1、第5节直线、平面垂直的判定与性质 选题明细表知识点、方法题号直线与平面垂直的判定与性质1,2,4,5,6,7,8,12,14平面与平面垂直的判定与性质1,2,3,7,10,13折叠问题中的垂直关系6,9,11 (建议用时:20分钟)1.(多选题)已知直线l,m表示不同的直线,表示不同的平面,下列命题,其中假命题是(ABC)(A)若l,ml,则m(B)若l,则l(C)若l,且,则l(D)若l,则l解析:由直线l,m表示不同的直线,表示不同的平面,知:在A中,若l,ml,则m或m,故A错误;在B中,l,则l或l,故B错误;在C中,若l,且,则l或l,故C错误;在D中,若l,则由线面垂直的判定定理得
2、l,故D正确.故选ABC.2.设a,b是两条直线,是两个平面,则ab的一个充分条件是(C)(A)a,b,(B)a,b,(C)a,b,(D)a,b,解析:A.a,b可能垂直也可能不垂直或是平行都有可能;B.ab;D.a,b可能垂直、不垂直或是平行都有可能;C.,b,那么b,a,那么ba,故C正确.3.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,BC1AC,则点C1在平面ABC上的射影H必在(A)(A)直线AB上(B)直线BC上(C)直线AC上(D)ABC的内部解析:连接AC1,因为ACAB,ACBC1,ABBC1=B,所以AC平面ABC1,又AC平面ABC,所以平面ABC1平面ABC,
3、所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上,故选A.4.九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥 PABCD中,PD平面ABCD,底面ABCD是正方形,且PD=CD,点E,F分别为PC,PD的中点,则图中的鳖臑有(C)(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个解析:由题意,因为PD底面ABCD,所以PDDC,PDBC,又四边形ABCD为正方形,所以BCCD,所以BC平面PCD,所以BCPC,所以四面体PDBC是一个鳖臑,因为DE平面PCD,所以BCDE,因为PD=CD,点E是PC的中点,所以DEPC,因为PCBC=C,所以DE平面PBC,可知四面体
4、EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑,同理可得,四面体PABD和FABD都是鳖臑,故选C.5.在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,ACB=90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长为(A)(A)(B)1(C)(D)2解析:设B1F=x,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.由已知可得A1B1=,设RtAA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=h.又2=h,所以h=,DE=.在RtDB1E中,B1E=.由面积相等得=x,解得x=.故选A.6.如图,在正方形ABCD中,
5、E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.下列说法错误的是.(填序号)AGEFH所在平面;AHEFH所在平面;HFAEF所在平面;HGAEF所在平面.解析:折之前AGEF,CGEF,折之后也垂直,所以EF平面AHG,折之前B,D,BCD均为直角,折之后三点重合,所以折之后AH,EH,FH三条直线两两垂直,所以AHEFH所在平面,对;又HFAEH所在平面,过AE不可能作两个平面与直线HF垂直,错;可知AHHG,如果HGAEF所在平面,则有HGAG,与AHHG矛盾,错;若AGEFH所在平面,则有AGHG
6、,与AHHG矛盾,所以也错.答案:7.设,是空间中两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同直线.从“mn;n;m”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:(填序号).解析:因为当n,m时,平面及所成的二面角与直线m,n所成的角相等或互补,所以若mn,则,从而由正确;同理也正确.答案:或8.如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,若E为棱PC上一点,满足BEAC,则=.解析:过B作BFAC,交AC于F,连接EF,根据BEAC,可得AC平面BEF,故ACEF,由于PAAC,所以EFPA.由于AD=CD,所以DAC=
7、BAC=.在直角三角形ABF中,AB=1,BAF=,所以AF=AB=,而AC=2,故AFFC=13.又EFPA,可得PEEC=AFFC=13.答案: (建议用时:25分钟)9.(多选题)如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为矩形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下列结论,其中正确的结论为(BC)(A)直线BE与直线CF异面(B)直线BE与直线AF异面(C)直线EF平面PBC(D)平面BCE平面PAD解析:将平面展开图还原后可得立体图形如图所示.A.E,F为PA,PD中点EFAD,又四边形ABCD为矩形ADBC,所以EFBCB,C,E,F四点共面,所以直线BE与CF共面
