1、1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积基础过关练题组一柱体、锥体、台体的表面积1.六棱柱的底面是边长为2的正六边形,侧面是矩形,侧棱长为4,则其表面积为()A.12+123B.48+123C.64+63D.72+632.(2021四川眉山高二上期末)棱长为2的正四面体的表面积是()A.3B.23C.33D.433.(2021广西南宁高一上期末)已知圆锥的高为4,母线长为5,则该圆锥的表面积为()A.21B.15C.12D.244.(2021陕西高三部分学校联考)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.现已知该四棱锥的高与斜高的比值为45,则该四棱锥的底面面积与侧面面
2、积的比值是()A.45B.35C.125D.5125.(2021江西景德镇一中高一期末)已知正四棱锥的底面边长为2,现用一平行于正四棱锥底面的平面去截这个棱锥,截得棱台的上、下底面的面积之比为14,若截去的小棱锥的侧棱长为2,则此棱台的表面积为.题组二柱体、锥体、台体的体积6.如图,三棱柱ABC-ABC的体积为1,则四棱锥C-AABB的体积是()A.13B.12C.23D.347.一圆锥形物体的母线长为4,其侧面积为4,则这个圆锥的体积为()A.153B.833C.153D.8338.(2021安徽合肥高二月考)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V
3、1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有()A.V1V2V3V4B.V1V3V2V4C.V2V1V3V4D.V2V3V1V49.(2020天津河东高一期末)圆柱的侧面展开图是邻边长分别为2和4的矩形,则圆柱的体积是.题组三组合体的表面积与体积10.(2021湖北高三联合数学测评)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图),四边形ABCD为矩形,棱EFAB.若此几何体中,AB=6,EF=2,ADE和BCF都是边长为4的等边三角形,则此几何体的体积为()A.3223B.4433C.5623D.643311.如图
4、所示,已知直角梯形ABCD中,BCAD,ABC=90,AB=5 cm,BC=16 cm,AD=4 cm.求:(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积;(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.能力提升练一、选择题1.()已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形,如图,则三棱锥B-AB1C的体积为()A.14B.12C.36D.342.()已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,母线长为3,圆台的侧面积为84,则该圆台较小底面的半径为()A.7B.6C.5D.33.(2021河南名校联盟高一上期末,)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体表面
5、积的最大值为()A.(4+3+27)B.(2+3+27)C.(4+23+7)D.(2+23+7)二、填空题4.(2021山东烟台高三上期末,)水晶是一种石英结晶体矿物,因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等,常被人们制作成饰品.如图所示,现有棱长为2 cm的正方体水晶一块,将其裁去八个相同的四面体后,打磨成某饰品,则该饰品的表面积为cm2.5.()一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,则该直四棱柱的侧面积为.6.()如图,已知正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍,正三棱锥的高SO=3,则此正三棱锥的表面积为.三、解答题7.()已知四面体A-BCD中,AB=CD=13,BC
6、=AD=25,BD=AC=5,求四面体A-BCD的体积.8.(2020云南师大附中高三质检,)如图,圆台O1O2的轴截面为等腰梯形A1A2B2B1,A1A2B1B2,A1A2=2B1B2,A1B1=2,圆台O1O2的侧面积为6.(1)求圆台O1O2的体积;(2)若点C,D分别为圆O1,O2上的动点,且点C,D在平面A1A2B2B1的同侧,求三棱锥C-A1DA2的体积的最大值.1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积基础过关练1.B2.D3.D4.B6.C7.C8.C10.C1.B由题意知该六棱柱为正六棱柱,侧面积为426=48,上、下底面面积之和为234226=1
7、23,所以其表面积为48+123,故选B.2.D正四面体的表面积S=412222-12=43.3.D由已知得底面半径为52-42=3,则底面周长为6,则侧面积为1265=15,又底面积为9,所以圆锥的表面积为15+9=24.故选D.4.B设该四棱锥的底面边长为2a,高为h,斜高为h1,则1=45,2+a2=12,解得a=35h1,从而该四棱锥的底面面积为4a2=362512,侧面面积为4122ah1=4ah1=12512,故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是36251212512=35.故选B.5.答案5+315解析如图:设截面四边形为A1B1C1D1,由题意可知,截面四边形A1B1C1D1
