1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式.2.掌握两条平行直线间的距离公式.3.会求点到直线的距离和两条平行直线间的距离.4.培养逻辑推理和数学运算素养.自主预习 新知导学一、点到直线的距离公式【问题思考】1.如图,平面上点P到直线l的距离是指什么?提示:点P到直线l的距离,就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度,其中Q是垂足.2.如上图,设点P(x0,y0),直线l:Ax+By+C=0(A0,B0),如何求垂足Q的坐标?如何求|PQ|?3.我们知道,向量是解决距离、角度问题的有力工具.现在,我们用向量方法求|PQ|.
2、如图,设n是与直线l的方向向量垂直的单位向量,如何从向量投影的角度得到的模的表达式?提示:设M(x,y)是直线l上的任意一点,4.设P1(x1,y1),P2(x2,y2)是直线l:Ax+By+C=0上的任意两点,如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量n?把Ax1+By1+C=0,Ax2+By2+C=0两式相减,得A(x2-x1)+B(y2-y1)=0.由平面向量的数量积运算可知,向量(A,B)与向量(x2-x1,y2-y1)垂直.5.根据问题3,4的内容,你能求出|PQ|的值吗?6.填空:点到直线的距离(1)概念:过一点向直线作垂线,则该点与垂足之间的距离,就是该点到直线的距离.
3、7.做一做:原点到直线x+2y-5=0的距离为()答案:D 二、两条平行直线间的距离【问题思考】1.两条平行直线间的距离是指什么?提示:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.2.直线l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三点,直线l2:x+y-2=0与直线l1平行,那么点A,B,C到直线l2的距离分别是多少?有什么规律吗?3.已知直线l1:Ax+By+C1=0(A,B不同时为0),直线l2:Ax+By+C2=0(C2C1),如何推导出l1与l2间的距离公式呢?提示:在直线l1:Ax+By+C1=0上任取一点P(x0,y0),点P(x0,y0)到
4、直线l2:Ax+By+C2=0的距离就是这两条平行直线间的距离,4.填空:两条平行直线间的距离(1)概念:两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.(2)求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.5.做一做:两条平行直线l1:3x+4y-7=0和l2:3x+4y-12=0间的距离为()答案:C【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)当A=0或B=0或点P在直线l上时,点P到直线l:Ax+By+C=0的距离公式仍然适用.()(2)当两条直线平行时,一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等.()(3)在应用两条平行直线间的距离公式时
5、,两个直线方程中x,y的系数对应成比例即可.()(4)点P(x0,y0)到x轴的距离是d=y0.()合作探究 释疑解惑探究一探究二探究三思想方法探究一求点到直线的距离【例1】求点P0(-1,2)到下列直线的距离:(1)2x+y-10=0;(2)x=2;(3)y-1=0.分析:对于(1)可用点到直线的距离公式求解,对于(2)(3)除了公式法求距离外还可以用数形结合法求解.探究一探究二探究三思想方法解:(1)由点到直线的距离公式,(方法二)直线x=2与y轴平行,由图知d=|-1-2|=3.探究一探究二探究三思想方法(方法二)直线y-1=0与x轴平行,由图知d=|2-1|=1.探究一探究二探究三思想
6、方法若点M(-2,1)到直线x+2y+C=0的距离为1,则C的值为.反思感悟 1.在应用点到直线的距离公式时,首先把直线方程化为一般式,再利用公式求解.2.在已知点到直线的距离求参数时,只需根据公式列方程求解参数即可.探究一探究二探究三思想方法【变式训练1】已知直线l经过点A(-1,2),且原点到l的距离等于 ,求直线l的方程.解:因为原点到直线x=-1的距离为1,所以直线l的斜率存在.设直线l的方程为y-2=k(x+1),则化成一般式为kx-y+2+k=0.故直线l的方程为y-2=-(x+1)或y-2=-7(x+1),即x+y-1=0或7x+y+5=0.探究一探究二探究三思想方法探究二求两条