8、,不是异面直线,即A错误.B.因为E平面PAD,AF平面PAD,EAF,B平面PAD,所以直线BE与直线AF为异面直线,即B正确.C.因为EFBC,BC平面PBC,EF平面PBC,所以EF平面PBC,即C正确.D.假设平面BCE平面PAD,即平面BCFE平面PAD,又平面BCFE平面PAD=EF,作PMEF,垂足为M,可得PM平面BCE,但实际无法证得PM平面BCE,故假设不成立,即D错误.故选BC.10.点P在正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线BC1上运动,给出下列命题:三棱锥AD1PC的体积不变;A1P平面ACD1;DPBC1;平面PDB1平面ACD1.其中正确的命题序号是.解析:连
9、接BD交AC于点O,连接DC1交D1C于点O1,连接OO1,则OO1BC1,所以BC1平面AD1C,动点P到平面AD1C的距离不变,所以三棱锥PAD1C的体积不变.又因为=,所以正确;因为平面A1C1B平面ACD1,A1P平面A1C1B,所以A1P平面ACD1,正确;由于当点P在B点时,DB不垂直于BC1,即DP不垂直BC1,故不正确;由于DB1D1C,DB1AD1,D1CAD1=D1,所以DB1平面ACD1.又因为DB1平面PDB1,所以平面PDB1平面ACD1,正确.答案:11.在矩形ABCD中,ABBC,现将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论:存在某
10、个位置,使得直线AC与直线BD垂直;存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.其中正确结论的序号是.解析:假设AC与BD垂直,过点A作AEBD于E,连接CE.则BD平面AECBDCE,而在平面BCD中,EC与BD不垂直,故假设不成立,错误.假设ABCD,因为ABAD,ADCD=D,所以AB平面ACD,所以ABAC,由ABBC可知,在矩形ABCD中,0BAC90,故折叠过程中存在BAC=90的情况,使ABCD,故假设成立,正确.假设ADBC,因为DCBC,所以BC平面ADC,所以BCAC,即ABC为直角三角形,且AB为斜边,而ABBC,故矛盾,假设不成立
11、,错误.答案:12.如图,已知圆锥的母线长为8,底面圆的圆心为O,直径AB=8,点Q是母线PA的中点.若点C是底面圆周上一点,且直线OC与QB所成的角为30,M在线段PA上且PA=4MA,则MC与底面所成角的正弦值为.解析:由题意知QB=PO=4,连接MO,则MOQB,MOC为异面直线OC与QB所成的角(或补角),所以MOC=30或MOC=150,过M作MDAO于点D,连接DC,则MD底面AOC,所以MCD为直线MC与底面所成的角,PO=4,PA=4MA,所以MD=.当MOC=30时,MC=2,所以sin MCD=,当MOC=150时,MC=2,所以sin MCD=.综上,MC与底面所成角的正
12、弦值为或.答案:或13.如图,多面体ABCDEF中,ABCD是菱形,ABC=60,FA平面ABCD,EDFA,且AB=FA=2ED=2.(1)求证:平面FAC平面EFC;(2)求多面体ABCDEF的体积.(1)证明:连接BD交AC于O,设FC中点为P,连接OP,EP,因为O,P分别为AC,FC的中点,所以OPFA,且OP=FA,所以OPED且OP=ED,所以四边形OPED为平行四边形,所以ODEP,即BDEP,因为FA平面ABCD,BD平面ABCD,所以FABD,因为四边形ABCD是菱形,所以BDAC,因为FAAC=A,所以BD平面FAC,即EP平面FAC,又EP平面EFC,所以平面FAC平面
13、EFC.(2)解:=SABCFA=42=,易知平面ADEF平面ABCD,所以C到平面ADEF的距离为CD=,所以=.所以VABCDEF=+=.14.如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,BB1底面ABCD,ADBC,BAD=90且ACBD.(1)求证:B1C平面ADD1A1;(2)求证:ACB1D;(3)若AD=2AA1,判断直线B1D与平面ACD1是否垂直?并说明理由.(1)证明:因为ADBC,BC平面ADD1A1,AD平面ADD1A1,所以BC平面ADD1A1,因为CC1DD1,CC1平面ADD1A1,DD1平面ADD1A1,所以CC1平面ADD1A1,又因为BCCC1=C,所以平面B
14、CC1B1平面ADD1A1,又因为B1C平面BCC1B1,所以B1C平面ADD1A1.(2)解:因为BB1平面ABCD,AC平面ABCD,所以BB1AC,又因为ACBD,BB1BD=B,所以AC平面BB1D,又因为B1D平面BB1D,所以ACB1D.(3)解:结论:直线B1D与平面ACD1不垂直,理由:连接A1D,假设B1D平面ACD1,由AD1平面ACD1,可得B1DAD1,由棱柱ABCDA1B1C1D1中,BB1底面ABCD,BAD=90,可得A1B1AA1,A1B1A1D1,又因为AA1A1D1=A1,所以A1B1平面AA1D1D,所以A1B1AD1,又因为A1B1B1D=B1,所以AD1平面A1B1D,所以AD1A1D,这与四边形AA1D1D为矩形,且AD=2AA1矛盾,故直线B1D与平面ACD1不垂直.
