1、十二旋转体(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共20分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列叙述不正确的是()A.圆锥过轴的截面是等腰三角形B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台C.用平面去截圆柱、圆锥、圆台,得到的截面均为圆面D.用一平面截圆锥可得的是一个圆锥和一个圆台【解析】选BCD.圆锥过轴的截面是等腰三角形,A对,选项B应以直角梯形的垂直于底边的一腰为轴旋转方可得到圆台,C用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台,得到的截面才是圆面,D用平行于圆锥底面的平面截圆锥可得圆锥和圆台,否则得不到.2.圆锥的母线长为10,底面半径为6,则其高
2、等于()A.6B.8C.10D.不确定【解析】选B.由圆锥的轴截面可知,圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形,所以其高为=8.3.一圆锥的母线长为2 cm,母线与轴夹角为30,则圆锥的底面与轴截面面积之比为()A.2B.C.D.以上均不对【解析】选B.在轴截面中容易求得底面半径为1 cm,高为 cm,所以底面面积为,轴截面面积为2=,因此底面与轴截面面积之比为.4.下列判断中正确的个数是()圆柱的任意两条母线所在的直线是平行的;球面和球是同一个概念;经过球面上不同的两点只能作一个球大圆.A.1B.2C.3D.0【解析】选A.正确;球面和球是两个不同的概念,错误;若球面上不同的两点恰好为球的直
3、径的端点,则过此两点的球大圆有无数个,故错误.5.若圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于()A.15B.15C.24D.30【解析】选B.S侧=rl=35=15.二、填空题(每小题4分,共8分)6.一个圆锥的母线长为20 cm,母线与轴的夹角为30,则圆锥的高为_ cm.【解析】如图是圆锥的轴截面,则SA=20 cm,ASO=30,所以SO=10 cm.答案:10【补偿训练】若圆柱OO的底面半径r=2 cm,母线长l=3 cm,则圆柱OO的表面积等于_ cm2.【解析】S表=2r(r+l)=22(2+3)=20(cm2).答案:207.点O1为圆锥高上的靠近顶点的一个三等分点,过O1
4、与底面平行的截面面积是底面面积的_.【解析】如图为圆锥SO的轴截面,则=,所以=,所以=.答案:三、解答题(每小题16分,共32分)8.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是14,母线长为10 cm,求圆锥的母线长.【解析】设圆锥的母线长为y cm,圆台上、下底面半径分别为x cm、4x cm,作圆锥的轴截面如图所示,在RtSOA中OAOA,所以SASA=OAOA.即(y-10)y=x4x,y=,故圆锥的母线长为 cm.9.已知圆锥的底面半径为r,高为h,正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥,求这个正方体的棱长.【解题指南】过正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,将有关量放在平面图
5、形中,建立正方体的棱长与圆锥有关量的关系即可求解.【解析】过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中,正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.因为VA1C1VMN,所以=.所以hx=2rh-2rx,所以x=.即圆锥内接正方体的棱长为.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列命题:A.在圆柱上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线就是圆柱的母线B.在圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线就是圆锥的母线C.在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线就是
6、圆台的母线D.旋转体的母线一定是线段其中,错误的命题是()【解析】选ACD.选项A中两点连线不一定是母线,可能是圆柱内部的一条线段,故A错;B正确;C中两点连线不一定是母线,可能是圆台内部的一条线段,故C错;D旋转体的母线可能是曲线,例如球的母线为半圆,故D错.2.关于下列几何体,说法正确的是()A.图是圆柱B.图和图是圆锥C.图和图是圆台D.图是圆台【解析】选D.因为图的上下底面既不平行又不全等,所以图不是圆柱,故A错误;因为图的母线长不相等,故图不是圆锥,故B错误;因为图的上下底面不平行,所以图不是圆台,故C错误;因为图的上下底面平行,且母线延长后交于一点,所以图是圆台,故D正确.3.已知
7、圆柱的高为2,底面半径为,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于()A.4B.C.D.16【解析】选D.设球半径为R,因为该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,所以可得R2=12+()2=4,球的表面积为4R2=16.4.(2020天津高考)若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12B.24C.36D.144【解析】选C.这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,设外接球的半径为R,则R=3,所以,这个球的表面积为S=4R2=432=36.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40
8、cm,母线长最短50 cm、最长80 cm,则斜截圆柱侧面面积S=_ cm2.【解析】将侧面展开可得S=(50+80)40=2 600(cm2).答案:2 6006.如果圆台两底面的半径分别是7和1,则与两底面平行且等距离的截面面积是_.【解析】作出圆台的轴截面(图略),上底长2,下底长14,与两底面平行且等距离的截面对应轴截面中的中位线,其长度为8,所以所求截面的半径为4,所以其面积为16.答案:167.圆台两底半径分别是2 cm和5 cm,母线长是3 cm,则它的轴截面的面积为_.【解析】由题设条件知,圆台的高h=9,所以轴截面的面积S=(4+10)9=63.答案:63 cm28.用平面截
9、半径为R的球,截面到球心的距离为,则截面圆面积为_.【解析】如图,O为球心,O1为截面圆心,AB为截面圆的直径,则OA=R,OO1=,所以AO1=R,所以截面圆面积S=R2.答案:R2三、解答题(共38分)9.(12分)有一个半径为5的半圆,将它卷成一个圆锥的侧面,求圆锥的高.【解题指南】本题考查圆锥中基本量的计算和侧面展开,求解的关键是抓住半圆弧长等于圆锥的底面周长这一点.【解析】如图,由题知,半圆的半径等于圆锥的母线长,即SA=5.半圆的弧长等于圆锥底面周长,设圆锥底面半径为r,因为5=2r.所以r=,所以高h=.即圆锥的高是.10.(12分)一个圆锥的底面半径为2 cm,高为6 cm,在
10、圆锥内部有一个高为x cm的内接圆柱.(1)用x表示圆柱的轴截面面积S.(2)当x为何值时,S最大?【解析】(1)如图,设圆柱的底面半径为r cm,则由=,得r=,所以S=-x2+4x(0x6).(2)由S=-x2+4x=-(x-3)2+6,所以当x=3时,Smax=6 cm2.11.(14分)圆台的母线长为8,母线与轴的夹角为30,下底面半径是上底面半径的2倍,求两底面面积和轴截面面积.【解题指南】作出圆台的轴截面找出各量之间的关系进行计算.【解析】设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r.将圆台还原成圆锥,轴截面如图所示.则ASO=30.在RtSAO中,SA=2r.在RtSAO中,SA=4r.所以AA=SA-SA=2r即2r=8,所以r=4.所以S上=r2=16,S下=(2r)2=4r2=64.过A作ACAO于C,则AC=OO,OC=OA,所以C为AO的中点,所以AC=r=4,在RtAAC中,AC2=AA2-AC2=82-42=48所以AC=4.则=(2AO+2AO)AC=124=48.所以圆台上底面面积为16,下底面面积为64,轴截面面积为48.
