1、广州市岭南中学2019学年第一学期高三年级期中考试数学试卷（理科）考试时间：120分钟； 满分150分 第卷（共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）1.设集合，则（ ）（A） （B） （C） (D）（2）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（A） （B） （C） （D）（3）已知命题：N, ，命题：N, ， 则下列命题中为真命题的是 (A) (B) (C) (D) （4）已知在上是奇函数,且满足,当时,，则=（A） （B） （C） （D）（5）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（A） （B） （C） （D）（6）若实数满足
2、约束条件 则的取值范围是（A） （B） （C） （D）（7）如图, 网格纸上的小正方形的边长为, 粗实线画出 的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积是(A) (B) (C) (D) （8）已知，且，函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值为（A） （B） （C） （D）（9）设各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，nN*. 则数列的通项公式是（ ）A B C D （10）过双曲线的一个焦点作一条渐近线的垂线，垂足为点，与另一条渐近线交于点，若，则此双曲线的离心率为（A） （B） （C）2 （D）（11）将5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，每所大学至少
3、保送1人，则不同的保送方法共有（A） 150种 （B） 180种 （C） 240种 （D）540种（12）（12）设函数的定义域为R , , 当时, 则函数在区间上的所有零点的和为(A) (B) (C) (D) 第卷二填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）设向量 （14）已知，则 （15）展开式中的常数项为，则 （16）已知为R上的连续可导函数，且，则函数的零点个数为_三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17）（本小题满分12分）在ABC中， 、分别为角A、B、C的对边，若，且.(1)求角A的大小；(2)当，且ABC的面积时，求边的值和ABC的面积（18）(本小题满分12分)
4、 设为数列的前项和，已知，对任意，都有()求数列的通项公式；(）若数列的前项和为,求证：.19、（本小题满分12分）甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后，得到如下22列联表：班级与成绩列联表优秀不优秀总计甲队8040120乙队240200240合计320240560（）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与学校有关系；（）采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的320名学生中抽取16名同学现从这16名同学中随机抽取3名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验，记这3名同学来自甲学校的人数为X，求X的分布列与数学期望附：P（K2k）0.150.10
5、0.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，n=a+b+c+d）（20）（本小题满分12分） 如右图，在多面体ABCDE中，DB平面ABC，AEDB，且ABC是边长为2的等边三角形，2AEBD2 （）若F是线段CD的中点，证明：直线EF面DBC;（）求二面角DECB的平面角的余弦值（21）（本小题满分12分） 已知函数（1）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程； （2）设函数在上有且只有一个零点，求的取值范围。（其中为自然对数的底数）22在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建坐标系
6、，已知曲线C：sin2 2acos (a0)，已知过点P(2，4)的直线l的参数方程为，直线l与曲线C分别交于M，N两点.(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值.2019学年第一学期高三年级期中考试数学答案（理科）一选择题（1）C（2）A（3）A （4）B （5）B （6）B（7）B（8）B（9）A （10）C （11）A （12）A二填空题（13） （14） （15）或 （16）0（其中第13、15题中，答对2个给5分，答对1个给3分）三解答题（17）17解:(1)由于mn，所以mn = 2sin2 +cos 2A+1=2sin2+2co
7、s2A= 2cos2+2cos2A =2cos2Acos A1 = (2cos A+1)(cos A1) = 0. .4分所以cos A= -或1(舍去), .6分(2)由S= =及余弦定理得 tan C=,C=,B=。.8分又由正弦定理。得，.10分所以ABC的面积S= acsin B= .12分18.证明：（）因为，当时， 两式相减，得， 即，.2分所以当时，. .3分所以. .4分因为，所以. .5分（）因为， 所以.7分 所以 .9分因为，所以因为在上是单调递减函数，.10分所以在上是单调递增函数所以当时，取最小值 .11分所以. .12分（19）（）证明：取的中点,连接 又因为为平行
8、四边形，. 分（）连接，过在面内作的垂线，垂足为连接因为，又所以易证得为二面角DECB的平面角在中， 所以易求得 在直角中，,所以二面角的平面角的余弦值为 12分方法二：OM取BD的中点为G，以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图空间直角坐标系，则,取平面DEC的一个法向量 又，由此得平面BCE的一个法向量 则，所以二面角的平面角的余弦值为（20）【解答】解：（）由题意得K2=5.6575.024，.3分能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩与所在学校有关系.4分（）16名同学中有甲学校有4人，乙学校有12人.5分X的可能取值为0，1，2，3.6分P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=
9、2）=，P（X=3）=.8分X的分布列为X0123P.10分EX=0+1+2+3=12分（21） 21. 解：（1）设切点坐标为，则切线的斜率为 所以切线的方程为2分 又切线过点（1，0），所以有 即，解得所以直线的方程为4分（或：设，则单增，单减有唯一解，所以直线的方程为 4分）(2）因为，注意到g（1）=0所以，所求问题等价于函数在上没有零点.又 所以由0000 所以在上单调递减，在上单调递增. 6分 当即时，在上单调递增，所以此时函数g（x）在上没有零点7分当1e，即1a2时，在上单调递减，在上单调递增.又因为g（1）=0,g(e)=e-ae+a，在上的最小值为所以，（i）当1a时，在上
10、的最大值g(e) 0，即此时函数g（x）在上有零点。8分（ii）当 a2时， g(e) 0，即此时函数g（x）在上没有零点.10分当即时，在上单调递减，所以在上满足此时函数g（x）在上没有零点综上，所求的a的取值范围是或a12分（22）解：解(1)由C：sin2 2acos ，得(sin )22acos ，所以曲线的普通方程为y22ax.由直线l的参数方程消去参数t，得xy20. 5分(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入y22ax, 得到t22(4a)t8(4a)0，则有t1t22(4a)，t1t28(4a).因为|MN|2|PM|PN|，所以(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2. 解得a1. 10分
