1、第17节 同角三角函数基本关系式与诱导公式考纲呈现 1理解同角三角函数的基本关系式：sin2 cos2 1，sin cos tan，并能熟练应用同角三角函数关系式进行化简求值 2能利用单位圆中的三角函数线推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式，理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，并能利用诱导公式进行化简.诊断型微题组 课前预习诊断双基1同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：sin cos tan .sin2cos212三角函数的诱导公式 简记：奇变偶不变，符号看象限 3同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin21cos2(1cos)(1cos)；cos21sin2(1
2、sin)(1sin)；(sin cos)212sin cos；(2)sin tan cos.1利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐 特别注意函数名称和符号的确定 2在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号 3注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化 1(2018浙江温州校级模拟)已知cos 12，且是钝角，则tan 等于()A.3 B 33 C 3D 33 【答案】C【解析】cos 12，且是钝角，sin 1cos2 32，tan sin cos 3.故选C.2已知sin()log 814，且2，0，则tan(2
3、)的值为()A2 55B2 55C2 55D 52 【答案】B【解析】sin()sin log81423，又因为2，0，则cos 1sin2 53，所以tan(2)tan()tan sin cos 2 55.3(必修4P21A组T12改编)已知tan 3，则cos2sin2()A.45B45C35D35【答案】B【解析】由同角关系得cos2sin2cos2sin21cos2sin2cos2sin21tan21tan2191945.故选B.4(必修4P29B组T2改编)已知sin 2 35，0，2，则sin()()A.45B45 C.35D35【答案】B【解析】因为sin 2 cos 35，0，
4、2，所以sin 1cos245，所以sin()sin 45.故选B.5(必修4P146A组T6(4)改编)已知cos 2 23，则sin4cos4的值为_【答案】1118【解析】sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos2112sin22112(1cos22)1118.形成型微题组 归纳演绎形成方法 同角三角函数基本关系式及应用 1(2018贵阳模拟)已知sin cos 18，且54 32，则cos sin 的值为()A 32 B 32 C34D34【答案】B【解析】54 32，cos 0，sin sin，cos sin 0.又(cos sin)212sin cos 121834，
5、cos sin 32.2(2018湖南邵阳一模)若3sin cos 0，则1cos22sin cos 的值为()A.103B53 C.23D2【答案】A【解析】3sin cos 0cos 0，tan 13，1cos22sin cos cos2sin2cos22sin cos 1tan212tan 1132123103.微技探究 技巧解读适合题型 切弦 互化主要利用公式tan sin cos 化成正弦、余弦，或者利用公式sin cos tan 化成正切表达式中含有sin ，cos 与tan “1”的 变换1sin2cos2cos2(1tan2)tan 4(sin cos )22sin cos 表
6、达式中需要利用“1”转化 和积 转换利用(sin cos )212sin cos 的关系进行变形、转化表达式中含有sin cos 或sin cos 1.(2018广西河池模拟)已知tan 512，且为第二象限角，则sin 的值为()A.15B 115C 513D 513【答案】C【解析】tan sin cos 512，cos 125 sin，又sin2cos21，sin214425 sin216925 sin21，又由为第二象限角知sin 0，所以sin 513.故选C.2.(2018贵州遵义模拟)化简：(1tan2)(1sin2)_.【答案】1【解析】(1tan2)(1sin2)1sin2c
7、os2 cos2cos2sin2cos2cos21.诱导公式命题角度1 利用诱导公式化简三角函数式 (2018江西模拟)化简sincossin52 tancos2_.【答案】cos2【解析】sincossin52 tancos2 sin cos cos tan cos sin cos tan cos2.命题角度2 利用诱导公式求值 (2018海南校级模拟)已知f()sincos2costan，则f313的值为()A.12B12C 32D 32 【答案】A【解析】f()sincos2costansin cos cos tan cos，f313cos313 cos1013 cos 312.故选A.
8、微技探究 1利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：基本思路：(1)分析结构特点，选择恰当公式；(2)利用公式化成单角三角函数；(3)整理得最简形式 化简要求：(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值 2三角函数求值问题，首先明确角的范围，才能求出角的值或三角函数值 1.(2018河南新乡一中月考)化简：tancos2sin32cossin_.【答案】1【解析】原式 tan cos cos cossin tan cos cos cos sin sin cos cos sin 1.2.(2018湖南长沙模拟)已知cos 6 33，
9、则cos 56 sin26 的值为_【答案】2 33【解析】因为cos56 cos6 cos6 33，sin26 sin26 sin26 1cos26 133223，所以cos56 sin26 33 232 33.3.(2018聊城模拟)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3xy0上，则sin32 2cossin2 sin_.【答案】32【解析】由题意知tan 3.sin32 2cossin2 sin cos 2cos cos sin 3cos cos sin 31tan 31332.思想方法 分类讨论思想在三角函数中的应用【典例】(1)已知sin 2 55，则tan()s
10、in52 cos52 _.(2)在ABC中，若sin(2A)2sin(B)，3cos A 2cos(B)，则C_.【思路点拨】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论【答案】(1)52或52(2)712【解析】(1)sin 2 55 0，为第一或第二象限角 tan()sin52 cos52 tan cos sin sin cos cos sin 1sin cos.当是第一象限角时，cos 1sin2 55，原式1sin cos 52.当是第二象限角时，cos 1sin2 55，原式1sin cos 52.综合，原式52或52.(2)由已知，得sin A 2si
11、n B，3cos A 2cos B，22，得2cos2A1，即cos A 22，当cos A 22 时，cos B 32，又A，B是三角形的内角，A4，B6.C(AB)712.当cos A 22 时，cos B 32.又A，B是三角形的内角，A34，B56，不合题意 综上，C 712.微技探究 1本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；2三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘及三角形内角和定理的应用 是否存在 2，2，(0，)，使等式sin(3)2cos2，3cos()2cos()同时成立？若存在，求出，的值；若不存在，请说明
12、理由【解】假设存在角，满足条件，则由已知条件可得sin 2sin，3cos 2cos，由22，得sin23cos22.cos212.cos 22.2，2，4.当4时，由式知cos 32，又(0，)，6，此时式成立；当4时，由式知cos 32，又(0，)，6，此时式不成立，故舍去 存在4，6满足条件.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2016全国，5)若tan 34，则cos2 2sin 2()A.6425B4825C1D1625【答案】A【解析】cos22sin 2cos24sin cos sin2cos214tan tan21.因为tan 34，所以原式143434216425.故选A.2(
13、2016全国，14)已知是第四象限角，且sin 4 35，则tan4 _.【答案】43【解析】因为是第四象限角，且sin4 35，所以4为第一象限角，所以cos4 45，所以tan4sin4cos4cos24sin24cos4sin443.3(2016四川，11)sin 750_.【答案】12 【解析】sin 750sin(7503602)sin 3012.4(2015四川，13)已知sin 2cos 0，则2sin cos cos2的值是_【答案】1【解析】sin 2cos 0tan 2，所以2sin cos cos22sin cos cos2sin2cos22tan 1tan21 4141 1.
