1、规范答题增分专项三高考中的数列问题1.(2020全国,文17)设等比数列an满足a1+a2=4,a3-a1=8.(1)求数列an的通项公式;(2)记Sn为数列log3an的前n项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.2.(2020山东,18)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求数列an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.3.在a1=-8,a2=-7,an+1=kan+1(nN*,kR);若an为等差数列,且a3=-6,a7=-2;设数列an的前n项和为Sn,且Sn=12n2-172n(nN*)这三
2、个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.在数列an中,.记Tn=|a1|+|a2|+|a3|+|an|,求T20.4.已知等差数列an的前n项和为Sn,公差d0,且S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bnan是首项为1,公比为3的等比数列,求数列bn的前n项和Tn.5.已知an为等差数列,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数都不在下表的同一列.行数列数第一列第二列第三列第一行第二行469第三行1287请从a1=2,a1=1,a1=3这三个条件中选一个填入上表,使满足以上条件的数列an存在,并
3、在此存在的数列an中,试解答下列两个问题:(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足bn=(-1)n+1an2,求数列bn的前n项和Tn.6.已知各项均为正数的数列an的首项a1=1,前n项和Sn满足an=Sn+Sn-1(n2).(1)求证:Sn为等差数列,并求数列an的通项公式;(2)记数列1anan+1的前n项和为Tn,若对任意的nN*,不等式4Tna2-a恒成立,求实数a的取值范围.7.(2020天津,19)已知an为等差数列,bn为等比数列,a1=b1=1,a5=5(a4-a3),b5=4(b4-b3).(1)求an和bn的通项公式;(2)记an的前n项和为Sn,求证:SnSn+
4、2Sn+12(nN*);(3)对任意的正整数n,设cn=(3an-2)bnanan+2,n为奇数,an-1bn+1,n为偶数.求数列cn的前2n项和.8.将数列an中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数阵:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15a16其中a2=4,a17=10,a14=12,且数阵中的第一列数a1,a2,a5,a10,构成等差数列,从第二行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,公比为同一个正数.表中每一行正中间的项a1,a3,a7,a13,构成的数列记为bn.(1)求数列bn的前n项和Sn;(2)记集合M=n|(n+1)bn
5、,nN*,若M的元素个数为4,求实数的取值范围.规范答题增分专项三高考中的数列问题1.解(1)设等比数列an的公比为q,则an=a1qn-1.由已知得a1+a1q=4,a1q2-a1=8,解得a1=1,q=3.所以数列an的通项公式为an=3n-1.(2)由(1)知log3an=n-1,故Sn=n(n-1)2.由Sm+Sm+1=Sm+3,得m(m-1)+(m+1)m=(m+3)(m+2),即m2-5m-6=0,解得m=-1(舍去),m=6.2.解(1)设等比数列an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.因为a1q2=8,所以a1=2.所以an的
6、通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2nm2n+1时,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b32+b33+b63)+(b64+b65+b100)=0+12+222+323+424+525+6(100-63)=480.3.解若选择,因为an+1=kan+1,所以a2=ka1+1,即-8k+1=-7,解得k=1,则an+1-an=1,即数列an是首项为-8,公差为1的等差数列,故an=n-9;若选择,设等差数列an的公差为d,因为a3=-6,a7=-2,所以a1+2d=-6,a1+6d=-2,解得a1=-8,d=1,故an=a1+(n-
7、1)d=n-9;若选择,因为Sn=12n2-172n,所以a1=S1=12-172=-8,当n2时,Sn-1=12(n-1)2-172(n-1)=12n2-192n+9,则an=Sn-Sn-1=n-9(n2),因为a1=-8也满足上式,所以an=n-9.由an0,得n9,故T20=(-a1)+(-a2)+(-a3)+(-a8)+a9+a10+a11+a20=-(a1+a2+a3+a8)+(a9+a10+a11+a20)=-(-8-1)82+(0+11)122=102.4.解(1)依题意得3a1+322d+5a1+452d=50,(a1+3d)2=a1(a1+12d),解得a1=3,d=2.故a
8、n=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1.(2)由题意可知bnan=3n-1,则bn=an3n-1=(2n+1)3n-1.故Tn=3+53+732+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+733+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,由-,得-2Tn=3+23+232+23n-1-(2n+1)3n=3+23(1-3n-1)1-3-(2n+1)3n=-2n3n,故Tn=n3n.5.解(1)若选择条件,当第一行第一列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=2,a2=6,a3=7,不是等差数列,a1=2,a2=9,a3=8,不是等差数列;当第一行第二列为a1时,由题
9、意知,可能的组合有:a1=2,a2=4,a3=7,不是等差数列,a1=2,a2=9,a3=12,不是等差数列;当第一行第三列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=2,a2=4,a3=8,不是等差数列,a1=2,a2=6,a3=12,不是等差数列,则将a1=2放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列an都不存在.若选择条件,则放在第一行第二列,结合条件可知a1=1,a2=4,a3=7,则公差d=a2-a1=3,所以an=a1+(n-1)d=3n-2.若选择条件,当第一行第一列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=3,a2=6,a3=7,不是等差数列,a1=3,a2=9,a3=8,不是等差数列
10、;当第一行第二列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=3,a2=4,a3=7,不是等差数列,a1=3,a2=9,a3=12,不是等差数列;当第一行第三列为a1时,由题意知,可能的组合有:a1=3,a2=4,a3=8,不是等差数列,a1=3,a2=6,a3=12,不是等差数列,则将a1=3放在第一行的任何一列,满足条件的等差数列an都不存在.综上可知,an=3n-2.(2)由(1)知,bn=(-1)n+1(3n-2)2.当n为偶数时,Tn=b1+b2+b3+bn=a12-a22+a32-a42+an-12-an2=(a1+a2)(a1-a2)+(a3-a4)(a3+a4)+(an-1+an)(
11、an-1-an)=-3(a1+a2+a3+an)=-3n(1+3n-2)2=-92n2+32n;当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=-92(n-1)2+32(n-1)+(3n-2)2=92n2-32n-2.故Tn=-92n2+32n,n=2k,kN*,92n2-32n-2,n=2k-1,kN*.6.(1)证明因为an=Sn+Sn-1(n2),所以Sn-Sn-1=Sn+Sn-1.由数列an的各项均为正数,得Sn-Sn-1=1,所以数列Sn是首项为S1=a1=1,公差为1的等差数列,得Sn=n.所以an=Sn+Sn-1=n+(n-1)=2n-1(n2),当n=1时,a1=1也适合,所以an=2n-
12、1.(2)解因为1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1),所以Tn=121-13+13-15+12n-1-12n+1=121-12n+1.即Tn12.要使不等式4Tna2-a恒成立,只需2a2-a恒成立,解得a-1或a2,故实数a的取值范围是(-,-12,+).7.(1)解设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由a1=1,a5=5(a4-a3),可得d=1,从而an的通项公式为an=n.由b1=1,b5=4(b4-b3),又q0,可得q2-4q+4=0,解得q=2,从而bn的通项公式为bn=2n-1.(2)证明由(1)可得Sn=n(n+1)2,故SnSn+2=14n(n+1)(n+2)(n+3),Sn+12=14(n+1)2(n+2)2,从而SnSn+2-Sn+12=-12(n+1)(n+2)0,所以SnSn+20,c3-c2=0,即c2=c3c1,当n3时,cn+1c4c1c5,当n6时,c5cn,因为集合M=n|(n+1)bn,nN*的元素个数为4,所以c5c1,即实数的取值范围为154,4.
