1、6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示基础预习初探1.平面向量的数乘运算(1)设i,j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量a(R)如何用基底i,j表示?提示:a=(x1i+y1j)=x1i+y1j.(2)向量的线性运算顺序是否和实数的运算顺序类似?提示:类似.先算数乘,再算加减,有括号的先算括号里的.2.向量共线的坐标表示已知下列几组向量:a=(0,3),b=(0,6).a=(2,3),b=(4,6).a=(-1,4),b=(3,-12).a=(),b=().回答下列问题:(1)
2、上面几组向量中,a,b有什么关系?提示:中b=2a,中b=-3a,中b=-a.(2)以上几组向量中,a,b共线吗?a,b的坐标满足什么条件?提示:共线,向量a,b的横纵坐标成比例.(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量共线定理如何用a,b的坐标表示呢?提示:由于a=b,故(x1,y1)=(x2,y2),即当x2,y20时,=,即x1y2-x2y1=0.【概念生成】1.平面向量的数乘运算的坐标表示:数学公式文字语言表述向量数乘a=_实数与向量的积的坐标等于用这个实数_原来向量的相应坐标(x1,y1)乘2.向量共线的坐标表示:a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当_时,向
3、量a,b(b0)共线.有关结论:(1)向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一实数,使_.(2)若A,B,C三点共线,则向量与_,即存在唯一实数,使_.(3)若a=(x,y),R,则a=_.(4)若a=b,则a与b的坐标_.b=a共线=x1y2-x2y1=0(x,y)相同核心互动探究探究点一 向量共线的判定及解决点共线问题【典例1】(1)已知A,B,C三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为()A.-13B.9C.-9D.13(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗?直线AB平行于直线CD吗?【思维导引】【解析】(
4、1)选C.设C(6,y),因为 ,又=(-8,8),=(3,y+6),所以-8(y+6)-38=0,所以y=-9.(2)因为=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2).又22-41=0,所以 .又=(2,6),=(2,4),所以24-260,所以A,B,C不共线,所以AB与CD不重合,所以ABCD.【类题通法】向量共线的判定方法提醒:向量共线的坐标表达式极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,因此要理解并记熟这一公式,可简记为:纵横交错积相减.【定向训练】1.下列向量中,与向量a=(-5,4)平行的是()A.(-5k,4k)B
5、.C.(-10,2)D.(5k,4k)【解析】选A.因为ka与a共线,故本题可通过观察直接选A项.2.已知a0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=_.【解析】因为=(1,a2+a),=(2,a3+a),又A,B,C三点共线,所以 ,所以1(a3+a)-2(a2+a)=0,即a2-2a-1=0.又a0,所以a=1+.答案:1+3.已知A(1,-3),B ,C(9,1).求证:A,B,C三点共线.【解析】,=(9-1,1+3)=(8,4),因为74-8=0,所以 ,且,有公共点A,所以A,B,C三点共线.【补偿训练】已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,
6、-1),(1,2),并且求证:.【证明】设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意知=(2,2),=(-2,3),=(4,-1),因为,所以(x1+1,y1)=(2,2).所以点E的坐标为.同理,F的坐标为,所以.又(-1)-4 =0,所以 .探究点二 根据向量共线求参数【典例2】已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?【思维导引】方法一:可利用b与非零向量a共线等价于b=a(0,b与a同向;0,b与a反向)求解;方法二:可先利用坐标形式的等价条件求k,再利用b=a判定同向还是反向.【解析】方法一:(共线向量定理法)
7、ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数,使ka+b=(a-3b).由(k-3,2k+2)=(10,-4),所以解得k=-.当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-a+b=-(a-3b),因为=-0,所以ka+b与a-3b反向.方法二:(坐标法)由题知ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4),因为ka+b与a-3b平行,所以(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-.这时ka+b=-(a-3b),所以当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向
8、.【类题通法】利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)利用共线向量定理a=b(b0)列方程组求解.(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.【定向训练】1.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与3a-b平行,则实数x的值是()A.2B.1C.3D.4【解析】选A.因为a=(1,1),b=(2,x),所以a+b=(3,x+1),3a-b=(1,3-x),因为a+b与3a-b平行,所以3(3-x)-(x+1)=0,解得x=2.2.已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5,1),若(a+kb)c,则实数k的值为()A.-B.C.2D.【解析】选B.因
