1、强化训练四：直线与双曲线的位置关系综合强化训练必刷30道题一、单选题1（2021全国高二）若直线ykx与双曲线4x2y216相交，则实数k的取值范围为（ ）A(2，2)B2，2)C(2，2D2，22（2021全国高二）已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线yx交于A，B两点，若|AB|2，则该双曲线的方程为（ ）Ax2y26Bx2y29Cx2y216Dx2y2253（2021云南保山（理）已知双曲线（，）与直线相交于，两点，直线上存在一点满足，坐标原点为，直线的斜率为2，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD34（2020江西上高二中）已知双曲线的离心率为2，分别是双曲线的左右焦点，点，
2、点P为线段MN上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，则（ ）A4B8CD5（2021广西崇左高中高二）已知点，是双曲线（，）的左、右顶点，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值，则（ ）A2BCD46（2021河南商丘（文）双曲线：（，）的左焦点为，虚轴的上端点为，直线交双曲线的右支于点，且，则双曲线的离心率为（ ）ABCD7（2021全国高二）直线l过双曲线的右焦点，斜率为2，若l与双曲线的两个交点分别在双曲线的左右两支上，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ）ABCD8（2021全国高二课时练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线左
3、支交于A，B两点，且，那么的值是（ ）A21B30C27D159（2021全国高二课时练习）设双曲线的半焦距为，直线过，两点已知原点到直线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）A2BCD10（2021全国高二课时练习）已知，是双曲线上不同的三点，且点A，连线经过坐标原点，若直线，的斜率乘积为，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD二、多选题11（2021福建泉州）若双曲线与椭圆有相同的左右焦点，且，在第一象限相交于点，则（ ）AB的渐近线方程为C直线与有两个公共点D的面积为12（2020湖北省汉川市第二中学）已知双曲线的标准方程为，则（ ）A双曲线的离心率等于半焦距B双曲线与双曲线C有相同的渐近线C双
4、曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为D直线与双曲线的公共点个数只可能为0，1，213（2021江苏海门市第一中学高二期末）在平面直角坐标系中，设双曲线的右焦点为，直线过点，与双曲线的右支交于点，点在双曲线的右支上，则（ ）A直线是双曲线的一条渐近线B点与直线的距离的最小值为1C线段的最短长度为1D线段的最短长度为614（2021东莞市光明中学高二开学考试）已知双曲线的离心率为，且双曲线C的左焦点在直线上，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）A双曲线的方程为B双曲线的渐近线方程为C点到双曲线的渐近线距离为D为定值15（2021江苏海
5、安高级中学高二期末）已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，且，则下列结论正确的是（ ）A直线与轴垂直B的离心率为C的渐近线方程为D（其中为坐标原点）三、填空题16（2021湛江市第二十中学）双曲线的左焦点为，过作轴垂线交于点，过作与的一条渐近线平行的直线交于点，且、在轴同侧，若，则的离心率为_17（2021四川省资中县第二中学高二月考（文）设，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且满足（是坐标原点），则直线的斜率为_.18（2021辽宁抚顺）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点.若的焦距为4，则面积的最大
6、值为_.19（2021四川南江高二期末（文）双曲线的离心率为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于点，的动点，若直线，的斜率都存在且分别为，则的值为_20（2021江苏高二专题练习）在平面直角坐标系中，对于曲线，有下面四个结论：曲线C关于y轴对称；过平面内任意一点M，恰好可以作两条直线，这两条直线与曲线C都有且只有一个公共点；存在唯一的一组实数a，b，使得曲线C上的点到坐标原点距离的最小值为1；存在无数个点M，使得过点M可以作两条直线，这两条直线与曲线C都恰有三个公共点.其中所有正确结论的序号是_.四、解答题21（2020江西省靖安中学高二月考（理）双曲线的一条渐近线方程是，坐标
