1、第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第四节 数系的扩充与复数的引入基础回扣自主学习热点命题深度剖析特色专题感悟提高高考明方向1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义2.掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数形式的加法、减法、乘法、除法运算3.了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想.备考知考情对于复数的考查越来越简单，一般只有一个选择题，以代数形式运算为主，另外还有时考查复数的有关概念，代数形式的运算技巧，复数的几何意义，复数模的最值，复数平面内点的轨迹等.理教材 夯基础 厚积薄发J 基础回扣自主学习知 识 梳 理知识点一复数的有关概念(1)复数的概念：形如abi(a，bR)的数
2、叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部若，则abi为实数，若，则abi为虚数，若，则abi为纯虚数b0b0a0且b0(2)复数相等：abicdi (a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi与cdi共轭 (a，b，c，dR)(4)复数的模：向量 OZ 的模r叫做复数zabi的模，即|z|abi|.ac，bdac，bda2b2知识点二复数的几何意义复数zabi与复平面内的点及平面向量OZ(a，b)(a，bR)是一一对应关系.Z(a，b)知识点三复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行如图给出的平行四边形OZ1
3、ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ，Z1Z2.OZ1 OZ2OZ2 OZ1对点自测知识点一复数的有关概念1.判一判(1)方程 x2x10 没有解()(2)2i 比 i 大()(3)复数 1i 的实部是 1，虚部是i.()答案(1)(2)(3)2设a是实数，且 a1i1i2 是实数，则a_.解析 a1i1i2 aai21i2a11ai2为实数，故1a0，即a1.答案 1知识点二复数的几何意义3.(2014重庆卷)复平面内表示复数i(12i)的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解析 因为i(12i)i2，其在复平面内对应的点为(2,1)，位于第一象限故选A.答案 A
4、4(2014新课标全国卷)设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2()A5 B5C4i D4i解析 由题意知：z22i.又z12i，所以z1z2(2i)(2i)i245.故选A.答案 A知识点三复数的运算5.(2014新课标全国卷)13i1i()A12i B12iC12i D12i解析 13i1i 13i1i1i1i 24i212i，故选B.答案 B6(2015山东聊城模拟)已知复数z3i1 3i2，z 是z的共轭复数，则z z _.解析 z3i1 3i23i22 3i3i21 3i 3i1 3i21 3i1 3i2 32i8 34 14i，z z 34 14i 3
5、4 14i 316 11614.答案 14研考点 知规律 通法悟道R 热点命题深度剖析问 题 探 究问题1 复数abi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0吗？不是，a0是abi(a，bR)为纯虚数的必要条件，只有当a0，且b0时，abi才为纯虚数问题2 z1，z2是复数，z1z20，那么z1z2，这个命题是真命题吗？假命题例如：z11i，z22i，z1z230，但z1z2无意义，因为虚数无大小概念问题3 复数运算的解题策略是什么？(1)设zabi(a，bR)，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法(2)在复数代数形式的四种运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法
6、则需分母实数化问题4|zz0|的几何意义是什么？|zz0|表示z与z0对应的点间的距离，特别|z|表示z对应点与原点的距离高 频 考 点考点一复数的有关概念【例1】(1)(2014浙江卷)已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)设i是虚数单位，若复数a 103i(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B1C1 D3听课记录(1)当ab1时，(abi)2(1i)22i，反之，(abi)2a2b22abi2i，则a2b20,2ab2，解得a1，b1或a1，b1.故“ab1”是“(abi)22i”的充
