1、8.2 三角恒等变换8.2.1 两角和与差的余弦 基础预习初探1.回顾三角函数的诱导公式:(1)cos =cos -cos 能否成立?(2)cos(-)=_,cos cos+sin sin=_cos(-)=cos cos+sin sin 成立吗?-cos-cos 提示:(1)不成立.因为cos =sin,cos -cos=-cos.(2)因为cos(-)=-cos,cos cos+sin sin=-cos.所以cos(-)=cos cos+sin sin 成立.2.我们知道,若=、=,则cos()=cos cos,那么等式cos(45-30)=cos 45-cos 30是不是成立呢?提示:显然
2、cos 150,而cos 45-cos 30=0,所以cos 15不等于cos 45-cos 30.3.两角差的余弦公式的另一推导过程:如图,单位圆与x轴正半轴交于点A(1,0),以x轴非负半轴为始边,角、的终边分别与单位圆交于点_,_,_.易得_=A1P1,所以=两边平方,整理得cos(-)=cos cos+sin sin.P1(cos,sin)A1(cos,sin)P(cos(-),sin(-)AP【概念生成】1.两角差的余弦公式cos(-)=_.2.两角和的余弦公式cos(+)=_.cos cos+sin sin cos cos-sin sin 核心互动探究探究点一 利用两角和或差的余弦
3、公式证明或化简【典例1】(1)化简:cos(-)cos-sin(-)sin=.(2)证明:cos =-sin;【思维导引】(1)利用两角和的余弦公式化简.(2)利用两角差的余弦公式证明.【解析】(1)逆用两角和的余弦公式,得cos(-)cos-sin(-)sin=cos(-)+=cos.答案:cos(2)cos =cos cos +sin sin =0cos+(-1)sin=-sin.【类题通法】证明三角恒等式的三个方向1.从左向右证明:如果三角恒等式的左边结构复杂,可以从左向右证明.2.从右向左证明:如果三角恒等式的右边结构复杂,可以从右向左证明.3.两边向中间证明:如果三角恒等式的左边右边
4、结构复杂,联系不明显,可以从两边向中间证明,即确定中间量,通过等量代换完成证明.提醒:注意三角恒等式的两个应用方向:正用和逆用.【定向训练】1.证明:cos =sin.【解析】cos =cos cos +sin sin =sin.2.化简:cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-).【解析】逆用两角差的余弦公式,得cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=cos(+)-(-)=cos 2.探究点二 利用两角和、差的余弦公式求值【典例2】(1)计算:cos(x+105)cos x+sin(x+105)sin x.(2)求值:s
5、in 7cos 23+sin 83cos 67=.【思维导引】(1)先利用两角差的余弦公式化简,再利用两角和的余弦公式求值.(2)先变换三角函数的名称,再逆用两角差的余弦公式求值.【解析】(1)原式=cos(x+105-x)=cos 105=cos(60+45)=cos60cos 45-sin 60sin 45=(2)原式=cos 83cos 23+sin 83sin 23=cos(83-23)=cos 60=.答案:【类题通法】两角和(或差)的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之和(或差)的余弦值,利用余弦公式直接展开求解;逆用公式时先利用诱导公式化成公式右边和(或差)的形式再运用公式.(
6、2)含有常数的式子,先将常数转化为特殊角的三角函数值,再利用两角和(或差)的余弦公式求解.(3)求非特殊角的三角函数值,尝试把非特殊角转化为两个特殊角的和(或差),然后利用余弦公式求解.【定向训练】已知sin(30+)=,60150,则cos 为()【解析】选D.因为60150,所以9030+180,所以cos(30+)=-,因为cos=cos(30+)-30,所以cos=【补偿训练】计算:【解析】探究点三 利用两角和、差的余弦公式求角【典例3】(1)已知,均为锐角,且cos=,cos=,则-=.(2)已知cos=,cos(-)=,且0 ,求的值.【思维导引】(1)由函数y=cos x,x 是
7、减函数知cos,所以0 ,所以-0.故-=-.答案:-(2)由cos=,0 ,得sin=由0 ,得0-.又因为cos(-)=,所以sin(-)=由=-(-)得cos=cos-(-)=cos cos(-)+sin sin(-)=【类题通法】解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值.(2)确定角的范围.(3)根据角的范围写出所求的特殊角.【定向训练】已知向量a=(sin,-2)与b=(1,cos)互相垂直,其中 .(1)求sin 和cos 的值.(2)若5cos(-)=3 cos,0 ,求的值.【解析】(1)因为ab,所以ab=sin-2cos=0,即sin=2cos.又因为sin 2
8、+cos2=1,所以4cos2+cos2=1,即cos2=,所以sin 2=,又 ,所以sin=,cos=.(2)因为5cos(-)=5(cos cos+sin sin)=cos+2 sin=3 cos,所以cos=sin,得tan=1,因为0 ,所以=.【课堂小结】课堂素养达标1.计算等于()【解析】选A.由两角差的余弦公式,得2.计算cos 2 020cos 2 065+sin 2 020sin 2 065=()【解析】选C.由两角差的余弦公式,得cos 2 020cos 2 065+sin 2 020sin 2 065=cos(2 020-2 065)=cos(-45)=.3.cos(-35)cos(+25)+sin(-35)sin(+25)=.【解析】原式=cos(-35)-(+25)=cos(-35-25)=cos(-60)=cos 60=.答案:4.已知cos=,则cos()=.【解析】因为cos=,答案:
