1、第三节等比数列及其前n项和最新考纲考情分析核心素养1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.等比数列的基本运算，等比数列的判断与证明，等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为512分.1.数学运算2.逻辑推理知识梳理1等比数列的有关概念(1)定义文字语言：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数符号语言：q(nN*，q为非零常数)(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项即：G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列G2ab2等比数列的有关公式(1)通项公式：ana
2、1qn1(2)前n项和公式3等比数列的性质(1)通项公式的推广：anamqnm(m，nN*)(2)对任意的正整数m，n，p，q，若mnpq，则amanapaq特别地，若mn2p，则amana.(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比数列，即(S2mSm)2Sm(S3mS2m)(mN*，公比q1)(4)数列an是等比数列，则数列pan(p0，p是常数)也是等比数列(5)在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，ank，an2k，an3k，为等比数列，公比为qk常用结论1若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列
3、2一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂3an为等比数列，若a1a2anTn，则Tn，成等比数列4当q0且q1时，Snkkqn(k0)是an成等比数列的充要条件，这时k.5有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列()(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2ac.()(3)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(4)如果an为等比数列，bna2n
4、1a2n，则数列bn也是等比数列()(5)等比数列中不存在数值为0的项()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修5P53A1(2)改编)已知an是等比数列，a22，a5，则公比q等于()AB2C2D答案：D3(必修5P54A8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_答案：27，81三、易错自纠4已知数列an的前n项和为Snan1(a是不为0的实数)，则an()A一定是等比数列B一定是等差数列C是等差数列或是等比数列D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列解析：选C当a1时，an的各项都为0，则这个数列是等差数列，但不是等比数列；当a1时，由
5、Snan1知，an是等比数列，但不是等差数列，故选C5设等比数列an的前n项和为Sn，若S23，S415，则S6()A31B32C63D64解析：选C由等比数列的性质，得(S4S2)2S2(S6S4)，即1223(S615)，解得S663.6设an是公比为正数的等比数列，Sn为an的前n项和，若a11，a516，则数列an的前7项和为_解析：设等比数列an的公比为q(q0)，由a5a1q416，a11，得q416，解得q2，所以S7127.答案：127|题组突破|1(2019年全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项和为15，且a53a34a1，则a3()A16B8C4D2解析：选C设等
6、比数列an的公比为q，由a53a34a1得q43q24，得q24，又数列an的各项均为正数，所以q2.又a1a2a3a4a1(1qq2q3)a1(1248)15，所以a11，所以a3a1q24.2(2019年全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5_解析：解法一：设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以(a1q3)2a1q5，所以a1q1.又a1，所以q3，所以S5.解法二：设等比数列an的公比为q，因为aa6，所以a2a6a6，所以a21.又a1，所以q3，所以S5.答案：3(2019年全国卷)已知an是各项均为正数的等比数列，a12，a32a216.(1)求an的通项
7、公式；(2)设bnlog2an，求数列bn的前n项和解：(1)设等比数列an的公比为q，由题设得2q24q16，即q22q80，解得q2(舍去)或q4.因此an的通项公式为an24n122n1.(2)由(1)得，bn(2n1)log222n1，因此数列bn的前n项和Sn132n1n2.名师点津等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q1时，an的前n项和Snna1；当q1时，an的前n项和Sn.|题组突破|
8、4(2019届福州市质检)等比数列an的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a34，a2a664，则S5()A32B31C64D63解析：选B解法一：设首项为a1，公比为q，因为an0，所以q0，由条件得解得所以S531，故选B解法二：设首项为a1，公比为q，因为an0，所以q0，由a2a6a64，得a48，又a34，所以q2，a11，所以S531，故选B5(2020届贵阳摸底)若等比数列an的各项均为正数，a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12B10C8D2log35解析：选B由等比数列的性质知，a5a6a4a72a5a618，所以a5a69，所以log3a
9、1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log39510.故选B6(2020届陕西摸底)在等比数列an中，若an0，a2a41，a1a2a37，则公比q()ABC2D4解析：选B解法一：由题意得q0，a10，因为所以解得故选B解法二：由等比数列的性质得aa2a41，结合an0，得a31.由a1a2a37，得a37，则6，结合q0，得q，故选B名师点津等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口【例】(2019届广州市调研测试)设Sn为数列an的
10、前n项和，已知a37，an2an1a22(n2)(1)证明：数列an1为等比数列；(2)求数列an的通项公式，并判断n，an，Sn是否成等差数列？解(1)证明：a37，a33a22，a23，an2an11，a11.又2(n2)，且a112，数列an1是首项为2，公比为2的等比数列(2)由(1)知，an12n，an2n1，Snn2n1n2，nSn2ann(2n1n2)2(2n1)0，nSn2an，即n，an，Sn成等差数列名师点津等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数)或q(q为非零常数且n2)，则an是等比数列(2)等比中项法：若数列an中an0且aanan2(nN*)，则数列an
11、是等比数列(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成ancqn1(c，q均为不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0，1)，则an是等比数列提醒(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可|跟踪训练|(2020届大同调研)在数列an中，a13，an2an1n2(n2，且nN*)(1)求a2和a3的值；(2)证明：数列ann是等比数列，并求an的通项公式；(3)求数列an的前n项和Sn.解：(1)a13
12、，an2an1n2，a22a1226，a32a23213.(2)证明：an2an1n2，n2，ann2(an1n1)，n2.又a114，ann是以4为首项，2为公比的等比数列，ann42n12n1，an2n1n.(3)由(2)得an2n1n，Sn2212322n(n1)2n1n222n2.【例】(2019届南宁二中、柳州高中第二次联考)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还意思是：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则此人第五天
13、走的路程为()A48里B24里C12里D6里解析由题意知，该人每天走的路程数构成公比为的等比数列，记为an，设其前n项和为Sn，由S6378，得378，解得a1192，所以a519212(里)，故选C答案C名师点津求解等比数列应用问题的关键是建立等比数列模型|跟踪训练|(2019届安徽池州模拟)在增删算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关”意思是：某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程，则下列说法错误的是()A此人第二天走了九十六里路B此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C此人第三天走的路程占全程的D此人后三天共走了四十二里路解析：选C记每天走的路程里数为an(n1，2，3，6)，由题意知an是公比为的等比数列，由S6378，得378，解得a1192，所以a219296，故A正确；此人第一天走的路程比后五天走的路程多192(378192)6(里)，故B正确；a319248，故C不正确；前3天走的路程为1929648336(里)，则后3天走的路程为37833642(里)，故D正确故选C
