1、第四节数系的扩充与复数的引入课标要求考情分析1.理解复数的基本概念2理解复数相等的充要条件3了解复数的代数表示法及其几何意义4会进行复数代数形式的四则运算5了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.1.本节是高考考查的重点内容，主要考查复数的基本概念、复数的几何意义、复数代数形式的四则运算等方面的内容2命题形式多样化，以选择、填空题为主，多为运算题型，属容易题、送分题.知识点一复数的概念1复数的概念形如abi(a，bR)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数2复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR)3共
2、轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR)4复数的模向量的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|.知识点二复数的几何意义1复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)2复数zabi(a，bR) 平面向量.知识点三复数的运算1复数的加、减、乘、除运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；(4)除法：i(cdi0)2复数加法的运算定律复数的加
3、法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)注意以下结论：(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)；i4ni4n1i4n2i4n30(nN*)(2)z|z|2|2，|z1z2|z1|z2|，|zn|z|n.(3)复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量，不共线，则复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线所对应的复数(4)复数减法的几何意义：复数z1z2是所对应的复数1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)方程x2x10没有解()(2)复数z32i中，虚部为2i.()(3)复数中有相等复数的概
4、念，因此复数可以比较大小()(4)若aC，则|a|2a2.()解析：(1)方程x2x10有复数解(2)复数z32i中，虚部为2.(3)虚数不能比较大小(4)若aC，则|a|2是实数，但a2未必是实数，所以|a|2与a2不一定相等2小题热身(1)(2019全国卷)设z32i，则在复平面内对应的点位于(C)A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)(D)Ai BiCi Di(3)若复数z1为纯虚数，则实数a(A)A2 B1C1 D2(4)i为虚数单位，若复数(1mi)(i2)是纯虚数，则实数m等于2.(5)设复数z12i，z2a2i(i是虚数单位，aR)，若z1z2R，则a4.解析：(1)
5、由题意，得32i，其在复平面内对应的点为(3，2)，位于第三象限，故选C.(2)i.(3)因为复数z111i为纯虚数，所以10，且0，解得a2.故选A.(4)因为(1mi)(i2)2m(12m)i是纯虚数，所以2m0，且12m0，解得m2.(5)依题意，复数z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i是实数，因此4a0，a4.考点一复数的概念【例1】(1)已知i为虚数单位，若复数zi，则复数的虚部为()Ai BC.i D.(2)设aR，复数z(i是虚数单位)的实部为2，则复数z的虚部为()A7 B7C1 D1(3)若复数为纯虚数，则实数b等于()A3 BC. D1【解析】(1)i，所以的虚部
6、为.故选B.(2)z，则2，则a7，所以复数z的虚部为1，故选C.(3)因为为纯虚数，所以解得b，故选B.【答案】(1)B(2)C(3)B方法技巧解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件的问题，只需把复数化为abi(a，bR)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部.1已知aR，复数z为纯虚数(i为虚数单位)，则a(B)A B1C1 D.解析：zi.由题意，得0且0，解得a1.2若复数z满足iz(1i)，则z的共轭复数的虚部是(C)Ai B.i
7、C D.解析：由题意，得zi，所以z的共轭复数的虚部是，故选C.考点二复数的几何意义【例2】(1)在复平面内，复数对应的点在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限(2)(2019全国卷)设复数z满足|zi|1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21【解析】(1)由题意得i，该复数在复平面内所对应的点位于第二象限故选B.(2)解法1：z在复平面内对应的点为(x，y)，zxyi(x，yR)|zi|1，|x(y1)i|1，x2(y1)21.故选C.解法2：|zi|1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,
8、1)的距离为1，x2(y1)21.故选C.解法3：在复平面内，点(1,1)所对应的复数z1i满足|zi|1，但点(1,1)不在选项A，D的圆上，排除A，D；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z2i满足|zi|1，但点(0,2)不在选项B的圆上，排除B.故选C.【答案】(1)B(2)C方法技巧(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b).(2)复数的几何意义：复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量的坐标，对于复数zabi(a，bR)，其在复平面内对应的点的坐标是(a，b).复数的模即为其对应向量的模.1已知复数z满足(1i)2z12i，则复数在复平面内对应的点
9、为(A)A. B.C. D.解析：复数z满足(1i)2z12i，则z1i，所以1i，即复数在复平面内对应的点为，故选A.2复数(aR)在复平面内对应的点在第一象限，则a的取值范围为(A)Aa0 B0a1 Da0，0，由此可得a的取值范围为a0，故选A.考点三复数的运算【例3】(1)(2019全国卷)若z(1i)2i，则z()A1i B1iC1i D1i(2)已知abi(a，bR，i是虚数单位)，则|abi|()A1 B.C. D.【解析】(1)z1i.(2)由题得i(1i)(abi)(ab)(ab)i，则解得所以，故选D.【答案】(1)D(2)D方法技巧(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.(2)记住以下结论，可提高运算速度：1已知i为虚数单位，则复数(C)A2i B2iC12i D12i解析：复数12i.故选C.2.61i.解析：原式6i61i.3.4i.解析：i(1i)4i(1i)22i(2i)24i.