7、分不必要条件，应选A.(2)复数a 103ia 103i3i3i(a3)i为纯虚数，则a30，即a3.答案(1)A(2)D【规律方法】(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部变式思考 1(1)(2014湖北八校联考)设xR，则“x1”是“复数z(x21)(x1)i为纯虚数”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件(2)(2014安徽“江南十校”联考)若abi512i(i是虚数单位，a
8、，bR)，则ab()A2 B1C1 D2解析(1)由纯虚数的定义知：x210，x10，x1，选C.(2)abi512i12i，a1，b2，ab2.答案(1)C(2)A考点二复数的几何意义【例2】(1)在复平面内，复数z 2i1i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)复数z1a2i，z22i，如果|z1|z2|，那么实数a的取值范围是()A1a1Ca0 Da1听 课 记 录(1)z 2i1i2i1i1i1i1i，z 1i，z 对应的点为(1，1)位于第四象限，选D.(2)|z1|a24，|z2|5，|z1|z2|，a24 5，a21，1a1.答案
9、(1)D(2)A【规律方法】解决此类问题，一方面要了解复数的几何意义(如复数的向量表示，复数表示的点在复平面内的位置)，了解复数加、减运算的几何意义，另一方面要准确地进行复数代数形式的四则运算变式思考 2(1)在复平面内，复数65i、23i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A48i B82iC24i D4i(2)已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别为A，B，C.O为坐标原点，若OC xOA yOB，则xy的值是_解析(1)由题意得A(6,5)，B(2,3)，所以AB中点C的坐标为(2,4)，所以点C对应的复数为24i.(2)由已知得A(1
10、,2)，B(1，1)，C(3，2)OC xOA yOB.(3，2)x(1,2)y(1，1)(xy,2xy)，xy3，2xy2，解得x1，y4，故xy5.答案(1)C(2)5考点三复数的运算【例3】(1)(2014新课标全国卷)1i31i2()A1i B1iC1i D1i(2)(2014辽宁卷)设复数z满足(z2i)(2i)5，则z()A23i B23iC32i D32i(3)(2014江西卷)z 是z的共轭复数，若z z 2，(z z)i2(i为虚数单位)，则z()A1i B1iC1i D1i听 课 记 录(1)1i31i21i21i1i22i1i2i 1i.(2)(z2i)(2i)5，z2i
11、52i，z2i52i 2i52i2i2i2i2i23i.故选A.(3)设zabi(aR，bR)，则 z abi.由z z 2，得2a2，即a1.又由(z z)i2，得2bii2，即b1.故z1i.答案(1)D(2)A(3)D【规律方法】(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式(3)利用复数相等求参数：abicdiac，bd(a，b，c，dR)变式思考 3(1)(2014天津卷)i是虚数单位，复数7i34i()A1i B
12、1iC.17253125i D177 257 i(2)(2014新课标全国卷)设z 11ii，则|z|()A.12B.22C.32D2(3)若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 B45C4 D.45解析(1)7i34i 7i34i34i34i2525i251i，故选A.(2)因为z 11ii1i1i1ii1i2 i1212i，所以|z|1212i 122122 22，故选B.(3)(34i)z|43i|，z534i534i34i34i3545i.故z的虚部为45，选D.答案(1)A(2)B(3)D拓思维 提能力 启智培优T 特色专题感悟提高数学思想系列之(五)解决复数问题的
13、实数化思想【典例】已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.【规范解答】设xabi(a，bR)，则yabi，xy2a，xya2b2，代入原式，得(2a)23(a2b2)i46i，根据复数相等得4a24，3a2b26，解得a1b1 或a1b1 或a1b1或a1b1.故所求复数为x1iy1i 或x1iy1i 或x1iy1i 或x1iy1i【名师点评】(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的形式表示出来，再用待定系数法求解这是常用的数学方法(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解对应训练1若i(xyi)34i，x，yR，则复数xyi的模是()A2 B3C4 D5解析 i(xyi)yxi34i，x4，y3.xyi43i.|xyi|42325.答案 D2已知复数z1ai(aR，i是虚数单位)，zz 35 45 i，则a()A2 B2C2 D12解析 由题意可知：1ai1ai 1ai21ai1ai 12aia21a21a21a2 2a1a2i3545i，因此1a21a235，化简得5a253a23，a24，则a2，由2a1a245可知a0，仅有a2满足，故选B.答案 B
