1、部分学校高三摸底考试试题数学考生注意：1.答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回.第卷一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合，再求.【详解】由，得或，
2、即或.或，.故选：.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.己知z为复数，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则（ ）A. 2B. C. 1D. 【答案】C【解析】【分析】设，代入计算，利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出.【详解】解：设，复数为纯虚数，.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算性质、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.命题：“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可得答案.注意“一改量词，二改结论”.【详解】因为存在量词命题否定是全称量词命题，所以命题“，”的否定是“，
3、”.故选：.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.4.设，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据对数函数的单调性比较的指数的大小，再根据指数函数的单调性比较的大小.【详解】，函数在上单调递增，且，.函数在上单调递增，即.故选：.【点睛】本题考查对数的运算性质，考查对数函数、指数函数的单调性，属于基础题.5.为庆祝中华人民共和国成立70周年，某校组织“我和我的祖国”知识竞赛活动，30名参加比赛学生的得分情况（十分制）如图所示，则得分的中位数，众数，平均数的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由条形图求出，即得答
4、案.【详解】由条形图可得，.故选：.【点睛】本题考查条形图，属于基础题.6.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，根据诱导公式和倍角公式可求值.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查三角函数诱导公式和简单的三角恒等变换，属于基础题.7.函数部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】函数的定义域为，判断的奇偶性，再根据特殊值即得答案.【详解】函数的定义域为.，为偶函数，排除.又排除.故选：.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性识别图象，属于基础题.8.将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放
5、一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是()A. 40B. 60C. 80D. 100【答案】A【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有 种，由排列组合的知识可得，不同的放法总数是： 种.本题选择A选项.9.若函数，则（ ）A. 1B. 2C. 4D. 16【答案】A【解析】【分析】由题意，当时，可推出.故当时，是周期为6的周期函数，则，再根据的解析式去求，即得答案.【详解】当时，.当时，是周期为6的周期函数，.又.即.故选：.【点睛】本题考查函数的周期性，考查分段函数求值，属于中档题.10.已知函数，若方程有且只有三个不同的实数根，则的取值范围是（
6、）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先将有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题，结合函数图像，即可求出结果.【详解】由得，即，设，,的顶点在直线上，而与的交点坐标为,联立,可得,由，得，结合函数，图像可得，要使有且只有三个不同的实数根，只需.故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，通常情况下，需要构造函数，结合函数的单调性和图像来处理，属于中档试题.二、多项选择题：在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.11.已知，下列四个结论正确的是（ ）A. 的图象向左平移个单位长度，即可得到的图象B. 当时，函数取得最大值C. 图象的对称中心是，D. 在区间上
7、单调递增【答案】CD【解析】【分析】对选项逐一验证，即得答案. 项，求出向左平移个单位长度后的函数解析式，可得的正误；项，令，由辅助角公式可得，从而可判断的正误；项，由辅助角公式可得，可求其对称中心，从而可判断的正误；项，由倍角公式可得，可判断它在区间上的单调性，可得的正误.【详解】项，的图象向左平移个单位长度可得，而，故错误.项，令，则，当时，故错误.项，.令，.函数图象的对称中心是，故正确.项，.当时，此时函数单调递增，故正确.故选：.【点睛】本题考查三角函数图象的变换和性质，属于中档题.12.甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙
