1、湖南省长沙2023-2024高三上学期第三次月考数学试题A.2 B.3 C.4 D.5 105ai 2巳知复数z=.（i为虚数单位）的实部与虚部之和为4，则在复平12i 面内乏对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3若平面向量a,b满足al=2,lbl=3,la+bl=4，则cosa,b=时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题：本题 共8小题，每小题 5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的l设集合A=xENlx214x15 0且cos 0O)的对称轴与准线交千点A，点B在抛物线C上且在第一象限，在D.ABF中，3sin乙AFB=4sin乙FAB
2、,则直线BF的斜率为A 4-3凡C.1立2D 数学试题 第1页（共8页）8.已知等比数列an 单调递增，且a1,a2,a3 成等差数列，则当al1取最小值时，集合A=an Ian EN勹中的元素之和为A.36B.42C.54D.61二、选择题：本题 共4小题，每小题5分，共20分 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9 抽取S市某届马拉松比赛前5000名的部分跑者成绩绘制如下频数分布表（单位：分钟）：分组I 150,200)I 200,250)I 250,300)I 300,350)I 350,400)I 400,450)频数I20 6
3、0 160 140 80 40 则下列选项正确的是A 估计总体中成绩落在150,400)分钟内的选手人数为4500B 这组数据平均数的估计值为307分钟C 这组数据第62百分位数的估计值为325 分钟D 在由以上数据绘制 的频率分布直方图中，各组长 方形的高度之和为0.02 10 已知曲线C 的方程为 十 义4=1CmbO)的右焦点，0为坐标原点，T为az bz 点椭圆上任意一点，ITFI的最大值为3心TOF面积的最大值为.2(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P是y轴正半轴上的一点，过点F和点P的直线l与椭圆C交于M,N两点 求、|PMl+IPNIIPFI 的取值范围数学试题 第7页（共8页）
4、22.(12分）设函数J(x)=mx勹Cx+Dex，其中mER.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点，设极大值点为a,b为f(x)的零点，求证：ab?:ln 2.数学试题 第8 页（共8 页）高三数学参考答案题号I1 答案IB 2 c3-A4A 5-D6-c7A 三10 BD 11 A BC 12 CD 一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.B【解析】由题设，A=xEN|lx15,B=xl J:;千丁EQ，则AnB=0,3,8，故 AnB中的元素个数为3，选B.2.C【解析】z=10 5ai(10-5ai)(
5、1+2i)12i(12i)(1+2i)=2+2a+(4a)i，其实部和虚部之和 等于(2+2a)+(4a)=6+a=4，解得a=2,从而z=2+6i,乏=26i，故在复平面内 乏对应的点位于 笫三象限，选C.3.A【解析】衵a+bl=4两边平方得a2+2a b廿 16，又 al=2,lbl=3，故 a2=4，b2=9，代入得ab 立 因此cos(a,b=a b allbl 2X3 4，选A4.A【解析】充分性由cos eo可知 穴 2k冗e0sin eo可知 2k亢示02亢2k11:,kEZ,综上，计2k穴庐亨2kTI,kEZ，即0为笫三象限角必要性：若0为第三象限角，则cos e0.所以“c
