1、2.3 直线平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1.理解直线与平面垂直的定义,了解“过一点有且仅有”的两个重要结论.2.了解点到平面的距离,直线和平面的距离的意义,初步掌握相关距离的简单计算.3.经过观察探索和转化的办法理解直线和平面垂直的判定定理,并会运用定理解题.1.如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的_都_,那么这条直线和这个平面互相垂直.直线l和平面互相垂直,记作_.2.如果一条直线和一个平面内的两条_直线都_,那么这条直线垂直于这个平面.3.过一点_一条直线和一个平面垂直.任意一条直线垂直l相交垂直有且只有4.过一点_一个平面和一条直线垂直.5.两条_直线
2、中的一条和一个平面垂直,那么另一条也和这个平面垂直.6.平面内的一条斜线和它在平面上的射影所成的_叫做这条直线和这个平面所成的角.有且只有平行锐角1.如何理解直线与平面垂直直线与平面垂直的定义中,要求直线与平面内的“任意一条”直线都垂直,这里将“任意一条”改成“无数条”,对吗?不对.如右图,将一把丁字尺放在平面上,则ba且a.由空间角的可平移性知在平面内凡与a平行的直线都垂直于b,即直线b垂直于平面内无数条直线;又直线b可绕直线a转动,因此直线b可能与平面不垂直.只有当直线b垂直于平面内两条相交直线时,才能判定直线b垂直于平面.2.如何理解直线和平面所成的角直线与平面相交,过交点在平面内可作无
3、数条直线,与平面相交的直线l与平面内过交点的直线所成的角是不相等的.为了保证角的确定性,我们必须找到既有确定值,又能准确描述其位置的一个角,这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角.而斜线和平面内的射影有两个角,我们规定斜线和平面所成的角是斜线和它在平面内的射影所成的锐角,它是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成角中最小的角.当直线垂直平面时,直线与平面所成角为90.当直线和平面平行,或在平面内,我们说直线与平面成0角,因此直线和平面所成角的范围是0,90.3.直线和平面垂直的判定定理判定定理:若直线a同时垂直于平面内的两条相交直线mn,则a.解读这个定理,其条件有:m ,n ;mn=A,a
4、m,an.这三个条件缺一不可,但对am,an在什么位置(过不过交点)以什么方式(共面或异面)都不作要求,正是这种不作要求的“宽松”条件,致使证直线与平面的垂直视野开阔,方法灵活.题型一 线面垂直的判定例1:如右图,直角ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD面SAC.分析:由于D是AC的中点,SA=SC,则SD是SAC的高,连结BD,可证SDBSDA.由AB=BC,则RtABC是等腰直角三角形,则BDAC,利用线面垂直的判定定理即可得证.证明:(1)SA=SC,D为AC的中点,SDAC.连结BD,在RtABC中
5、,则AD=DC=BD.ADSBDS.SDBD.又ACBD=D,SD面ABC.(2)BA=BC,D为AC中点,BDAC.又由(1)知SD面ABC,SDBD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线.BD平面SAC.规律技巧:(1)利用题设条件来寻求适用判定定理的条件是证明过程的基本思路.(2)线面垂直的定义说明了直线垂直平面,则直线垂直这个平面内的任意直线,常用此性质证,线线垂直线面垂直.变式训练1:如右图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,B1A1C1=90,D为BB1的中点.求证:AD平面A1DC1证明:AA1底面ABC,平面A1B1C1平面AB
6、C,AA1平面A1B1C1,A1C1AA1,又B1A1C1=90,A1C1A1B1而A1B1AA1=A1,A1C1面AA1B1B,AD 平面AA1B1D,A1C1AD.由已知计算得AA1=2AD2+A1D2=AA21,A1DAD,A1C1A1D=A1,AD平面A1DC1.例2:如右图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,AC交BD于点O,求证:A1O平面MBD.证明:连结MO.DBA1A,DBAC,A1AAC=A,DB平面A1ACC1.而A1O平面A1ACC1,A1ODB.tanAA1OAA1O=MOC.则A1OA+MOC=90.A1OOM.OMDB=O,A1O平面MBD.