8、四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，分别求得可判断A，由独立事件概率乘法公式，可判断BCD.【详解】由已知，由已知有，所以，则A正确；，则B正确；事件、不相互独立，故错误，即C错误，则D正确；综上可知正确的为ABD.故选:ABD【点睛】本题考查了古典概型概率计算公式的应用，概率乘法公式的应用，属于基础题.13.已知，成等比数列，满足，且，下列选项正确的是（
9、 ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】设公比为.由，得，整理得，即.令，利用导数判断的零点在上，即，从而可以判断选项的正误.【详解】成等比数列，设公比为.，整理得，即.令，则.由，得或；由，得，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.的极大值为，极小值为.又，在区间上有一个零点.即时，.，等比数列中，均为负数，均为正数.故选：.【点睛】本题考查导数的应用，考查等比数列通项公式，属于较难的题目.第卷三、填空题：把答案填在对应题号后的横线上.14.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分
10、析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于第_象限.【答案】三【解析】【分析】由欧拉公式可得，则表示的复数在复平面中对应的点为.判断点所在的象限，即得答案.【详解】由欧拉公式可得，则表示的复数在复平面中对应的点为.点在第三象限，即表示的复数在复平面中位于第三象限.故答案为：三.【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.15.数列满足，则_.【答案】【解析】【分析】由，得，累加法可求.【详解】.,以上各式两端分别相加，得.故答案为：.【点睛】本题考查累加法，考查计算能力，属于基础题.16.已知函数，则_，的解集为_.【答案】
11、 (1). 1 (2). 【解析】【分析】令，可求的值，可求得.不等式即为，可得.易知在上单调递减，可解不等式.【详解】函数定义域为.则.，不等式即为，.易知在上单调递减，即原不等式的解集为.故答案为：1；.【点睛】本题考查函数求值和解不等式，属于中档题.17.函数同时满足条件：偶函数；值域为；周期为2020.请写出的一个解析式_.【答案】，等【解析】【分析】根据函数同时满足的3个条件写出的解析式，答案不唯一.【详解】函数同时满足条件：偶函数；值域为；周期为2020，的解析式可以为：或或等（答案不唯一）.故答案为：，等.【点睛】本题考查根据函数的性质求函数的解析式，属于中档题.四、解答题：解答
12、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知等差数列中，顺次成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记，的前项和，求.【答案】(1)；（2）【解析】【分析】（1）利用三项成等比数列可得，利用和来表示该等式，可求得；利用等差数列通项公式求得结果；（2）由（1）可得，则可利用裂项相消的方法来进行求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，顺次成等比数列 ，又，化简得：，解得：（2）由（1）得：【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求数列的前项和的问题，关键是熟练掌握关于通项中涉及到的裂项方法.19.内角，的对边分别为，若，且.（1）求的值，并求面积的最大值；（2）求的取值范围.【答案】
13、（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由两边平方得，又，可求.由，可得，再根据三角形面积公式可求面积的最大值；（2）方法1：由正弦定理可得，又.设，其中，代入，展开，化简，可求的取值范围.方法2：由余弦定理可知，由，可求.又，即求的取值范围.【详解】（1）由两边平方得：，即，.，且，当且仅当时等号成立.，所以面积的最大值为.（2）由（1）知，则，因为，所以，所以，因为，设，其中，所以，因为，所以，所以的取值范围是.解法2：由余弦定理可知，因为，所以，所以，又因为，为的边长，所以，所以的取值范围是.【点睛】本题考查正余弦定理、三角形面积公式、不等式和两角和与差的正弦公式，属于中档题.20.为了
14、解某初中学校学生睡眠状况，在该校全体学生中随机抽取了容量为120的样本，统计睡眠时间（单位：）.经统计，时间均在区间内，将其按，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图：（1）世界卫生组织表明，该年龄段的学生睡眠时间服从正态分布，其标准为：该年龄段的学生睡眠时间的平均值，方差.根据原则，用样本估计总体，判断该初中学校学生睡眠时间在区间上是否达标？（参考公式：，）（2）若规定睡眠时间不低于为优质睡眠.已知所抽取的这120名学生中，男、女睡眠质量人数如下列联表所示：优质睡眠非优质睡眠合计男60女19合计将列联表数据补充完整，并判断是否有的把握认为优质睡眠与性别有关系，并说明理由；下面的临界值表仅供参