6、os e0”是“0为笫三象限角”的 充要条件故选：A5.D【解析】将函数y=log2(2x+2)的图象向下平移l个单位长度，得到y=log2(2x+2)l，再向右平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)=log22(x1)2l=log22x1=1+logzxl=logzx,故选D.6.C【解析】对原式两边求导可得：l0(2x1)9 X 2=a1+2a2(xl)+lOa10(x1)9，令x=2，则20X39=a1+2a2+十lOa10，故选C.7.A【解析】过B 作准线的垂线，垂足为H，作x轴的垂线，垂足为E，则由抛物线的定义可得IBFI=IBH，由3sin乙AFB=疗BE4sin乙
7、FAB，在ABF中 由正弦定理可知：ABl=-IBFI=-IBHIIAHI=IBH|，设BF 的倾斜角为a，则sin a=BF AH石职了，tan a=，故选A8.D【解析】由a1,a2,a3 1 成等差数列，得2a2=a1+a3 1，即2a1q=a1+a矿 1，整理得a1=(q 1)2，故也）为正项数列，又因为等比数列an单调递增，说明其公比 ql.于是 a11=立二了设f(q)=-!b(q 1)!iltl f(q)=矿(q1)q5 立包汇五）(q 1)q l(ql)，则/(q)=(q1)2(q1)2，所以当qE(1,1)时，卢q)O,f(q)单调递增，故当q=：时，a 广(q)取最小值 于
8、是可求得a1=16,a2=20,a3=25,a飞N(n多4,nEN*)，所以集合A=an 厄EN*中的元素之和为16+20+25=61,选D.二、选择题：本题共4小题，每小题 5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部 选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.BC D【解析】A项，用样本估计总体，估计总体中成绩落在150,400)分钟内的选手人数为20+60+160+140+80 500 X 5000=4600,数学参考答案 1A 项错误；B 项，平均数的估计值为X(20Xl75+60X225+160X275+140X 325+80X 375+40X425)=307,
9、B 项正确；C 项，500 这组数据中区间 150,300)对应的频率为20+60+160 20+60+160+140=O.48，区间 150,350)对应的频率为500 500=O.76，故这组数据第 62 百分位数落在区间 300,350)中 设笫 62 百分位数为 x，则 x300 0.620.48 350-300 0.76-0.48，解得 x=325,C 项正确；在由以上数据绘制的频率分布直方图中，纵坐标为频率组距，因此各组长方形的高度之和为0.02,D 项正确50 10.BD【解析】对于 A，当 m1，双曲线方程为24 y2=1,b a=2,b=l，渐近线方程为 y 士x 士x，故
10、A 错误；a 2 1,n 对于 B,P 点坐标为(1,n)，则十1,4m 4 4 解得 m=-n2 心 m4且m#-0,:.o-n2 O，则IPFI=，当 m0，而 3q(33)2 43 3 当且仅当 3q=，即 q=log3时等号成立2 2）15.32心l.3+2心【解析】由已知点 P 的轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆 取线段 AB 的中点 M，则PA.PB=PM2 =IPMl2 1，又因为IPMIEICM|1,ICMl+l心PMIE战1，战1,数学参考答案 21 4 AB2）:.PA PBE32点，3+2岛500 亢16.【解析】分别取BC,B,C,的中点0心，则Q)上平面ABC，且
11、外接球球心M在直线001 上，由题意，A0=3,A心4，m=AAl(A心 A0)2=7.设MA=r,MO,=x,若球心在线段001 上，则产 9+(7x)气产 42+x2，得x=3,r=5;若球心不在线段001 上，则户9+C7+x)2，产42+x气无正数解4 六r500 六所以外接球体积为V=四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.【解析】如图，设乙BCO=B，由于0十乙CBO=冗 乙BOC=，且乙ABO十乙CBO=，故乙ABO=B.s?nBO S1:穴,（6分）A二.(2分）于是在Rt,6,.0AB中，OB=ABcos0=2cos 0.在,6,.0BC
