1、山西省长治市第二中学校2020-2021学年高二数学下学期期中试题 文【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1点的直角坐标为，则点的极坐标可以为A B C D2已知变量,具有线性相关关系，测得的一组数据如下：(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为，则的值等于A0.9 B0.8 C0.6 D0.23在极坐标系中，已知两点，则等于A B C D44将参数方程(为参数)化为普通方程为A B C() D()5函数的最小值为A B C D 6直线(为参数)和圆交于两点，则的中点坐
2、标为A B C D 7在参数方程(为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是A B C D8对于上可导的一个函数，若对于任意实数都有，则必有A BC D 9参数方程(为参数)表示的曲线是A线段 B双曲线 C圆 D圆的一部分 10是定义在上的非负可导函数，且满足，对于任意正实数，若，则必有AB C D11直线(为参数)上与点的距离等于的点的坐标是A B C或 D或12已知函数，若对于，成立，则的最大值为A B C1 D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13平面直角坐标系中以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，其中极坐标方程对应的直角坐标方程是 .14已知点在曲线(为参数)上，则的
3、取值范围是 .15过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则 .16已知函数，其中.若对任意实数，都有，则正数的取值范围是 .三、解答题：本大题共70分17(本题满分10分) 网购是现在比较流行的一种购物方式，现随机调查50名个人收入不同的消费者是否喜欢网购，调查结果表明：在喜欢网购的30人中有20人是低收入的人，在不喜欢网购的20人中有10人是低收入的人（1）试根据以上数据完成如下列联表；喜欢网购不喜欢网购总计低收入的人高收入的人总计（2）判断能否有90%的把握认为“是否喜欢网购与个人收入高低有关系”？参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.706
4、3.8415.0246.6357.87910.82818(本题满分12分)在直角坐标系中，圆经过伸缩变换后得到曲线以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程；（2）设点是上一动点，求点到直线的距离的最大值19(本题满分12分)已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的零点个数20(本题满分12分)在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为（1） 求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，且，求直线的倾斜角2
5、1(本题满分12分)某企业为了提升行业核心竞争力，逐渐加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入(百万元)与收益(百万元)的数据统计如下：科技投入24681012收益5.66.512.027.580.0129.2根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：43.54.5298.534.712730.470.0其中，（1）()请根据表中数据，建立关于的回归方程(保留一位小数)；()根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？(其中)（2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相
6、关指数，试比较甲、乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计为，.相关指数22(本题满分12分)已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：存在实数，使得函数在区间上有唯一零点数学答案（文科）一、选择题： 15：BACCD 610：DCBBA 1112：CD二、填空题： 三、解答题： 22列联表如下：喜欢网购不喜欢网购总计低收入的人201030高收入的人101020总计3020505分计算的观测值，故没有90%的把握认为“是否喜欢网购与个人收入高低有关系”.10分由经过伸缩变换可得曲线的方程为，即，由极坐标方程，可得直线的直角坐标
7、方程为6分因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点，由点到直线的距离公式，点到直线的距离为(其中)，由三角函数性质知，当时，点到直线的距离有最大值12分因为，所以，因为，由直线的点斜式可得：曲线在点处的切线方程为4分由知，.当时，则，函数单调递增；当时，则，函数单调递减.所以，结合零点存在定理知在区间上恰好有2个零点.12分因为直线的参数方程为(为参数)，当时，直线的直角坐标方程为当时，直线的直角坐标方程为3分因为，由可得所以曲线的直角坐标方程为6分曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得因为，可设该方程的两个根为，则，9分所以整理得，故因为，所以或，解得或，综上所述，直
8、线的倾斜角为或.12分21. ()，令；令，则，根据最小二乘法公式可知：从而，故回归方程为，也即5分()设，解得，所以科技投入的费用至少要13.2百万元.7分因为，从而即甲建立的回归模型拟合效果更好.12分22. ，令，.若，即，则，在区间上单调递增.若，即，则有两个实根.当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.4分由及可知，若满足题意的实数存在，当且仅当极大值时符合要求，此时即是在区间上的唯一零点,于是问题转化为：方程组有解，满足，且实数存在.由消去整理得到：.设，则，当，单调递减；当，单调递增.在区间上有唯一极小值，结合，以及可知在区间上有唯一零点，即在区间上有唯一零点.从而由知，命题得证.12分