7、原点到直线的距离为，其中，.（1）求双曲线的方程；（2）若是双曲线虚轴在轴正半轴上的端点，过点作直线交双曲线于点，求时，直线的方程.22（2021江苏省溧水高级中学）已知双曲线的右顶点为，过作直线交双曲线的右支于，两点（点B在x轴上方）.（1）设直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；（2）若，求直线的斜率.23（2020合肥市第十一中学高二月考（理）已知双曲线: 过点，两条渐近线的夹角为60，直线交双曲线于、两点（1）求双曲线的方程；（2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率，均存在，求证：为定值；24（2020南昌市八一中学高二月考）已知双曲线的渐近线倾斜角分别为和，为其左焦点，为
8、双曲线右支上一个动点.（1）求的取值范围，并说明理由；（2）过点分别作两渐近线的垂线，垂足分别为，求证：为定值.25（2018惠州市惠城区湖滨学校高二月考（理）已知,点满足，记点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若直线过点且与轨迹交于、两点.（i）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值.（ii）在（i）的条件下，求面积的最小值.26（2021云南弥勒市一中高二月考（理）已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，短轴端点为，（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，证明：过两弦，中点的直线恒过定点27（
9、2021西藏拉萨中学高二月考（文）已知抛物线：()的焦点与双曲线：右顶点重合.（1）求抛物线的标准方程；（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.28（2020四川省眉山第一中学高二月考（理）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积29（2021河南高二月考（理）已知过点的双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是.（1）求双曲线的方程；（2）若是坐标原点，直线：与双曲线的两支各有一个交点，且交点分别是，的面积为，求实数的值.30（2020河南
10、魏都许昌高中高二月考（文）已知椭圆：的离心率为，且双曲线的一条渐近线被椭圆截得的弦的长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知椭圆的左右焦点，直线：的距离之积为1.若直线与两坐标轴正半轴相交，求直线在两坐标轴上的截距之积的最小值；28原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！参考答案1A解：因为直线ykx与双曲线4x2y216相交，则，将ykx代入4x2y216得关于x的一元二次方程(4k2)x2160，由，解得2k3 （i），故得对任意的恒成立， 当m =1时，MPMQ.当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，综上，当m =1时，MPMQ. （ii）由（i）知，当直线l的斜率存在时， M点到直线P
11、Q的距离为，则 令，则，因为所以 当直线l的斜率不存在时， 综上可知，故的最小值为9.26（1）因为双曲线的右焦点为到双曲线渐近线的距离为，不妨设渐近线方程为，所以.在椭圆中，因为，则，又，所以，所以双曲线的方程为，椭圆的方程为（2）根据题意可得当直线与直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，则直线的方程设为，联立，消去，可得，则设，则，所以的中点同理可得的中点，所以直线的斜率，所以直线的方程为，整理可得，所以直线恒过定点；当直线的斜率不存在时，弦的中点，的中点，此时过弦，的中点的直线为，经过定点综上可得，过两弦，中点的直线恒过定点27（1）由题设知，双曲线的右顶点为，解得，抛物线的标准方程
12、为.（2）设，显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，联立，消去得，由得，即，.又，即，解得或，直线的方程为或.28（1）；（2）【详解】（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即，双曲线方程为，即（2）由（1）知：，即直线的方程为设，联立，得，满足且，由弦长公式得，点到直线的距离所以29（1）；（2）.【详解】（1）因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是，所以可设双曲线的方程是，则，解得.所以双曲线的方程是.（2）由消去整理，得.由题意知解得且.设，则，.因为与双曲线的交点分别在左右两支上，所以，所以，所以，则.所以，即，解得或，又，所以.30（1）；（2）.【详解】（1）由椭圆的离心率为得，整理得，椭圆的方程可化为双曲线的渐近线方程为，假设渐近线被椭圆截得的弦为.把与联立得两交点坐标为，由，得，所以，.所以椭圆的方程为.（2）点到直线：的距离，点到直线：的距离，由题意得，即，若，则；若，则，不成立，所以.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，因为直线与两坐标轴正半轴相交，所以，直线在两坐标轴上的截距之积为，当时取等号，所以直线在两坐标轴上的截距之积的最小值为.