9、为a=(2,-1),b=(1,1),所以a+kb=(2+k,-1+k),又c=(-5,1),由(a+kb)c得(2+k)1=-5(k-1),解得k=.3.已知a=(1,1),b=(x2,x+)且ab,则实数的最小值是_.【解析】因为ab,所以x2-x-=0,即=x2-x=-,所以的最小值为-.答案:-【补偿训练】已知a=(1,0),b=(2,1).(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线.(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.【解析】(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2b共线
10、,所以2(k-2)-(-1)5=0,即2k-4+5=0,得k=-.(2)方法一:因为A,B,C三点共线,所以,即2a+3b=(a+mb),所以解得m=.方法二:=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m),因为A,B,C三点共线,所以 ,所以8m-3(2m+1)=0,即2m-3=0,所以m=.探究点三 向量共线的综合应用【典例3】已知点A(3,-4)与点B(-1,2),点P在直线AB上,且,求点P的坐标.【思维导引】点P在直线AB上,包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上,因此应分类讨论.【解析】设P点坐标为(x,y),当P在
11、线段AB上时,所以(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y),所以解得所以P点坐标为.当P在线段AB延长线上时,所以(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y),所以解得所以P点坐标为(-5,8).综上所述,点P的坐标为或(-5,8).【延伸探究】1.若将本例条件“”改为“”,其他条件不变,求点P的坐标.【解析】因为,所以(x-3,y+4)=3(-1-x,2-y),所以解得所以点P的坐标为.2.若将本例条件改为“经过点P(-2,3)的直线分别交x轴,y轴于点A,B,且”,求点A,B的坐标.【解析】由题设知,A,B,P三点共线,且,设A(x,0),B(0,y),点P在A,B之间,则有,所以(-x
12、,y)=3(-2-x,3),解得x=-3,y=9,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9).点P不在A,B之间,则有,同理,可求得点A,B的坐标分别为,(0,-9).综上,点A,B的坐标分别为(-3,0),(0,9)或,(0,-9).【类题通法】在求有向线段分点坐标时,不必过分强调公式记忆,可以转化为向量问题后解方程组求解,同时应注意分类讨论.【补偿训练】如图,已知A(4,5),B(1,2),C(12,1),D(11,6),求AC与BD的交点P的坐标.【解析】设=(11-1,6-2)=(10,4).易得=(-11,1),所以=(10-11,4+1).又=(-8,4),而与共线,所以4(10
13、-11)+8(4+1)=0,解得=.设点P的坐标为(xP,yP),所以=(5,2)=(xP-1,yP-2),所以即故点P的坐标为(6,4).【定向训练】1.已知两点M(7,8),N(1,-6),点P是线段MN的靠近点M的三等分点,则点P的坐标为_.【解析】设P(x,y),如图,所以,所以(-6,-14)=3(x-7,y-8),所以解得故P点坐标为.答案:2.如图所示,已知AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),AD与BC相交于点M,求点M的坐标.【解析】因为所以C .因为,所以D 设M(x,y),则=(x,y-5),因为 ,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.又因为 ,
14、所以=0,即7x-16y=-20.联立解得x=,y=2,故点M的坐标为.【课堂小结】课堂素养达标1.若向量a=(,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是()A.(,-1)B.(-1,-)C.(-,-1)D.(-1,)【解析】选D.因为a+2b=(,-3)=-(-1,),所以向量a+2b与(-1,)是共线向量.2.已知向量a=(cos,-2),b=(sin,1),且ab,则2sin cos 等于()A.3B.-3C.-D.【解析】选C.因为ab,所以cos 1-(-2)sin=0,即cos=-2sin,tan=-,所以2sin cos=3.(2020本溪高一检测)已知a=,B(1,
15、0),b=(3,4),c=(-1,1),且a=3b-2c,则点A的坐标为()A.(12,10)B.(12,-10)C.(-10,10)D.(-10,-10)【解析】选D.a=3b-2c=3(3,4)-2(-1,1)=(11,10),即=(11,10),由B(1,0)可得出=(1,0)+(-11,-10)=(-10,-10).4.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且ab,则2a+3b等于_.【解析】因为ab,所以1m-(-2)2=0,所以m=-4,所以a=(1,2),b=(-2,-4),所以2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).答案:(-4,-8)5.设O是坐标原点,=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线?【解析】因为=(4-k,-7),=(10-k,k-12),又A,B,C三点共线,所以由两向量平行的充要条件,得(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,解得k=-2或k=11.即当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.
