1、第6讲数学文化(文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略明方向考情分析数学文化题是近几年全国卷中出现的新题型预计在高考中，数学文化题仍会以选择题或填空题的形式考查，也不排除以解答题的形式考查，难度适中或容易真题分布(理科)年份卷别题号考查角度分值2020卷3传统文化与立体几何5卷4传统文化与数列5卷未考2019卷4传统文化与不等式5卷4、13现代科技与近似值和统计10卷3四大名著与统计52018卷3、10概率统计与传统文化10卷8概率与传统文化5卷3立体几何与传统文化5(文科)年份卷别题号考查角度分值2020卷3传统文化与立体几何卷3传统文化与数列卷未考2019
2、卷4传统文化与不等式5卷4、14现代科技与近似值和统计10卷4四大名著与统计52018卷3概率统计与传统文化5卷5概率与传统文化5卷3立体几何与传统文化5KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类析重点考点一三角与传统文化1(2020东城区二模)九章算术成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步问为田几何？”(一步1.5米)意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为(B)A135平方米B270平方米C540平方米D1 080平方米【解析】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为
3、Slr45270(平方米)故选B2(2020河南模拟)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号如图是折扇的示意图，M为ON的一个靠近点N的三等分点，若在整个扇形区域内随机取一点，则此点取自扇面(扇环)部分的概率是(D)ABCD【解析】设ONr，扇形的圆心角为，则整个扇形的面积为Sr2，扇环的面积为Sr2()2，由几何概率公式可得P.故选D3(2020三明质检)我国古代数学家刘徽于公元263年在九章算术注中提出“割圆术”：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣即通过圆内接正多边形
4、细割圆，并使正多边形的面积无限接近圆的面积，进而来求得较为精确的圆周率如果用圆的内接正n边形逼近圆，算得圆周率的近似值记为n，那么用圆的内接正2n边形逼近圆，算得圆周率的近似值2n可表示成(A)ABCD【解析】令圆的半径为1，则圆内接正n边形的面积为n12sin sin nsin cos ，圆内接正2n边形的面积为2n12sin nsin ，用圆的内接正n边形逼近圆，可得S圆nsin cos n；用圆的内接正2n边形逼近圆，可得S圆nsin 2n；所以2n.故选A4(2020沙坪坝区校级模拟)2020年新型冠状病毒肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十余天就建成了“小汤山”模式的火神山医院
5、和雷神山医院，再次体现了中国速度随着疫情发展，某地也需要参照“小汤山”模式建设临时医院，其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400 m的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为(D)ABCD【解析】设顶角为；由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为：4400400sin 320 000sin ，由余弦定理可得正方形边长为：400；故正方形面积为：160 000(22cos )320 000(1cos )所以所求占地的面积为：320 000(sin cos 1)320 000，当时，占地面积最大，此时底角为：.三角与传统文化主要包括“欧拉公式”、“九
6、章算术”、“赵爽弦图”、“割圆术”、“三斜公式”、“海伦公式”及以数学名人为背景数学知识的应用问题考点二数列与传统文化1(2020香坊区校级二模)对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在梦溪笔谈中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n层货物的个数为an，则数列的前2 020项和为(B)ABCD【解析】设从上而下各层货物的个数构成数列an，依题意有：a12，a2a13，a3a24，anan1n1(n2)由上面的式子累加可得：an234(n1)，n2，又当n
7、1时，a12也适合，所以an，2，数列 的前2 020项和为22.故选B2(2020合肥三模)公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米(B)A斗B斗C斗D斗【解析】由题可得：每人所得玉米数构成公比为的等比数列；且数列的前10项和为10；设首项为a；则有：10；a；故选B3(2020合肥一中、马鞍山二中等六校二联)算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈
8、现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1(C)A23B32C35D38【解析】由题意可得儿子的岁数成等差数列，设公差为d，其中公差d3，S9207，即S99a1(3)207，解得a135故选C4(2020恩施质检)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人”其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的
9、人数比前一天多7人”在该问题中的1 864人全部派遣到位需要的天数为(B)A9B16C18D20【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列an，分析可得数列是首项a164，公差d7的等差数列，该问题中的1 864人全部派遣到位的天数为n，则64n71 864，依次将选项中的n值代入检验得，n16满足方程故选B数列与传统文化主要把传统文化与等差数列、等比数列和数列通项等数列知识相结合分类研讨考点三不等式与传统文化1(2020宜春模拟)太极图被称为“中华第一图”从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗，太极图无不跃居其上这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼
10、互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”在某个太极图案中，阴影部分可表示为A(x，y)|x2(y1)21或；设点(x，y)A，则z3x4y的最大值与最小值之差为(A)A19B18C1D20【解析】如图，作直线3x4y0，当直线上移与圆x2(y1)21相切时，z3x4y取最大值，此时，圆心(0,1)到直线z3x4y的距离等于1，即1，解得z的最大值为：459，当下移与圆x2y24相切时，z3x4y取最小值，同理2，即z的最小值为10所以：z3x4y的最大值与最小值之差是：9(10)19故选A2(2020中卫二模)九章算术中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘
