1、金陵中学高三上学情检测考前热身卷数学一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分）1已知非零向量，那么“的夹角为钝角”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件2设集合，则（ ）ABCD3已知，且，则的最大值为（ ）A1BC2D4某课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：由此散点图，在10C至40C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）ABCD5九连环是一个古老的智力游戏，在多部中国古典数学典籍里都有对其解法的探究
2、，在九章算术中古人对其解法的研究记载如下：记解n连环需要的步骤为，研究发现an+1是等比数列，已知，则（ ）A127B128C255D2566攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称攒尖攒尖建筑的屋面在顶部交汇为一点，形成尖顶，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑辽宁省实验中学校园内的明心亭，为一个八角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正八棱锥，设正八棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，它的侧棱与底面内切圆半径的长度之比为（ ）ABCD7已知定义在上的奇函数满足，当时，若函数的所有零点为，当号时，（ ）ABCD8已知实
3、数，满足，则对于任意实数，的最小值为（ ）A4B16C17D25二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，共20分.每题全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9若函数，则（ ）A是周期函数B在上有4个零点C在上是增函数D的最小值为10已知P为双曲线上的动点，过点P作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，线段PA，PB的长分别为m，n，则下列结论正确的是 （ ）AAPBBk1k2CmnD|AB|11传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.这是因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他最为
4、得意的发现，于是留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，若，则（ ）A的展开式中的常数项是B的展开式中的各项系数之和为C的展开式中的二项式系数最大值是D，其中为虚数单位12已知数列满足：，设，数列的前项和为，则下列选项正确的是（ ）A数列单调递增，数列单调递减BCD三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13的展开式中的系数为_.14已知 ，则_.15如图，在底面边长为，高为的正四棱柱中，大球与该正四棱柱的五个面均相切，小球在大球上方且与该正四棱柱的三个面相切，也与大球相切，则小球的半径为_16已知函数，对
5、任意的，使得，则_.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17（本题满分10分）在数列为递增的等比数列，且是和的等差中项，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的k存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由已知数列的前n项和为，_，设数列的前n项和为，是否存在实数k，使得恒成立？18（本题满分12分）在中，角，所对的边分别为，设为的面积，满足（1）求角的大小；（2）若边长，求的周长的取值范围19（本题满分12分）某农林科技大学培育出某一小麦新品种，为检验该新品种小麦的最佳播种日期，把一块地均分为，两块试验田（假设，两块试验田地质情况一致），10月10日在试验田播种该新品种小麦，10月
6、20日在试验田播种该新品种小麦，小麦收割后，从这两块试验田收获的小麦中各随机抽取了20份（每份1000粒），并测其千粒重（单位：），按照20，30)，30，40)，40，50进行分组，得到如下表格其中千粒重不低于的小麦视为饱满，否则为不饱满20，30)30，40)40，50试验田/份479试验田/份7103（1）完成下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关；10月10日播种10月20日播种合计饱满不饱满合计（2）从，两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，求抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率；（3）用样本估计总体，从试验田随机选取50份（每份1000粒）小麦，记
7、饱满的小麦份数为，求数学期望参考公式：，其中（）0.150.100.050.0250.0100.0012.0722.7063.8415.0246.63510.82820（本题满分12分）如图，分别是圆台上下底面的圆心，是下底面圆的直径，点是下底面内以为直径的圆上的一个动点（点不在上）.（）求证：平面平面；（）若，求二面角的余弦值.21（本题满分12分）已知点，的周长等于，点满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）是否存在过原点的直线与曲线交于，两点，与圆交于，两点（其中点在线段上），且，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.22（本题满分12分）已知函数（1）当时，求在上的最值；（2）设，
8、若有两个零点，求的取值范围一、单项选择题12345678ADDDCACB二、多项选择题9101112BCACBCABC三、填空题13. 4096 14. 15. 16. -3 四、解答题17. 解：若选时，数列为公比为q的递增的等比数列，且是和的等差中项，故，解得，整理得，故或（舍去），所以所以所以，当时，使得恒成立，故k的最小值为1若选时，当时，所以，（首项符合通项），所以所以，当时，使得恒成立，故k的最小值为118. （1）的面积满足，由面积公式和余弦定理得，则，即，又，所以（2）因为，所以由正弦定理得，则的周长，由得，则，所以，故的周长的取值范围是，19. （1）补全的列联表如下：10月
9、10日播种10月20日播种合计饱满9312不饱满111728合计202040由表中的数据可得，由于，所以有95%的把握认为小麦是否饱满与播种日期有关（2）解法一：由（1）可得，从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，所以从，两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，抽取的2份小麦中至少有1份饱满小麦的概率解法二：由（1）可得，从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，所以从，两块试验田的样本中各随机抽取1份小麦，抽取的2份小麦中没有饱满小麦的概率，故所求概率
10、（3）因为从试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满小麦的概率为，所以，故20. （1）由题意，分别是圆台上下底面的圆心，可得底面，因为底面，所以，又由点是下底面内以为直径的圆上的一个动点，可得，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，则，可得，所以，设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以，又由，设平面的法向量为，则，即，令，可得，所以，所以，因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.21. 解：（1）设，由得，.已知点，的周长等于，则点的轨迹是以，为焦点的椭圆.，所以，.故点的轨迹方程为（）.将，代入（）并化简得到点的轨迹的方程：
11、（）.（2）当直线与轴垂直时，求得，符合要求.此时直线的方程为：.当直线存在斜率时，设直线的方程为，.由消去整理得，由韦达定理得，则.圆心到直线的距离，则.，整理得，即.此时直线的方程为.综上，符合条件的直线存在三条，其方程为和.22. （1）当时，可得当时，；当时，所以在上单调递减，在上单调递增因为，所以，（2）因为，可得：当时，此时只有一个零点，故不成立；当时，在上单调递减，在上单调递增因为，当时，；当时，有两个不同的零点，成立；当时，令，得或当时，恒成立，在上单调递增，至多有一个零点；当时，即若或，则；若，则在和上单调递增，在上单调递减当时，即若或，则；若时，则在和上单调递增，在上单调递减当时，仅有一个零点，不合题意综上，有两个零点，的取值范围是11
