1、专题六数列备考篇【考情探究】课标解读考情分析备考指导主题内容一、数列的概念及其表示1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.1.本专题内容的考题以中等难度偏下为主.题型以选择题、填空题或解答题的形式出现,如2020新高考第18题(解答题).2.考查内容主要体现在(1)以等差、等比数列的概念和性质,通项公式和求和公式为载体,考查数学运算能力.(2)需关注以数学文化为背景的数列问题.数列与其他专题知识结合考查,如数列与函数、不等式、统计等进行综合考查,涉及内容较为全面,题型新颖、方法灵活多变.1.处理等差、等比数列的基本问题时,要灵活利
2、用等差、等比数列的定义,通项公式及前n项和公式,利用基本量求解.2.数列的通项与求和是高考常考内容,要灵活掌握数列求和的各种方法.3.重视方程、函数、分类讨论思想的应用.二、等差数列1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应问题.4.了解等差数列与一次函数的关系.三、等比数列1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.四、数列求和及综合应用1.掌握数列求和的几种
3、常见方法.2.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.【真题探秘】解题技巧在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有a1,an,q,n,Sn五个量,已知其中的三个,就可以求其余的两个,求解时,一般将已知转化为a1,q的关系,然后利用方程思想求解.核心考点等比数列通项公式及基本量的运算,数列求和,归纳推理.核心素养数学运算,逻辑推理.知能拓展等差数列中的数形结合(1)等差数列an的通项公式an=a1+(n-1)d可变形为an=dn+(a1-d).若d=0,则an=a1是常数列;若d0,则an是关于n的一次函数.点(n,an)是直线y=dx+(a1-d)上的
4、一群孤立的点.单调性:d0时,an为单调递增数列;d0),当x(0,310)时,f(x)单调递减;当x(310,+)时,f(x)单调递增.an=1n+90n,nN*,不难发现当n=9或n=10时,a9=a10=119最大.5.数列an的前n项和为Sn.若a1=1,an+1=3Sn(nN*),则有()A.Sn=4n-1B.Sn为等比数列C.an=34n-1D.an=1,n=134n-2,n2答案ABDan+1=3Sn,Sn+1-Sn=3Sn,Sn+1=4Sn,又S1=a1=10,Sn是首项为1,公比为4的等比数列,Sn=4n-1.当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-1-4n-2=34n-2,又
5、当n=1时,不符合上式,an=1(n=1),34n-2(n2).综合篇【综合集训】考法一利用Sn与an的关系求通项公式1.(2021届安徽太和一中开学摸底检测)已知Sn是数列an的前n项和,若(1-2x)2021=b0+b1x+b2x2+b2021x2021,数列an的首项a1=b12+b222+b202122021,an+1=SnSn+1,则S2021=()A.-12021B.12021C.2021D.-2021答案A2.(2020重庆直属校(重庆第八中学等)3月月考)设各项均为正数的数列an的前n项和Sn满足Sn2-(n2+n-2)Sn-2(n2+n)=0,nN*,则数列1anan+1的前
6、2020项和T2020=.答案5052021考法二由递推关系求数列的通项公式3.(2019广东广雅中学模拟,7)在数列an中,已知a1=2,an+1=an3an+1(nN*),则an的通项公式为()A.an=24n-3B.an=26n-5C.an=24n+3D.an=22n-1答案B4.(2019河南濮阳重点高中联考,9)已知数列an的首项a1=35,且满足an-an-1=2n-1(nN*,n2),则ann的最小值为()A.234B.595C.353D.12答案C5.(2019山西盂县一中模拟,8)设数列an满足a1=1,a2=2,且2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1(n2且nN
7、*),则a18=()A.259B.269C.3D.289答案B6.(2020新教材地区第一次月考)已知数列an满足a1=1,an0,an+1-an=1,那么an0,b0,正项数列xn满足xn=axn+1+bxn+2,若xn为单调递减数列,则()A.a+b1B.b1C.a+b1答案Axn为单调递减数列,xnxn+1对nN*恒成立.由xn=axn+1+bxn+2得axn+1+bxn+2xn+1对nN*恒成立,整理得bxn+2(1-a)xn+1(*).若a1,则(*)式恒成立,此时a+b1;若0a(1-a)xn+1(1-a)xn+2,即有b1-a,即a+b1.综上,a+b1,故选A.2.(2020浙
8、江浙南名校联盟联考,10)已知数列an满足an+1+1an+1=2an+1an(nN*),则()A.当0ananB.当an1(nN*)时,an+12n+4D.当a1=2时,an+1+1an+13n+20答案C对于A,取a1=12,则a2+1a2=1+2=3,解得a2=3-52或a2=3+52,若取a2=3-52,则a2=3-522=a1,所以B错;对于C,由an+1+1an+12an+1an2+2,得an+1+1an+122n+2542n+4,所以C正确.对于D,当a1=2时,a2+1a2=4+12=92,解得a2=9-654或a2=9+654,若取a2=9+654,则a3+1a3=a2+a2+1a2=9+654+929+84+92=35426,所以D错.故选C.