12、中，由正弦定理得 2cos 0 2 心即，于是tan0=sine矗2.(4分）而BE(o,f)，故cos乙BCO=cos0=2,_汀（8分）OA=ABsin 0=2X J汀 2m7=7.(10分）其他做法可酌情给分18.【解析】(1)设数列an 的公比为q，则由条件得2(a3+2)=a2+a4,又 a1=2，则2(2矿2)=2q+2矿，则4（矿1)=2q(l矿），因为1+q2 0,解得q=2,故an=2.(3分）对于如，当n=l时，b1=2,1 1 当n2时，由 b1+b2+b3+b n=2n(nEN*)得2 3 b1产长十二产 I=2(n 1)，所以仇 2(n2),可得bn=2n，且b1=2
13、也适合，故仇2n(nEN*),所以an=2,仇 2n.(6分）(2)因en=（1)n(an仇），由(1)得S2n=c1+c2+C2n=a1+b1+a厂伈+a2nb2n=（a1+a2+a2n)+(b1b2+妇）21(2)2n J 1(2)+nx(2)2=(1 22n)2n3 1=x22n+1-2n 2.（12分）3 3 1队【解析】(1)如图，设点D是AB的中点，连接CD,B1D.Ci 若选少：由于L.ABC是等边三角形，故AB_l_CD.由 乙A1B心为直角，故A1B1_l_B1 C；又 AB/A1B!，故AB_l_B1C.于是AB_l_平面B1CD,所以AB_l_B1 D.(2分）因为BB1
14、=l,BD=，所以B1D=了二（：了q.A 屈屈又 B1 C=Y-;f,CD=，因此B1 C2=B1 U+C厅，故乙B1DC=90,即B1 D_l_CD.(4分）2 2 又凡D_l_AB，故B1D_l_平面ABC，而B1D亡平面ABB1 Ai，所以平面ABC_l_平面ABB1Ai.（5分）若选叩：由于ABC是等边三角形，故AB_l_CD.数学参考答案3又平面ABC上平面ABB1A1,CD亡平面ABC，平面ABcn平面ABB1A1=AB，故CD_l_平面ABB1A1.(2分）而B心亡平面ABB心，故CD_l_B心，即L_B1DC=90，所以B1D=压6二m=勹）2（享）二享 1 又BB1=l,B
15、D=，故BB1=B1厅BD2,所以乙BDB1=90,即AB_l_B1D.(4分）2 结合AB_l_CD，可 得AB_l_平面B1CD，因此AB_l_B1C.又AB/IA 凡，故A1B1l_B1C,即乙A1凡C为直角（5分）若选：由于6,.ABC是等边三角形，故AB_l_CD.由 乙A1B1C为直角，故A1B1l_B1C；又ABII A1凡，故AB_l_B1C.于是AB_l_平面B1CD,所以AB_l_B1D.(2分）又因为平面ABC上平面ABB1A1,B1D亡平面ABB1A1，平面ABC门平面ABB1A1=AB，所以B1Dl_平面ABC.又CD亡平面ABC,所以B1Dl_CD,即乙凡DC=90
16、.(4分）因为BB1=l,BD=，所以B1D=二（：勹又CD=:，故B1C=订汇百了飞门）二(2/(2)以D为坐标原点建立如图空间直角 坐标系.(5分）于是A(o,o),B(o,尸），e（享0,0),B1(0,0，享）点P是棱BB 1 上一点，可设可入国（1飞）茄（o，1(1 入），岛订，o DP=（点1屈22(1 入），2入）.(7分）气）豆（，o），忒 画（o,1)设 m是平面ACC 1A1的法向量 AC m=O,可取m=(l，点，1).(9分）AA1 m=O,I mCP 由此得cos(m,CP=沪ml ICPI 勹 门）石Jt勹(矿扣2战.(11分）易 盓入2.1 可见当入 时，cos(
17、m,CP1 取最大值，此时 直线CP与平面ACC 1A1 所成的角最大，故点P是棱BB 1 上靠近B的四等分 点4.(12分）2队【解析】(1)填写列联表如下：植株存活植株死亡合计吸收足量12 吸收不足量1 合计13 34 715 520.(1分）x 2 零假设为Ho:“植株的存活”与“制剂吸收足量“无关联根据列联表中的数据，经计算得到：20X(12X4 3X1)2 13X7X15X5 5.934k)=0.1.P(X=k+l)又P(X=k+lI Xk)=，故P(X=k+l)=O.lP(Xk).P(Xk)把k换成K l，则P(X=k)=O.lP(Xk 1).(3分）P(X=k+l)两式相减，得P
