1、3.2.3 3.2.3 导数的四则运算法则导数的四则运算法则学习目标：1.理解两函数的和(或差)的导数法则，会求一些函数的导数2.理解两函数的积（或商）的导数法则，会求一些函数的导数3.会求一些简单复合函数的导数.教学重点：导数公式和导数的四则运算法则。教学难点：灵活地运用导数的四则运算法则进行相关计算教学重难点知识链接基本初等函数的导数公式法则 1如果 u=u(x)、v=v(x)都是 x 的可导函数，则 y=u v 也是 x 的可导函数，且y=(u v)=u v 一、函数和一、函数和(或差或差)的导数的导数u(x+x)-u(x)=u，证当 x 取得增量 x 时，函数 u、v 和y=u v 分
2、别取得增量 u、v 和 y.因为即u(x+x)=u(x)+u，课前预习：同理有v(x+x)=v(x)+v.y=u(x+x)v(x+x)-u(x)v(x)=(u+u)(v+v)-(uv)=uv.因此所以即(u v)=u v 这个法则可以推广到有限个可导函数的和的情形,即例 1求函数的导数.解二、函数积的导数二、函数积的导数法则 2如果 u=u(x)、v=v(x)都是 x 的可导函数，则 y=uv 也是 x 的可导函数，且y=(uv)=uv+uv(证明方法同法则1,故证明从略.)推论 1这个法则可以推广到有限个可导函数积的情形,例如(uvw)=uvw+uvw+uvw.(cu(x)=cu(x)(c
3、为常数).例 2设求解根据乘法法则，有所以推论 2三、函数商的导数三、函数商的导数法则 3设 u=u(x)、v=v(x)都是 x 的可导函数,且v 0,则(证明方法同法则1,故证明从略.)也是 x 的可导函数,且(c为常数)解根据除法法则，有例3 设函数求 y.例 4 设 函数 y=tan x，求 y.即同理可得(tan x)=sec2x.(cot x)=-csc2x.解练习 设 y=sec x，求 y.解根据推论 2，有即同理可得(sec x)=sec x tan x.(csc x)=-csc x cot x.定理设函数 y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数 y=f(x)也可导.且或四
4、、复合函数的求导法则即：因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)即证 设变量 x 有增量 x，由 于 u 可 导，相应地变量 u 有增量 u，从 而 y 有 增 量 y.例5：求的导数分析：解1：解2：可由y=sinu,u=2x复合而成=2cos2xxxxx2cos)2(sincos)(sin=?练习 设 y=(2x+1)5，求 y.解 把 2x+1 看成中间变量 u，y=u5，u=2x+1 复合而成，所以将 y=(2x+1)5 看成是由由于例 6 设 y=sin2 x，求 y.解 这个函数可以看成是 y=sin x sin x,可利用乘法的导数公式，将 y=sin2 x 看成是由 y=u2，u=sin x 复合而成.而所以这里，我们用复合函数求导法.求 y.解 将中间变量 u=1-x2 记在脑子中.这样可以直接写出下式例 7达标练习5.设 f(x)=sinx2，求 f(x).解导数的四则运算法则推论 1(cu(x)=cu(x)(c 为常数).推论 2推论 3课堂小结课后作业课本P91 练习A 1,2
