1、考点规范练66不等式选讲基础巩固1.(2021全国,理23)已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|.(1)当a=1时,求不等式f(x)6的解集;(2)若f(x)-a,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,由f(x)6可得|x-1|+|x+3|6.当x-3时,不等式可化为1-x-x-36,解得x-4;当-3x-a,则f(x)min-a,所以|a+3|-a,即a+3-a,解得a-32,+.故a的取值范围为-32,+.2.设a,b,cR,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca0;(2)用maxa,b,c表示a,b,c的最大值,证明:maxa,b,c34.答案:证明(1)由题设可知
2、,a,b,c均不为零,所以ab+bc+ca=12(a+b+c)2-(a2+b2+c2)=-12(a2+b2+c2)0,b0,c0.由bc(b+c)24,可得abca34,故a34,所以maxa,b,c34.3.(2021全国,理23)已知函数f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象;(2)若f(x+a)g(x),求a的取值范围.解:(1)f(x)=x-2,x2,2-x,x2;g(x)=-4,x-32,4x+2,-32x12,4,x12.(2)取临界状态,如图,设点Q(x,0),P12,4,令过点P,Q的直线的斜率是1,即0-4x-1
3、2=1,解得x=-72.由函数f(x)=|x-2|知f(x+a)=|x+a-2|=|x-(2-a)|,函数f(x+a)=|x-(2-a)|的图象的对称轴是直线x=2-a.当2-a-72,即a112时,f(x+a)g(x)成立.所以a112,+.4.(2019全国,理23)设x,y,zR,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)213成立,证明:a-3或a-1.答案:(1)解由于(x-1)+(y+1)+(z+1)2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(
4、x-1)3(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2,故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)243,当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于(x-2)+(y-1)+(z-a)2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)3(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2,故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2(2+a)23,当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立.因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最
5、小值为(2+a)23.由题设知(2+a)2313,解得a-3或a-1.5.已知函数f(x)=m-|x-2|,mR,且f(x+2)0的解集为-1,1.(1)求m的值;(2)若a,b,c都大于0,且1a+12b+13c=m,求证:a+2b+3c9.答案:(1)解f(x+2)=m-|x|,f(x+2)0等价于|x|m.由|x|m有解,得m0,且其解集为x|-mxm.又f(x+2)0的解集为-1,1,故m=1.(2)证明由(1)知1a+12b+13c=1,且a,b,c都大于0,由柯西不等式知:a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13ca1a+2b12b+3c13c2=9,当且仅当a=2b=
6、3c=3时,等号成立.因此a+2b+3c9.能力提升6.已知函数f(x)=|x+1|-2|x|.(1)求不等式f(x)-6的解集;(2)若f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=|x+1|-2|x|=x-1,x0.则不等式f(x)-6等价于x0,1-x-6,解得x-5或x7.故不等式f(x)-6的解集为x|x-5或x7.(2)作出函数f(x)的图象,如图.若f(x)的图象与直线y=a围成的图形是三角形,则当a=-2时,ABC的面积为1243=6.f(x)的图象与直线y=a围成的图形的面积不小于14,该图形一定是四边形,即a-2.ABC的面积
7、是6,梯形ABED的面积不小于8.AB=4,D(1+a,a),E(1-a,a),DE=-2a,12(4-2a)(-2-a)14-6=8,即a212.又a-2,a-23.故实数a的取值范围是(-,-23.7.已知函数f(x)=|x+2|-2|x-1|.(1)解不等式f(x)-2;(2)对任意xa,+),都有f(x)x-a成立,求实数a的取值范围.解:(1)f(x)=|x+2|-2|x-1|-2.当x-2时,x-4-2,即x2,故x;当-2x1时,3x-2,即x-23,故-23x1;当x1时,-x+4-2,即x6,故1x6;综上,不等式f(x)-2的解集为x-23x6.(2)f(x)=x-4,x-2,3x,-2x5;(2)若f(x)a|x+3|,求a的最小值.解:(1)当a=-2时,f(x)=1-3x,x1.由f(x)的单调性及f-43=f(2)=5,得f(x)5的解集为xx2.(2)由f(x)a|x+3|得a|x+1|x-1|+|x+3|.由|x-1|+|x+3|2|x+1|得|x+1|x-1|+|x+3|12,即a12(当且仅当x1或x-3时等号成立).故a的最小值为12.