7、平行直线间的距离【例2】求两条平行直线l1:6x+8y=20和l2:3x+4y-15=0间的距离.分析:思路一:直接应用两条平行直线间的距离公式d=;思路二:先在直线l1上任取一点A(2,1),再求点A到直线l2的距离即为两条平行直线间的距离.探究一探究二探究三思想方法所以直线l1与l2间的距离为1.解法二:在直线l1上任取一点A(2,1),解法一:应用两条平行直线间的距离公式求解.所以直线l1与l2间的距离为1.探究一探究二探究三思想方法反思感悟 求两条平行直线间的距离有两种思路:(1)直接利用两条平行直线间的距离公式d=,但必须注意两个直线方程中x,y的系数对应相等;(2)利用“化归”法将
8、求两条平行直线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离.探究一探究二探究三思想方法【变式训练2】已知直线l与直线3x+4y-1=0平行,且两条直线间的距离为4,则直线l的方程为.解析:设直线l的方程为3x+4y+C=0,所以直线l的方程为3x+4y+19=0或3x+4y-21=0.答案:3x+4y+19=0或3x+4y-21=0探究一探究二探究三思想方法探究三距离公式的综合应用【例3】已知直线l经过点A(2,4),且被平行直线l1:x-y+1=0与l2:x-y-1=0所截的线段中点M在直线x+y-3=0上,求直线l的方程.分析:可先设出点M的坐标,利用点M到两条平行直线的距离相等,求
9、出点M的坐标,再用两点式写出直线l的方程,也可先求出与l1,l2平行且等距离的直线方程,再与方程x+y-3=0联立求出点M的坐标,最后由两点式写出直线l的方程.探究一探究二探究三思想方法解法一:点M在直线x+y-3=0上,可设点M坐标为(t,3-t).探究一探究二探究三思想方法解法二:设与直线l1,l2平行且距离相等的直线l3的方程为x-y+C=0.探究一探究二探究三思想方法反思感悟 应用距离公式解答有关问题时,要注意以下几点:(1)直线的方程是一般式,在应用两条平行直线间的距离公式时,两个直线方程中x,y的系数对应相等;(2)要结合图形,帮助解答;(3)求直线方程时,要特别注意斜率不存在的情
10、况.探究一探究二探究三思想方法【变式训练3】求经过点M(-2,1),且与A(-1,2),B(3,0)两点距离相等的直线l的方程.解法一:当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,与A,B两点距离不相等,不符合题意;当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-1=k(x+2),即kx-y+2k+1=0.故直线l的方程为y=1或x+2y=0.探究一探究二探究三思想方法解法二:由平面几何知识知,lAB或l经过线段AB的中点.若l经过线段AB的中点N(1,1),则直线l的方程为y=1.故直线l的方程为y=1或x+2y=0.探究一探究二探究三思想方法【思想方法】巧用数形结合思想求两条平行直线间距离的最值
11、问题【典例】两条互相平行的直线分别经过点A(6,2)和B(-3,-1),如果两条平行直线间的距离为d,求:(1)d的变化范围;(2)当d取最大值时,求两条直线的方程.审题视角:解答本题可以利用运动变化的观点,让两条直线分别绕定点转动,观察它们之间距离的变化情况,从而得到d的变化范围.探究一探究二探究三思想方法故所求的两条直线的方程分别为y-2=-3(x-6),y+1=-3(x+3),即3x+y-20=0,3x+y+10=0.探究一探究二探究三思想方法方法点睛 数形结合、运动变化的思想和方法是数学中常用的思想方法.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况,进而可求出这些量的变化范
12、围.类似地,当直线l经过定点A时,点B到直线l的距离d也是当lAB时最大,最大值为|AB|;当l经过点B时最小,最小值为零.探究一探究二探究三思想方法【变式训练】设x+2y=1,则x2+y2的最小值是.随堂练习1.点(4,3)到直线x=7的距离为()A.-3B.3C.11D.4答案:B2.若点A(a,1)到直线3x-4y=1的距离d为1,则a的值为()答案:C 3.已知两条直线3x+y-3=0与6x+my+1=0平行,则它们之间的距离为()答案:D 4.已知直线l1:x+y-1=0,l2:x+y+a=0,且两条直线间的距离为 ,则a=.解得a=-3或a=1.答案:-3或15.已知ABC三个顶点坐标分别为A(-1,3),B(-3,0),C(1,2),求ABC的面积S.解:由两点间的距离公式,
