1、考点规范练6函数的单调性与最值基础巩固1.下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=2-xB.y=xC.y=log2xD.y=-1x答案:B解析:由题知,只有y=2-x与y=x的定义域为R,且只有y=x在R上是增函数.2.若函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)内都是减函数,则y=ax2+bx在区间(0,+)内()A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增答案:B解析:因为函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)内都是减函数,所以a0,b0.所以y=ax2+bx的图象的对称轴方程x=-b2a1,4-a2x+2,x1是R上的增函数,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.4,8)
2、C.(4,8)D.(1,8)答案:B解析:由f(x)在R上是增函数,则有a1,4-a20,4-a2+2a,解得4af(2-32)f(2-23)B.flog314f(2-23)f(2-32)C.f(2-32)f(2-23)flog314D.f(2-23)f(2-32)flog314答案:C解析:f(x)是R上的偶函数,flog314=f(-log34)=f(log34).又y=2x在R上单调递增,log341=202-232-32.又f(x)在区间(0,+)内单调递减,f(log34)f(2-23)f(2-23)flog314.故选C.7.已知函数f(x)=log2x+11-x,若x1(1,2)
3、,x2(2,+),则()A.f(x1)0,f(x2)0B.f(x1)0C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0答案:B解析:当x(1,+)时,y=log2x与y=11-x均为增函数,故f(x)=log2x+11-x在区间(1,+)内为增函数,且f(2)=0,当x1(1,2)时,f(x1)f(2)=0.8.已知函数f(x)=log13(x2-ax+3a)在区间1,+)内单调递减,则实数a的取值范围是()A.(-,2B.2,+)C.-12,2D.-12,2答案:D解析:设y=f(x),令x2-ax+3a=t.y=f(x)在区间1,+)内单调递减,t=x2-ax+3a在区间1,+)内单调递增,且
4、满足t0.a21,12-a1+3a0,解得-12a.(1)若a=0,则f(x)的最大值为;(2)若f(x)无最大值,则实数a的取值范围是.答案:(1)2(2)(-,-1)解析:令g(x)=x3-3x,(x)=-2x.由g(x)=3x2-3=0,得x=1.可判断当x=1时,函数g(x)的极小值为-2;当x=-1时,函数g(x)的极大值为2,且g(x)与x轴的交点为(-3,0),(0,0),(3,0).又g(x)与(x)图象的交点为A(-1,2),O(0,0),B(1,-2),故可作出函数g(x)与(x)的大致图象,如图所示.(1)当a=0时,f(x)=x3-3x,x0,-2x,x0,可知f(x)
5、的最大值是f(-1)=2.(2)由图象知,当a-1时,f(x)有最大值f(-1)=2;当a-1时,有a3-3a-2a,此时f(x)无最大值,故a的取值范围是(-,-1).能力提升11.已知函数f(x)=12-x2+2mx-m2-1的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为()A.-2B.2C.-1D.1答案:B解析:-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1-1,12-x2+2mx-m2-12.f(x)的值域为2,+).y1=12x在R上单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为m,+),f(x)的单调递增区间为m,+).由条件知m=2.12.若存在正数x使2x(x-a)x-12x(x
6、0).令f(x)=x-12x,函数f(x)在区间(0,+)内为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+),故当存在正数x,使原不等式成立时,a-1.13.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,且函数y=f(x)x在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫作“缓增区间”.若函数f(x)=12x2-x+32是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为()A.1,+)B.0,3C.0,1D.1,3答案:D解析:因为函数f(x)=12x2-x+32的图象的对称轴为直线x=1,所以函数y=f(x)在区间1,+)上是增函数.又当x1时,f(x)x=12x-1+32x,令g
7、(x)=12x-1+32x(x1),则g(x)=12-32x2=x2-32x2.由g(x)0得1x3,即函数f(x)x=12x-1+32x在区间1,3上单调递减,故“缓增区间”I为1,3.14.已知函数f(x)=-x2+4x,x4,log2x,x4,若函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则实数a的取值范围是.答案:(-,14,+)解析:画出f(x)=-x2+4x,x4,log2x,x4的图象,如图所示,因为函数y=f(x)在区间(a,a+1)内单调递增,则a+12或a4,解得a1或a4.故实数a的取值范围是(-,14,+).15.已知f(x)=xx-a(xa).(1)若a=-2,试
8、证明f(x)在区间(-,-2)内单调递增;(2)若a0,且f(x)在区间(1,+)内单调递减,求a的取值范围.答案:(1)证明当a=-2时,f(x)=xx+2(x-2).设任意的x1,x2(-,-2),且x10,x1-x20,f(x1)f(x2).f(x)在区间(-,-2)内单调递增.(2)解任设1x10,x2-x10,要使f(x1)-f(x2)0,只需(x1-a)(x2-a)0在1x1x2时恒成立,a1.综上所述,a的取值范围是(0,1.高考预测16.已知函数f(x)=x+4x,g(x)=2x+a,若x112,3,x22,3使得f(x1)g(x2),则实数a的取值范围是()A.a1B.a1C.a0D.a0答案:C解析:当x12,3时,f(x)2x4x=4,当且仅当x=2时,f(x)min=4,当x2,3时,g(x)为增函数,故g(x)min=22+a=4+a.依题意可得f(x)ming(x)min,解得a0.
