1、广东省2019届高三数学适应性考试试题 文（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出AB【详解】集合Ax|x2x20x|x1或x2，Bx|log2x2x|0x4，ABx|2x4（2，4故选：B【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.复数（为虚数单位）是方程的根，则的值为（ ）A. B. 13C. D. 5【答案】B【解析】【分析】利用实系数一元二次方程虚根成对及根与系数的关系求解详解】是方程z26z+b0（bR
2、）的根，由实系数一元二次方程虚根成对原理可知，为方程另一根，则b（3+2i）（32i）13故选：B【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚根成对原理的应用，考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3.已知实数，满足约束条件，则的最小值为( ）A. -6B. -4C. -3D. -1【答案】A【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z2x+y的最小值【详解】由z2x+y，得y2x+z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y2x+z，由平移可知当直线y2x+z，经过点A时，直线y2x+z的截距最大，此时z取得最小值，由，解得A（3，0）将A的坐标代入z2x+y
3、，得z6，即目标函数z2x+y的最小值为6故选：A【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法4.如图是2018年第一季度五省GDP情况图，则下列描述中不正确的是（ ）A. 与去年同期相比2018年第一季度五个省的GDP总量均实现了增长B. 2018年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省C. 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D. 去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元【答案】C【解析】【分析】根据柱型图与折线图的性质，对选项中的结论逐一判断即可，判断过程注意增长量与增长率的区别与联系
4、.【详解】由2018年第一季度五省情况图，知：在中, 与去年同期相比，2018年第一季度五个省的总量均实现了增长，正确；在中，2018年第一季度增速由髙到低排位第5的是浙江省，故正确；在中，2018年第一季度总量和增速由髙到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共2个,故不正确；在中，去年同期河南省的总量增长百分之六点六后达到2018年的4067.6亿元，可得去年同期河南省的总量不超过4000亿元,故正确，故选C.【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查折线图、柱形图等基础知识，意在考查阅读能力、数据处理能力，考查数形结合思想的应用，属于中档题.5.已知各项均为正数的等差数列的公差为2，等比数列的
5、公比为-2，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知求得等比数列bn的通项公式，作比即可得到【详解】等差数列an的公差为2，数列bn是公比为2的等比数列，故选：B【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式，是基础题6.如图，先画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形，依此类推，得到第4个正方形，在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】结合图形发现：每一个最小正方形的面积都是前边正方形的面积的则四边形的面积构成公比为的等比数列，由几何概型概率的求法即可得到.【详解】观察图形发现：每一个最小
6、正方形面积都是前边正方形的面积的，四边形的面积构成公比为的等比数列，第n个正方形的面积为 ，即第四个正方形的面积 .根据几何概型的概率公式可得所投点落在第四个正方形的概率为P ，故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出正方形面积之间的关系是解决本题的关键，属于基础题.7.在直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点，分别为，的中点，直线与轴交于点，若，则（ ）A. 2B. C. D. 3【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，根据题意可得PQF为等边三角形，求出其边长，进而在RtFMR分析可得答案【详解】根据题意，如图所示：连接MF，QF，抛物线的方程为y
7、24x，其焦点为（1，0），准线x1，则FH2，PFPQ，又由M，N分别为PQ，PF的中点，则MNQF，又PQPF，NRF60，且NRFQFHFQP60，则PQF为边长为4等边三角形，MF2，在RtFMR中，FR2，MF2，则MR4，则NRMR2，故选：A点睛】本题考查抛物线的定义以及简单性质，注意分析PQF为等边三角形，属于综合题8.已知，点是边的中点，若点满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论【详解】点M是边BC的中点，可得2，可得2（）4，即2（）+12，可得6，即，故选：D【点睛】本题考查向量的中点表
8、示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题9.函数的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再根据与的性质，确定函数图象【详解】，定义域为，所以函数是偶函数，排除A、C，又因为且接近时，且，所以，选择B【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手：1.从函数定义域，值域判断；2.从函数的单调性，判断变化趋势；3.从函数奇偶性判断函数的对称性；4.从函数的周期性判断；5.从函数的特征点，排除不合要求的图象10.如图，已知正方体的棱长为4，是的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为（ ）A. 8B. 4C. D. 【答案】
