1、高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形一、非选择题1.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.解:(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60)=-22.由于0C12
2、0,所以sin(C+60)=22,故sinC=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=6+24.2.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+3cos A=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解:(1)由已知可得tanA=-3,所以A=23.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=2,所以BAD=BAC-CAD=6.故ABD面积与ACD面积的比值为12ABADsin612ACAD=1.
3、又ABC的面积为1242sinBAC=23,所以ABD的面积为3.3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.答案:(1)证明由正弦定理,得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解由S=a24,得12absinC=a24,故有sinBsinC=12s
4、in2B=sinBcosB.由sinB0,得sinC=cosB.又B,C(0,),所以C=2B.当B+C=2时,A=2;当C-B=2时,A=4.综上,A=2或A=4.4.在ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD的面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解:(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2
5、=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.5.(2020全国,理17)ABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.(1)求A;(2)若BC=3,求ABC周长的最大值.解:(1)由正弦定理和已知条件得BC2-AC2-AB2=ACAB.由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2ACABcosA.由得cosA=-12.因为0A,所以A=23.(2)由正弦定理及(1)得ACsinB=ABsinC=BCsinA=23,从而AC=23sinB,AB=
6、23sin(-A-B)=3cosB-3sinB.故BC+AC+AB=3+3sinB+3cosB=3+23sinB+3.又0B3,所以当B=6时,ABC周长取得最大值3+23.6.在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解:(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDD
7、CcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.7.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos 2C-cos 2A=2sin3+Csin3-C.(1)求角A的值;(2)若a=3,且ba,求2b-c的取值范围.解:(1)因为cos2C-cos2A=2sin3+Csin3-C,所以2sin2A-2sin2C=234cos2C-14sin2C,化简,得sinA=32.所以A=3或A=23.(2)因为ba,所以A=3.由正弦定理bsinB=csinC=asinA=2,得b=2sinB,c=2sinC.故2b-c=4sinB-2sinC=4sinB-2sin23-B=3s
8、inB-3cosB=23sinB-6.又因为ba,所以3B23,即6B-62.所以2b-c=23sinB-63,23),即2b-c的取值范围为3,23).8.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解:(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsinA=asinB.又由bsinA=acosB-6,得asinB=acosB-6,即sinB=cosB-6,可得tanB=3.又因为B(0,),所以B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-6,可得sinA=37.因为ac,故cosA=27.因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17.所以,sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=43712-1732=3314.