18、(X=k)P(X=k+l)=O.IP(X=k)，即0.9(k2)又P(X=2)=0.1P(Xl)=0.1X(l P(X=k)P(X=l)=O.9P(X=l)，故=0.9对任意kEN 都成立，从而P(X=k)是首项为o.1，公比为o.9的 等比数列，因此P(X=k)=O.lXO.gk-l_.(8分）数学参考答案 4由定义可知E(X)=P(X=l)+2P(X=2)+3P(X=3)+kP(X=k)，k k k 而I;iP(X=i)=O.lI:iXO.gH，下面先求I:iXO.gH.k 1=1 i=1 i=1 I:iXO.gH=lXO.9+zxo.91+（K1)XO.gk-2+kXO.gk-l,t=1
19、 k o.9I:ixo.9H=IXo.91+zxo.92+(k 1)XO.9k-l+kXO.9k,1=1 作差得o.II:iXO.9H=I+o.91+o.92+Q.9k-l kXO.9k t=l lX(l 0.9k)1 0.9kX0.9k=lO(k+lO)XO.gk_所以I;iP(X=i)=O.lI:iXO.g,-i=10kXO.gk10X0.9k,当K足够大时，kXO.gko,1oxo.gko，故I:iP(X=i)lO，可认为 E(X)=lO.(12分）a+c=3,a=Z,21【解析】(1)由题意有；bc=：，解得b=战，az=b2+c2c=l,2 2 X 所以椭圆的方程为十义 1.(5分）
20、4 3(2)由题意可知直线l斜率k存在且kO恒成立，设M(x1 心1),N(xz,y2),8 k2 4k212则X1+x2=,X1X2=3+4妒 3+4k2过点M,N分别作y轴的垂线，垂足分别为M,N，设原点为0,则IPM l+IPN围Ml+INN=lx1l+lx2I,.(7分）心当点P 在椭圆外时，k欢仁所以K3，所以4-;,+45，所以 X1I+I X2 I E(2);k2 当点P 在椭圆内时，o k战，所以矗kO,则IXt I+I X2 I=I X1 m=m+x2)2 4x心2=(8k2)24(4K212)12汇3+4妒3+4K2=3+4K2,设/忙于丁 t，则k2=t2l，且1t2,1
21、2t 12 所以lx1l+lx2I=4广 11 4t 1 因为函数y=4t 在(1,2)上单调递增，所以4t 1 E(3,15 t t 2)所以IXt I+I X2 I E(t,4),当点P是椭圆的上顶点时，k 点，则k=点，此时 lx1l+lxz l=x1+x2=立3+4妒5|PM|PN 8 综上，的取值范围为 t,4).(12分）|PF|5 22.【解析】(1)由/(x)=2mx+X X=(2mex 1).X.1 e e 叩m,.,;o时，由2me lO，令 f(x)=O，解得x=O,所以xO,J(x)在(oo,0)单调递增；(1分）xO时，f(x)O时，由f（x)于（产卢），(i)m=时
22、，因为x(e l)O,则/(x)彦O,f(x)在(oo,十oo)单调递增；（3分）数学参考答案 51 Cii)mE(0,1）时，/(x)=O，解得x=O或 x=ln tr;_O,2 m 所以 xE(oo,0)LJ(ln 1 2 m+OO)时，心O,f(x)在(oo,0),(ln 1 2 m+OO)单调递增；xE(O,ln 1 2m)时，/(x)O,f(x)单调递减；（4分）1 Ciii)mE(1，十OO)时，由x=ln tr;_O,f(x)在（1 2 m oo,lntr;_),(0，十oo)单调递增，xE(ln 1 2 m,o)时，/(x)O(l)=lln 2;.(8分）若 mE(1,叶，则a=ln心故宁呻o,.m=;+e，即 1=b十1ea 卢，化简三m=21ea,2 ea b飞故2 ea-b几（b 十1)（b丘 2-2(b 1)(b 一-2=-4(b+l2,-b-1 故 ab泗ln 2,当且仅当b=2，时取等号，综上，a眕ln 2 恒成立.(12 分）m=4数学参考答案 6
