1、大题基础练(二)数列1设等差数列anbn的公差为2，等比数列an bn的公比为2，且a12，b11.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列2an2n的前n项和Sn.解：(1)因为a12，b11，所以a1b11，a1b13, 依题意可得，anbn12(n1)2n1，anbn32n1 , 故an.(2)由(1)可知，2an2n2n152n1，故Sn(132n1)5(122n1) 5(2n1)52nn25.2已知an是公差不为零的等差数列， a37，且a2，a4，a9成等比数列(1)求an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn.解：(1)设an的公差为d，因为a2，a4，a9成等比数列
2、，所以aa2a9，可得(a13d)2(a1d)(a18d)，所以d23a1d，因为d0，所以d3a1，又因为a3a12d7, 解得a11，d3，所以an3n2.(2)bn，所以Snb1b2bn()，所以Sn.3已知等差数列an中a112，a38.(1)求数列an的通项公式an；(2)当n取何值时，数列an的前n项和Sn取得最值 ，并求出最值解：(1)因为a112，a38，所以d2，所以an12(n1)22n14.(2)Snn(12)2n213n.所以当n6或n7时，Sn取最小值，最小值为42.4在数列an中，a11，a23，且对任意的nN*，都有an23an12an.(1)证明：数列an1an
3、是等比数列，并求数列an的通项公式；(2)设bn，记数列bn的前n项和为Sn，若对任意的nN*都有Snm，求实数m的取值范围(1)证明：由an23an12an可得an2an12(an1an). 又a11，a23，所以a2a120，故2.所以an1an是首项为2，公比为2的等比数列所以an1an2n. 所以ana1(a2a1)(anan1)12222n2n1. (2)解：因为bn. 所以Snb1b2bn1.又因为对任意的nN*都有Snm，所以m1恒成立，即m，即当n1时，m.5在等差数列an中，已知a612，a1836 .(1)求数列an的通项公式an；(2)若_，求数列bn的前n项和Sn.在b
4、n，bn(1)nan，bn2anan这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解：(1)由题意，解得d2，a12.所以an2(n1)22n.(2)选条件：bn，Sn1.选条件：因为an2n，bn(1)nan，所以Sn2468(1)n2n，当n为偶数时，Sn(24)(68)2(n1)2n2n；当n为奇数时，n1为偶数，Sn(n1)2nn1.所以Sn选条件：因为an2n，bn2anan，所以bn22n2n2n4n，所以Sn2414426432n4n，4Sn2424436442(n1)4n2n4n1，由得，3Sn24124224324n2n4n1
5、2n4n12n4n1，所以Sn(14n)4n1.6已知函数f(x)logkx(k为常数，k0且k1)(1)在下列条件中选择一个_使数列an是等比数列，说明理由；数列f(an)是首项为2，公比为2的等比数列；数列f(an)是首项为4，公差为2的等差数列；数列f(an)是首项为2，公差为2的等差数列的前n项和构成的数列(2)在(1)的条件下，当k时，设anbn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)不能使an成等比数列可以：由题意f(an)4(n1)22n2，即logkan2n2，得ank2n2，且a1k40，所以k2.因为常数k0且k1，所以k2为非零常数，所以数列an是以k4为首项，k2为公比的
6、等比数列(2)由(1)知ank4(k2)n1k2k2，所以当k时，an2n1.因为anbn，所以bn，所以bn，Tnb1b2bn(1).7已知an为等差数列，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数都不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287请从a12，a11，a13的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列an存在；并在此存在的数列an中，试解答下列两个问题(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bn(1)n1a，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)若选择条件，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，
7、a12，a26，a37不是等差数列，a12，a29，a38不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a12，a24，a37不是等差数列，a12，a29，a312不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a12，a24，a38不是等差数列，a12，a26，a312不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列an都不存在，若选择条件，则放在第一行第二列，结合条件可知a11，a24，a37，则公差da2a13，所以ana1(n1)d3n2，nN*，若选择条件，当第一行第一列为a1时，由题意知，可能的组合有，a13，a26，a37不是等差数列，a13
8、，a29，a38不是等差数列；当第一行第二列为a1时，由题意知，可能的组合有，a13，a24，a37不是等差数列，a13，a29，a312不是等差数列；当第一行第三列为a1时，由题意知，可能的组合有，a13，a24，a38不是等差数列，a13，a26，a312不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列an都不存在，综上可知：an3n2，nN*.(2)由(1)知，bn(1)n1(3n2)2，所以当n为偶数时，Tnb1b2b3bnaaaaaa(a1a2)(a1a2)(a3a4)(a3a4)(an1an)(an1an)3(a1a2a3an)3n2n，当n为奇数时，TnTn1bn(n 1)2(n1)(3n2)2n2n2，所以Tn8设Sn是数列an(nN*)的前n项和，已知a14，an1Sn3n，设bnSn3n.(1)证明：数列bn是等比数列，并求数列bn的通项公式；(2)令cn2log2bn2，求数列cn的前n项和Tn.(1)证明：因为an1Sn3n，所以Sn1SnSn3n，即Sn12Sn3n，则Sn13n12Sn3n3n12(Sn3n)，所以bn12bn，又b1S13a131，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列，故数列bn的通项公式为bn2n1.(2)解：由(1)得cn2log2bn22n，设M1，则M，得：M12，所以M44，所以Tnn(n1)4.
