以下四个说法:不共面的四点中,任意三点不共线;若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;首尾顺次相接的四条线段必共面.其中说法正
4、确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论错误的是()A.C1,M,O三点共线B.C1,M,O,C四点共面C.C1,M,O,A四点共面D.D1,D,O,M四点共面能力提升练一、选择题1.()已知,为平面,A,B,M,N为点,a为直线,则下列推理错误的是()A.Aa,A,Ba,BaB.M,M,N,N,不重合=MNC.A,A=AD.A,B,M,A,B,M,且A,B,M不共线,重合2.(2021安徽六安舒城中学高二期末,)如图所示,多面体A1B1C1D1-ABCD是棱长为a的正方体,M,N分
5、别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上一点,AP=a3,过P,M,N的平面交棱CD于点Q,若四边形PMNQ所在平面与棱AA1的交点为G,则AGGA1=()A.23B.11C.12D.133.()下列命题中,正确的是()A.经过正方体任意两条面对角线,有且只有一个平面B.经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面C.经过正方体任意两条棱,有且只有一个平面D.经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线,有且只有一个平面二、填空题4.()已知,是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间一点.若=l,m,n,mn=P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为.5.()在长方体ABCD-A1B
6、1C1D1的所有棱中,既与AB共面,又与CC1共面的棱有条.6.()空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是.三、解答题7.()如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中点,画出平面BED1F与平面ABCD的交线.8.()如图所示,ABC与A1B1C1不在同一个平面内,如果三条直线AA1,BB1,CC1两两相交,求证:三条直线AA1,BB1,CC1交于一点.9.()如图,在底面是平行四边形的四棱锥S-ABCD中,O为AC,BD的交点,P,Q分别为SAD,SBC的重心.求证:S,P,O,Q四点共面.10.()在正方体A
7、BCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1C1、B1C1的中点,ACBD=P,A1C1EF=Q,如图.(1)求证:D、B、E、F四点共面;(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置.第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面基础过关练1.C4.A5.D6.A7.D8.B9.D1.C由题图可知,平面与平面相交于直线m,直线n在平面内,直线m和直线n相交于点A,故用符号语言可表达为=m,n,mn=A,故选C.2.解析(1)点A在平面内,点B不在平面内.(2)直线l在平面内,直线m与平面相交于点A,且点A不在直线l上.(3)直线l经过平面外一点P和
8、平面内一点Q.图形分别如图(1),(2),(3)所示.3.解析(1)点P直线AB.(2)点C直线AB.(3)点M平面AC.(4)点A1平面AC.(5)直线AB直线BC=点B.(6)直线AB平面AC.(7)平面A1B平面AC=直线AB.4.A由题意分析可知,工人师傅运用的数学原理是两条相交直线确定一个平面.故选A.5.DA错误,当三点共线时,过三点的平面有无数个.B错误,空间两两相交的三条直线(不在同一平面内)交于同一点时,无法确定一个平面.C错误,空间中四个点不一定共面,有三个角为直角的四边形可能是空间图形.易知D正确.6.A因为EF,GH相交于点P,所以PEF,且PGH,又因为EF平面ABC
9、,所以P平面ABC,因为GH平面ACD,所以P平面ACD,所以P是平面ABC与平面ACD的公共点.因为平面ABC平面ACD=AC,所以PAC,即点P必在直线AC上,故选A.7.D因为A,B,所以根据公理1,知直线AB,又因为ABl=D,所以DAB,所以可判定点C和点D既在平面内又在平面内,故在平面、的交线上.故选D.8.B假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以正确;不正确,如图,两个相交平面有三个公共点A,B,C,但A,B,C,D,E不共面;易知不正确;不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.故选B
10、.9.D连接A1C1,AC,则ACBD=O.因为AC平面ACC1A1,BD平面C1BD,所以O平面ACC1A1,O平面C1BD.因为A1C平面C1BD=M,且A1C平面ACC1A1,所以M平面ACC1A1,M平面C1BD.又易知C1平面ACC1A1,C1平面C1BD,所以C1,M,O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上,即C1,M,O三点共线,所以选项A中结论正确;由公理2可知B,C中结论均正确;易知D中结论不正确.能力提升练1.C2.A3.B一、选择题1.C选项C中,与有公共点A,则它们有一条过点A的交线,而不是点A,故C中推理错误.2.A延长NM,与D1A1的延长线交于点E,连接P
11、E,与AA1交于点G,则G为四边形PMNQ 所在平面与棱AA1的交点,易知APGA1EG.因为M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,所以A1E=B1N=a2,又AP=a3,所以AGGA1=APA1E=23.故选A.3.B因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心),因此经过正方体任意两条体对角线,有且只有一个平面.故选B.二、填空题4.答案Pl解析因为m,n,mn=P,所以P且P.又=l,所以点P在直线l上,所以Pl.5.答案5解析作图(图略)并观察可知既与AB共面,又与CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1,共5条.6.答案1或2或3解析如图:在正方体ABCD-A1B
12、1C1D1中,AA1AB=A,AA1A1B1=A1,直线AB,A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1);AA1AB=A,AA1A1D1=A1,直线AB,A1D1与AA1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1);三条直线AB,AD,AA1交于一点A,它们可以确定三个平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1).三、解答题7.解析如图,在平面AA1D1D内,D1F与DA不平行,分别延长D1F与DA,则D1F与DA必相交,设交点为M,连接MB,因为MFD1,MDA,FD1平面BED1F,DA平面ABCD,所以M在平面BED1F与平面ABCD的交线上,又B在平面B
13、ED1F与平面ABCD的交线上,所以平面BED1F平面ABCD=MB.故直线MB为所求作的两平面的交线.8.证明设BB1与CC1,CC1与AA1,AA1与BB1分别确定平面,AA1与BB1的交点为P,因为PAA1,PBB1,AA1,BB1,所以P,P,即P.又=CC1,所以PCC1,所以三条直线AA1,BB1,CC1交于一点P.9.证明如图,连接SP,SQ并延长,分别交AD,BC于点M,N,连接MN.因为P,Q分别为SAD,SBC的重心,所以M,N分别为AD,BC的中点,所以OMN.由棱锥的性质,可知S,M,N不共线,所以确定一个平面SMN,所以MN平面SMN,所以O平面SMN.又PSM,QSN,SM平面SMN,SN平面SMN,所以P平面SMN,Q平面SMN,所以S,P,O,Q四点共面.10.解析(1)证明:由于CC1和BF在同一个平面内且不平行,故必相交.设交点为O,则OC1=C1C.同理直线DE与CC1也相交,设交点为O,则OC1=C1C,故O与O重合.由此可证得DEBF=O,故D、B、F、E四点共面(设为).(2)由于AA1CC1,所以A1、A、C、C1四点共面(设为).因为PBD,BD,所以P.又PAC,AC,所以P,所以P.同理可证得Q,从而有=PQ.又因为A1C,所以A1C与平面的交点就是A1C与PQ的交点.连接A1C,则A1C与PQ的交点R就是所求的交点.