11、徽在其九章算术注中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青)将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为ab，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AFBC于点F，则下列推理正确的是(A)由图1和图2面积相等可得d；由AEAF可得；由ADAE可得；由ADAF可得a2b22ab.ABCD【解析】由图1和图2面积相等ab(ab)d，可得d，对；由题意知图
12、3面积为abAF，AF，ADBC，图3设正方形边长为x，由三角形相似，解之得x，则AE；可以化简判断对，故选A3(2020湛江二模)一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数设这个整数为a，当a2,2 019时，符合条件的a共有(C)A133个B134个C135个D136个【解析】由题设a3m25n3，m，nN*，则3m5n1当m5k，n不存在；当m5k1，n不存在；当m5k2，n3k1，满足题意；当m5k3，n不存
13、在；当m5k4，n不存在；故2a15k82 019，解k，kZ，则k0,1,2，134，共135个故选C不等式与传统文化主要包括在勾股弦图、勾股容方、均值不等式、伯努利不等式(Bernoulli inequality)与导数等几个方面的应用考点四立体几何与传统文化1(2020新疆模拟)半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体一个二十四等边体的各个顶点
14、都在同一个球面上，若该球的表面积为16，则该二十四等边体的表面积为(C)A124B186C248D3612【解析】二十四等边体的外接球的表面积为16，设其半径为r，则4r216，解得r2，设O为球心，依题意得四边形A，B，C，D分别为正方体侧棱的中点，(AB)2(AB)242，AB24，二十四等边体的棱长为2，二十四等边体的表面积为：S22622sin 8248，故选C2(2020临沂学业考试)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中商功有如下问题：“今有委粟平地，下周一十二丈，高一丈，问积及为粟几何？”，意思是“有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积和粟各为多
15、少？”如图主人意欲卖掉该堆粟已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2 700立方寸(单位换算：1立方丈106立方寸)，一斛粟米卖270钱，一两银子1 000钱，则主人卖后可得银子(D)A200两B240两C360两D400两【解析】有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，底面半径r2(丈)，体积Vr2h32214(立方丈)4106(立方寸)，主人卖后可得银子：400(两)3(2020兰州二诊)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90榫卯起来若正四棱柱的高为8，底面正
16、方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为_84_.(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)【解析】若球形容器表面积最小，则正四棱柱与球内接，此时球体的直径等于一组正四棱柱组成的长方体的体对角线长，即2R2，所以R，球形容器的表面积S4R284.立体几何与传统文化主要包括立体几何中几何体体积公式、古代传统建筑中的阳马、鳖臑、堑堵、祖暅原理、牟合方盖等考点五概率统计、算法与传统文化1(2020江西模拟)如图为算法统宗中的“方五斜七图”，注曰：方五斜七者此乃言其大略矣，内方五尺外方七尺有奇这是一种开平方的近似计算，即用7近似表示5，当内方的边长为5时，外方的边长为5，略大
17、于7在外方内随机掷100粒黄豆，则位于内方的黄豆数约为(A)A50B55C60D65【解析】由题意可得S内方25，S外方50，则从外方内随机取一点，此点取自内方的概率为，所以10050故选A2(2020山东模拟)五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、微、羽如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为(C)ABCD【解析】中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、微、羽把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数nA120，其中宫、羽不相邻包含的基本事件有：mAA
18、72，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为p.故选C3(2020吉林期末)八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式(如图所示)从图中的八卦中随机选取一卦，则此卦中恰有两个“”的概率为(C)ABCD【解析】由图可知，恰有两个“”的是坎、艮、震，根据古典概型及其概率的计算公式，可得所求概率为.故选C4(2020淮北、宿州二模)古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方
19、法如下：取线段AB2，过点B作AB的垂线，并用圆规在垂线上截取BCAB1，连接AC；以C为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D；以A为圆心，以AD为半径画弧，交AB于点E，则点E即为线段AB的黄金分割点如图所示，在RtABC中，扇形区域ADE记为，扇形区域CBD记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为P1，P2，P3，(参考数据：2.236)则(B)AP1P2BP1，故ACB，所以S扇形BCD12，则S扇形BCDS扇形ADE，即P2P1，且P2P1P3，故B正确5(2020安徽A10联盟最后一卷)九章算术中有如下问题：“今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：我羊食半马马主曰：我马食半牛今欲衰偿之，问各出几何？”翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还，问：牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？已知1斗10升，针对这一问题，设计程序框图如图所示，若输出k的值为2，则m(B)ABCD【解析】运行该程序，第一次循环，S50m，k1；第二循环，S503m，k2；第三次循环，此时要输出k的值，则507m0，解得m.故选B概率统计、算法与传统文化主要是把数学文化与概率、统计、“黄金分割”、“太极图”、“回文数”等几个方面相结合分类研究