8、与底面四边形ABCD相似且面积之比为14,即有PA1PA=A1B1AB=12,由PA1=2可得PA=PB=4,又BC=2,所以B1C1=1.取BC的中点E,连接PE,交B1C1于点E1,则EE1为正四棱台的斜高,可得EE1=22-(12)2=152.故此棱台的表面积为11+22+412(1+2)152=5+315.6.CVC-ABC=13VABC-ABC=13,VC-AABB=1-13=23.故选C.7.C设圆锥底面圆的半径为r,母线长为l,则l=4,S圆锥侧=rl=4,解得r=1,所以圆锥的高h=l2-r2=15,故圆锥的体积V=13r2h=153,故选C.8.C由三视图可知,四个几何体自上
9、而下分别为圆台、圆柱、四棱柱、四棱台,所以V1=13(4+2)1=73,V2=2,V3=23=8,V4=13(16+4+8)1=283.故V2V1V3V4.故选C.9.答案4或8解析当母线长为4时,圆柱的底面半径为1,此时圆柱的体积为124=4;当母线长为2时,圆柱的底面半径为2,此时圆柱的体积为222=8.综上,所求圆柱的体积为4或8.10.C如图,过F作面ABCD的高FO,垂足为O,取BC的中点P,连接OP,PF,过O作BC的平行线QH,交AB于Q,交CD于H.ADE和BCF都是边长为2的等边三角形,OP=QB=12(AB-EF)=2,PF=42-22=23,OQ=12BC=2,OF=PF
10、2-OP2=22.过点E作ENFH,EMFQ,MNHQ,则该几何体包含一个三棱柱EMN-FQH,两个全等的四棱锥:E-AMND,F-QBCH,这个几何体的体积V=VEMN-FQH+2VF-QBCH=SQFHMQ+213S矩形QBCHFO=124222+2132422=5623.故选C.方法技巧利用分割的方法,把几何体分割成三部分,可得一个三棱柱和两个四棱锥,其中两个四棱锥的体积相等,再由已知求得答案.11.解析(1)以AB所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆台,其上底面半径是4 cm,下底面半径是16 cm,高是5 cm,母线长是52+(16-4)2=13(cm).该几何体的表面积为(4+16
11、)13+42+162=532(cm2).(2)以BC所在直线为轴旋转一周所得的几何体是圆柱和圆锥的组合体,如图所示.其中圆锥的高为16-4=12(cm),由(1)可知圆锥的母线长为13 cm,又圆柱的母线长为4 cm,故该几何体的表面积为254+52+513=130(cm2).能力提升练1.D2.A3.A一、选择题1.D设三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,则h=3,则VB-AB1C=VB1-ABC=13SABCh=13343=34.故选D.2.A设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S侧=3(r+3r)=84,解得r=7.故选A.3.A根据三视图可知,此几何体为一个圆锥挖去一个
12、圆柱的剩余部分,要使几何体的表面积最大,则需要挖去的圆柱的侧面积最大,易得圆锥的母线长为22+(3)2=7.设圆柱的高为h,底面半径为r,则3-3=r2,所以h=3-3r2,故有S圆柱侧=2rh=2r3-3r2=3-(r-1)2+1,所以当r=1时,S圆柱侧有最大值,最大值为3.故该几何体表面积的最大值为3+22+27=(3+4+27).故选A.二、填空题4.答案12+43解析由题意得该饰品是由6个边长为2 cm的正方形和8个边长为2 cm的正三角形围成的,则该饰品的表面积S=6(2)2+834(2)2=(12+43)cm2.5.答案160解析如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,体
13、对角线A1C=15,B1D=9,则a2+52=152,b2+52=92,a2=200,b2=56.该直四棱柱的底面是菱形,AB2=AC22+BD22=a2+b24=200+564=64,AB=8.该直四棱柱的侧面积S=485=160.6.答案273解析如图,设正三棱锥的底面边长为a,斜高为h,过点S作SEAB,与AB交于点E,连接OE,则SE=h.S侧=2S底,312ah=234a2.a=3h.SOOE,SO2+OE2=SE2,即32+3632=h2,h=23,a=3h=6,S底=34a2=3462=93,S侧=2S底=183,S表=S侧+S底=183+93=273.三、解答题7.解析以四面体
14、的各棱为长方体的面对角线作出该四面体,如图所示.设BE=x,BF=y,CF=z,则x2+y2=(13)2,y2+z2=(25)2,x2+z2=52,x=3,y=2,z=4.易知VD-ABE=13SABEDE=16V长方体.同理,VC-ABF=VD-ACG=VD-BCH=16V长方体.V四面体A-BCD=V长方体-416V长方体=13V长方体.而V长方体=234=24,V四面体A-BCD=8.8.解析(1)设圆O1的半径为r,则圆O2的半径为2r,因为圆台的侧面积为6,所以S侧=(r+2r)2=6r=6,解得r=1.在等腰梯形A1A2B2B1中,O1B2=1,O2A2=2,所以O1O2=22-12=3,则圆台O1O2的体积V=13(r2+r2r+4r2)3=733.(2)由题意可知,三棱锥C-A1DA2的体积V=13O1O2SA1DA2=36A1DA2D,因为(A1D-A2D)20,所以A1DA2DA1D2+A2D22=A1A222=8,当且仅当A1D=A2D=22,即D为弧A1A2的中点时,等号成立,所以V=36A1DA2D368=433.所以三棱锥C-A1DA2的体积的最大值为433.