9、D【解析】【分析】建立坐标系，求出M的轨迹，得出M到B的最小距离，得出三角形的最小面积【详解】解：以AB，AD，AA1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则P（0，0，2），C（4，4，0），D1（0，4，4），设M（a，0，b），则（a，4，b4），（4，4，2），D1MCP，4a+16+2b80，即b2a4取AB的中点N，连结B1N，则M点轨迹为线段B1N，过B作BQB1N，则BQ又BC平面ABB1A1，故BCBQ，SBCM的最小值为SQBC故选：【点睛】本题考查了空间点的轨迹问题，考查了空间向量的运算，考查了空间想象能力与运算能力，属于中档题.11.已知函数的一个零点是，是的图象的一条对称轴
10、，则取最小值时，的单调递增区间是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据函数的一个零点是，得出，再根据直线是函数图象的一条对称轴，得出，由此求出的关系式，进而得到的最小值与对应的值，进而得到函数的解析式，从而可求出它的单调增区间【详解】函数 的一个零点是，或又直线是的图像的一条对称轴，由得，；此时，由，得的单调增区间是故选A【点睛】本题综合考查三角函数的性质，考查转化和运用知识解决问题的能力，解题时要将给出的性质进行转化，进而得到关于参数的等式，并由此求出参数的取值，最后再根据解析式得到函数的单调区间12.双曲线，斜率为的直线过点且与双曲线交于两点，若，则双曲线的离
11、心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】联立方程组消元，根据根与系数的关系和中点坐标公式得出D点坐标，根据3列方程得出a，b的关系，从而可得出双曲线的离心率【详解】直线MN的方程为y（x+t），联立方程组，消元可得：（9b2a2）x22a2txa2t29a2b20，设M（），N（），则由根与系数的关系可得： ，2，D为MN的中点，D（，），BDMN，kBD3，即，化简可得，即b，e故选：A【点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题二、填空题。13.已知函数在点处的切线方程为，则_【答案】3【解析】【分析】由f（x）aex+b，得f（x），因为函数f
12、（x）在点（0，f（0）处的切线方程是y2x+1，故（0，f（0）适合方程y2x+1，且f（0）2；联立可得结果【详解】由f（x）aex+b，得f（x）aex，因为函数f（x）在点（0，f（0）处的切线方程是y2x+1，所以解得a2，b1ab3故答案为：3【点睛】本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题14.已知函数，若，则_【答案】7【解析】【分析】求出f（x）的定义域，然后判断f（x）的奇偶性，根据奇偶性可得答案【详解】f（x）的定义域为R，关于原点对称，又f（x） f（x），f（x）是R上的偶函数，f（a）f（a）7故答案为：7【点睛】本题考查了函数
13、奇偶性的判断，关键是对对数式的真数分子有理化，属基础题15.已知点，在球的表面上，且，若三棱锥的体积为，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为_.【答案】【解析】分析】根据条件可知球心是侧棱中点.利用三棱锥的体积公式，求得设点到平面的距离，又由球的性质，求得，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】由题意，满足，所以为直角三角形，根据条件可知球心是侧棱中点.设点到平面的距离为，则，解得，又由球的性质，可得球半径为，满足，所以，所以这个球的表面积.【点睛】本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的组合体的应用，其中解答中正确认识组合体的结构特征，合理利用球的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，
14、以及推理与运算能力，属于中档试题.16.已知数列满足，则_【答案】300【解析】【分析】由2（1）nan+2+（1）nan+11+（1）n3n，当n2k（kN*），可得：a2k+3a2k+11+6k，n2k1（kN*），可得：3a2k1+a2k16k+3，于是a2k+1a2k14k1，利用“累加求和”方法与等差数列的前n项和公式即可得出【详解】2（1）nan+2+（1）nan+11+（1）n3n，n2k（kN*），可得： n2k1（kN*），可得： ， （4121）+（4111）+（411）+12+300+则300，故答案为：300【点睛】本题考查了数列的递推关系、“累加求和”方法、等差数列的
15、前n项和公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设的内角的对边分别为，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（）； （）.【解析】【分析】()由题意结合正弦定理可得，代入边长求解a的值即可；()由余弦定理可得：，则，利用二倍角公式和两角和差正余弦公式求解的值即可.【详解】()由可得，结合正弦定理可得：，即：，据此可得.()由余弦定理可得：，由同角三角函数基本关系可得，故，.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，两角和差正余弦公式，二倍角公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图，在直三棱柱中，底面为等腰
16、直角三角形，为的中点，为的三等分点（靠近）点.（1）求三棱锥的体积；（2）在线段上找点，使得平面，写出作图步骤，但不要求证明.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）把三棱锥PAQC转化为APQC，容易求解；（2）首先过B1作平面与平面APQ 平行，该平面与A1C1的交点M即为所找的点【详解】(1)由题知 依题意得(2) 如图，在平面内，过点作交于点，连结，在中，作交于点，连结并延长交于点，则为所求作直线. 【点睛】此题考查了转化法求体积，面面平行，熟记定理准确推理是关键，难度适中19.随着人民生活水平的日益提高,某小区居民拥有私家车的数量与日俱增.由于该小区建成时间较早,没有配套建
