1、考点45 立体几何中的向量方法1如图，在直三棱柱中，平面平面，且.（1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小.【答案】（1）见解析； （2）. 5分又，从而侧面，又侧面，故6分（2） 2如图，l，二面角l的大小为，A，B，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1.已知AB2，AA11，BB1.(1)若120，求直线AB与平面所成角的正弦值；(2)若90，求二面角A1ABB1的余弦值【答案】（1）；（2）。【解析】(1)如图， 过点A作平面的垂线交于点G，连接GB、GA1，因为AG， 所以ABG是AB与所成的角RtGA1A中， GA1A60，AA11, 则A1(0，0
2、，0)，A(0，0，1)，B1(0，1，0)，B(，1，0) 3如图，四棱锥的底面为平行四边形， ， （1）求证： ；（2）若， ， ，求平面与平面所成角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）设平面的法向量，由，得，故所求的二面角的余弦值为4如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，点E为AD的中点，平面ABCD，且求证：；线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析. 二面角的余弦值是，由，解得，线段PC上存在一点F，当点F满足时，二面角的余弦值是5如图，在四棱锥中，底面是平形四边形，平面，点，分别为,的中点
3、，且，.（1）证明：平面；（2）设直线与平面所成角为，当在内变化时，求二面角的平面角余弦值的取值范围.【答案】（1）见解析（2）四边形 ， 6如图长方体的，底面的周长为4，为的中点.（）判断两直线与的位置关系，不需要说明理由；（）当长方体体积最大时，求二面角的大小；（）若点满足，试求出实数的值，使得平面. 由，得，7如图，在四棱锥中，平分，平面，点在上，.（1）求证：平面；（2）若，,求二面角的余弦值.【答案】(1)见解析.（2）. 8如图，在四棱锥中，底面，点为棱的中点。（1）证明：；（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值。【答案】(1)证明见解析.(2) . 9如图所示，三棱锥中，平面
4、平面，是边长为的正三角形，是顶角的等腰三角形，点为的上的一动点.（1）当时，求证： ；（2）当直线与平面所成角为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.从而， 于是， 10如图，在多面体中，已知四边形为平行四边形，平面平面，为的中点，.()求证：平面；()求二面角的余弦值【答案】(1)证明见解析.(2) .【解析】分析：（1）通过面面垂直的性质定理得出线面垂直；（2）以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，写出每个点的坐标，分别求出平面DBM,BME的一个法向量，由向量夹角公式，求出二面角的平面角的余弦值即可。详解： ()在中，由勾股定理的逆定理
5、，得二面角为锐二面角，故其余弦值为.11如图，在梯形中，四边形为矩形，平面，点是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2). 12如图，四棱锥中，底面为菱形，点为的中点.（1）证明：；（2）若点为线段的中点，平面平面，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）. 13如图，在斜三棱柱中，已知，且.（）求证：平面平面； （）若，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）余弦值为. 14如图，已知直三棱柱中,（1）求的长（2）若，求二面角的余弦值【答案】(1) .(2) . 15已知等腰直角分别为的中点，将沿折到的位置,取线段的中
6、点为.(I)求证:/平面;()求二面角的余弦值【答案】(1)见解析.（2）.【解析】 (1)证明：取中点，连接又四边形为平行四边形 16如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，且，.（1）求二面角的大小；（2）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】所以，所以,解得,所以存在点,且. 17如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，为的中点.（1）求证：平面平面；（2），在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为.请说明理由. 18如图，三棱柱中，已知四边形是菱形，与交于点，且，.（1）连接，证明：直线平面.（2）求平面和平面所成的角（锐角）的
7、余弦值.【答案】(1)见解析(2) 所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 19如图，四边形与均为菱形，且.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析.(2) . 20如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，且.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角
8、的余弦值.【答案】(1)证明见解析.(2). 21如图，四棱锥中，底面为梯形，.是的中点，底面，在平面上的正投影为点，延长交于点.(1)求证：为中点；(2)若，在棱上确定一点，使得平面，并求出与面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）以为原 22如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值【答案】（1）（2） 23（2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120，A1A=4，C1C=1，AB
9、=BC=B1B=2（）证明：AB1平面A1B1C1；（）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值【答案】（）见解析；（）.【解析】分析:方法一：（）通过计算，根据勾股定理得,再根据线面垂直的判定定理得结论，（）找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出, 所以是与平面所成的角.由得，所以，故.因此，直线与平面所成的角的正弦值是. 24如图，在三棱柱ABC中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，的中点，AB=BC=，AC=2（1）求证：AC平面BEF；（2）求二面角BCDC1的余弦值；（3）证明：直线FG与平面BCD相交【答案】(1)见解析（2）；（3）见解析 25如图,在三棱柱中,四边形是矩形, ,平面平面.(1)证明: ；(2)若, ，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).