15、考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中.）【答案】（1）该校学生睡眠时间在区间上不达标；（2）列联表见解析，有的把握认为优质睡眠与性别有关系；理由见解析【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求出，求出.根据频率分布直方图求出学生睡眠时间在区间上的概率，与比较大小，即得答案；（2）求出样本中优质睡眠学生的人数，补全列联表，计算，根据临界值表可得结论.【详解】（1）根据直方图数据，有，解得.由平均值，样本方差，得，则即求样本数据中区间内的概率值，则，该校学生睡眠时间在区间上不达
16、标.（2）根据直方图可知，样本中优质睡眠学生有，列联表如下：优质睡眠非优质睡眠合计男116071女193049合计3090120可得，所以，有的把握认为优质睡眠与性别有关系.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查独立性检验，属于中档题.21.已知，是关于的方程的两个不等的实根，且，函数的定义域为，记，分别为函数的最大值和最小值.（1）试判断在上的单调性；（2）设，若函数是奇函数，求实数的值.【答案】（1）函数在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义或利用导数判断在上的单调性；（2）由（1）可知函数在上单调递增，则，求出.由是奇函数，可得，即求.【详解】（1）解法一：对于，
17、设则，因为，所以，所以，因为，所以，即，又，所以，即，所以函数在上单调递增.解法二：设，因为，是关于的方程的两个不等的实根，所以，所以，等号当且仅当或时成立，所以函数在上单调递增.（2）由（1）可知函数在上是单调递增的，所以，所以，因为，为方程的两个实根，所以，所以，所以，所以，因为是奇函数，所以对任意都成立，即恒成立，所以，即，所以，即.【点睛】本题考查利用函数单调性的定义或利用导数判断函数的单调性，考查函数的奇偶性，属于较难的题目.22.已知函数（1）当时，求函数在区间上的最值；（2）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若不等式在区间上恒成立，求的最小值.【答案】（1）函数的最大
18、值为，函数的最小值为；（2）或；（3）1.【解析】【分析】（1）求，判断在区间上的单调性，即求函数在区间上的最值；（2）函数在上是单调函数，则或在上恒成立，即得实数的取值范围；（3）求出.分，三种情况讨论，求出不等式在区间上恒成立时，实数的取值范围，即求的最小值.【详解】（1）当时，0极小值0单减单增显然，则函数的最大值为，函数的最小值为；（2）当函数在上单调递增时，当且仅当，即恒成立，得；当函数在上单调递减时，当且仅当，即恒成立，得；综上，若函数在上是单调函数，实数的取值范围为或；（3），且，当时，在区间上，得；当时，在区间上，得恒成立；当时，由，故存在，使得成立，同时在区间上，在区间上单调
19、递减，所以在区间上小于零.综上，不等式在区间恒成立时，.的最小值为1.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、单调性和不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，属于较难的题目.23.某地计划在水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能
20、运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：年入流量发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年净利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年维护费与年入流量有如下关系：年入流量一台未运行发电机年维护费500800欲使水电站年净利润最大，应安装发电机多少台？【答案】（1）；（2）应安装发电机2台.【解析】【分析】（1）由题意求出年入流量在3个范围：，的概率.由二项分布可得在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率；（2）记水电站年净利润为（单位：万元）.分别求安装1台发电机、安装2台发电机、安装3台发电机的数学期望，选择最大的方案.【详解】（1）
21、依题意，由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为：.（2）记水电站年净利润为（单位：万元）当安装1台发电机时.由于水库年入流量总大于40，所以1台发电机运行的概率为1.此时的年净利润，；当安装2台发电机时.此时，若，则只有1台发电机运行，此时，因此若，则2台发电机都能运行，此时，因此由此得概率分布列如下：4500100000.20.8所以，.当安装3台发电机时.此时，若，则只有1台发电机运行，此时，因此若，则有2台发电机运行，此时，因此若，则3台发电机同时运行，此时，因此由此得的概率分布列如下：40009200150000.20.70.1所以，综上，欲使水电站年净利润最大，应安装发电机2台.【点睛】本题考查二项分布，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于难题.