17、造地下停车场,小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵.该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值,如124表示2016年小区登记在册的所有车辆数,其余意义相同),得到如下数据:编号12345年份20142015201620172018数量（单位：辆）3495124181216（1）若私家车的数量与年份编号满足线性相关关系,求关于的线性回归方程,并预测2020年该小区的私家车数量；(2)小区于2018年底完成了基础设施改造,划设了120个停车位,为解决小区车辆乱停乱放的问题,加强小区管理,物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区,由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的
18、方式将车位对业主出租,租期一年,竞拍方案如下：截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；每车至多申请一个车位,由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；根据物价部门的规定,竞价不得超过1200元；申请阶段截止后,将所有申请的业主报价自高到低排列,排在前120位的业主以其报价成交；若最后出现并列的报价,则以提出申请的时间在前的业主成交,为预测本:次竞拍的成交最低价,物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主进行竞拍意向的调查,统计了他们的拟报竞价,得到如下频率分布直方图：（）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；（）如果所有符合条件的车主均参与竞拍,利用样木估计总体的思想
19、,请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功?(精确到整数)参考公式:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为： ，【答案】（1）310（2）（i）12（ii）974【解析】【分析】（1）利用回归直线方程方程计算公式，计算出回归直线方程，令求得预测值.（2）（i）根据频率分布直方图计算出不低于的频率，由此计算出人数. （ii）先求得能够竞拍成功的比例为，用求得竞拍成功的最低报价.【详解】解：（1）由表中数据，计算得， ，故所求线性回归方程为，令，得，所以预测2020年该小区的私家车数量为310辆.（2）（i）由频率分布直方图可知，有意向竞拍报价不低于1000元的频率为，共抽
20、取40位业主，则，所以有意向竞拍报价不低于1000元的人数为12人.（ii）由题意，所以竞价自高到低排列位于前比例的业主可以竞拍成功，结合频率分布直方图，预测竞拍成功的最低报价为元.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查频率分布直方图的有关计算，属于中档题.20.已知椭圆的离心率为，右焦点为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）如图，过定点的直线交椭圆于两点，连接并延长交于，求证：.【答案】（1）（2）证明过程详见解析【解析】【分析】（1）设出圆的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出b，利用离心率求出a，即可求出椭圆C的标准方程；（2）依题意
21、可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得 ， 与椭圆有两个交点，.设，直线，的斜率分别为，利用韦达定理证明即可.【详解】解：（1）依题意可设圆方程为，圆与直线相切，.，由解得，椭圆的方程为.（2）依题意可知直线斜率存在，设方程为，代入整理得 ， 与椭圆有两个交点，即.设，直线，的斜率分别为，则，. ，即.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，圆的圆心与半径的求法，考查分析问题解决问题的能力21.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，讨论函数的零点个数.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）讨论a的范围，得出f（x）0和f（x）0的解集，得出f（
22、x）的单调性；（2）求出f（x）的极大值，判断极大值小于0，根据f（x）的单调性得出f（x）的零点个数【详解】（1），令，其对称轴为，令，则.当时，所以在上单调递增；当时，对称轴为，若，即，恒成立，所以，所以在上单调递增；若时，设的两根，当时，所以，所以在上单调递增，当时，所以，所以在上单调递减，当时，所以，所以在上单调递增，综上所述：当时， 在上单调递增；若时， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，下面研究的极大值，又，所以，令，则（），可得在上单调递增，在上单调递减，且的极大值，所以，所以，当时， 单调递增，所以当时，
23、 在上单调递减，所以当时， 单调递增，且，所以存在，使得，又当时， 单调递增，所以只有一个零点，综上所述，当时，在上只有一个零点.【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数极值、单调性与函数零点的个数判断，属于难题22.【选修4-4：极坐标与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.是曲线上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）在（1）的条件下，若射线与曲线，分别交于，两点（除极点外），且有定点，求的面积.【答案】（I）的极坐标方程为，的极坐标方程为；（II）.【解析】【分析】（1
24、）先求得的直角坐标方程，然后转化为极坐标方程.设出点的极坐标，由此表示出点的极坐标，代入的极坐标方程，化简后得出曲线的极坐标方程.（2）将代入，的极坐标方程求得两点的极坐标，利用求得三角形的面积.【详解】解：（1）由题设，得的直角坐标方程为，即，故的极坐标方程为，即.设点，则由已知得，代入的极坐标方程得，即.（2）将代入，的极坐标方程得，.又，所以，.【点睛】本小题主要考查参数方程化为极坐标方程，考查轨迹方程的求法，考查三角形面积的计算，属于中档题.23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） (2) 【解析】【分析】(1)先由，将原函数变为，将函数写出分段函数的形式，解不等式即可；(2)先由题意可知，对于任意实数，不等式恒成立，等价于，进而可求出结果.【详解】（1）当时， 因为，所以或者或者 解得：或者，所以不等式的解集为. （2）对于任意实数，不等式恒成立，等价于因为，当且仅当时等号成立，所以因为时， 函数单增区间为，单间区减为，所以当时，所以，所以实数的取值范围.【点睛】本题主要考查绝对值不等式解法，以及不等式恒成立问题，属于中档试题.