7、规律技巧:在证明A1O与平面BMD中两条相交直线垂直时,先证得线垂直面,由定义得线垂直线;另一垂直是证两线成90角完成的,有时可用勾股定理的逆定理.应注意总结方法.变式训练2:在空间四边形ABCD中,EF分别是ADBC的中点,若AC=BD=a,EFa,BDC=90.求证:BD平面ACD.证明:如右图,取CD中点G,连结EGFG,则EF2=EG2+FG2.EGF=90.ACEG,BDFG,BDAC.又BDC=90,BDDC.而ACDC=C,BD平面ACD.题型二 求直线和平面所成的角例3:已知平面外两点AB到平面的距离分别为1和2,AB两点在内的射影之间距离为求直线AB和平面所成的角.分析:AB
8、两点在平面外,是在平面同侧还是异侧,题中没有明确,因此,该题应分情况讨论.解:(1)如图(1),当AB位于平面同侧时,由点AB分别向平面作垂线,垂足分别为A1B1,则AA1=1,BB1=2,B1A1过点A作AHBB1于H,则AB和所成角即为HAB.而BAH=30.(2)如图(2),当AB位于平面异侧时,经AB分别作AA1于A1,BB1于B1,AB=C,则A1B1为AB在平面上的射影,BCB1或ACA1为AB与平面所成角.BCB1ACA1,AB与所成角为60.综合(1)(2)可知:AB与平面所成角为30或60.规律技巧:求解斜线和平面所成的角的一般方法是:确定斜线与平面的交点即斜足;经过斜线上除
9、斜足外任一点作平面的垂线,确定垂足,进而确定斜线在平面内的射影;求解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形.变式训练3:如图所示,RtBMC中,斜边BM=5,它在平面ABC上的射影AB长为4,MBC=60,求MC与平面ABC所成角的正弦值.解:由题意知,A是M在平面ABC内的射影,MA平面ABC,MC在平面ABC内的射影为AC.MCA为MC与平面ABC所成的角.又在RtMBC中,BM=5,MBC=60,MC=BMsin60易错探究例4:(2010唐山一模)已知直线a和两个平面,给出下列四个命题:若a,则内的任意直线都与a平行;若a,则内的任意直线都与a垂直;若,则内的任意直线都与平行;若a与所成
10、的角相等,则.则其中真命题为()A.B.C.D.错解:若a,则与a无公共点,所以内的任意直线都与a平行,所以正确;若a,根据直线与平面垂直的定义知,内的任意直线都与a垂直,所以正确.故选A.错因分析:直线与平面平行时,直线与平面中的直线没有公共点,包括平行与异面两种情况,所以为假命题.正解:由直线与平面垂直的定义知,若a,则内的任意直线都与a垂直,所以为真;若,则内任意直线与没有公共点,所以平行,故为真.答案:B基础强化1.判断题:正确的在括号内打“”号,不正确的打“”号.(1)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直()(2)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边()(
11、3)过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内()(4)如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条确定的平面()(5)已知a,且b,则ba()(6)ab,a,则b()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是()A.垂直B.平行C.aD.无法确定答案:A3.对于直线a,b和平面,下列推论错误的是()答案:D4.空间四边形ABCD的四边相等,则它们的对角线ACBD的关系是()A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交解析:如图所示,ABCD是空间四边形.且AB=BC=CD=DA.取BD的中点
12、E,连结AE,CE则有AEBD,CEBD.BD平面ACE,BDAC.空间四边形ABCD的对角线ACBD垂直,但不相交.答案:C5.已知m,n为两条不同的直线,为两个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.M ,n,m,nB.,m,n mnC.m,mnnD.nm,nm答案:D6.ab是直线,是平面,下列判断正确的是()A.a垂直内的两条直线,则aB.ab,b,则aC.a,b,则abD.若a,a则解析:用排除法,在A中,当两直线平行时,不成立;在B中,a可能在内;在D中,与也可能相交.因此A、B、D均错,故C正确.答案:C7.设O为平行四边形ABCD对角线的交点,P为平面AC外一点且有PA=PC,
13、PB=PD,则PO与平面ABCD的关系是_.解析:如图,PA=PC,POAC,又PB=PD,POBD.PO平面ABCD.答案:垂直8.AB为O的直径,C是异于AB的圆周上的任意一点,PA垂直O所在的平面,则PABPACABCPBC中共有_个直角三角形.4能力提升9.如下图,已知P是ABC所在平面外一点,PAPBPC两两互相垂直,H是ABC的垂心,求证:PH平面ABC.证明:如下图,PCAP,PCBP,PC平面APB,PCAB,连结CH.H为ABC的垂心,CHAB,AB平面PHC.PHAB.同理可证PHBC.PH平面ABC.10.如下图,已知PAO所在平面,AB为O的直径,C是圆周上的任意一点,
14、过A作AEPC于E,求证:AE平面PBC.证明:PA平面ABC,BC 平面ABC,PABC,ACBC,ACPA=A,BC平面PAC.AE 平面PAC,BCAE.又PCAE,BCPC=C,AE平面PBC.11.如下图,ABCDA1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是()A.BD平面CB1D1B.AC1BDC.AC1平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60解析:易知异面直线AD与CB1所成的角等于AD与DA1所成的角,为45,D错.答案:D12.如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,ADCD,DB平分ADC,E为PC的中点,()证明PA平面BDE;()证明AC平面PDB;()求直线BC与平面PDB所成的角的正切值.解:()证明:连结AC,设ACBD=H,连结EH.在ADC中,因为AD=CD,且DB平分ADC,所以H为AC的中点.又由题设,E为PC的中点,故EHPA.又EH平面BDE且PA 平面BDE,所以PA平面BDE.()证明:因为PD平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PDAC.由()可得,DBAC.又PDDB=D,故AC平面PBD.()解:由AC平面PBD可知,BH为BC在平面PBD内的射影,所以CBH为直线BC与平面PBD所成的角.由AD可得在RtBHC中,tanCBH所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为
