1、第四章 平面向量、数系的扩充与 复数的引入 第三节 平面向量的数量积及其应用最新考纲考情索引核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.2018全国卷，T42018浙江卷，T92018天津卷，T82017全国卷，T132017全国卷，T122017全国卷，T122016全国卷，T131.数学运算2.逻辑推理1平面向量数量积的有关概念
2、(1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记OA a，OB b，则AOB(0180)叫做向量 a 与 b 的夹角，若 90时，则 a 与 b 垂直(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，则 a 与 b 的数量积(或内积)ab_规定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 0a0.|a|b|cos(3)数量积的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影_的乘积2平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量 a，b 的夹角(1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2.(2)模：|a|aa x2
3、1y21.(3)夹角：cos ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y22.|b|cos(4)两非零向量 ab 的充要条件：ab0 x1x2y1y20.(5)|ab|a|b|(当且仅当 ab 时等号成立)|x1x2y1y2|x21y21 x22y22.3平面向量数量积的运算律(1)abba(交换律)(2)ab(ab)a(b)(结合律)(3)(ab)cacbc(分配律)1两个向量 a，b 的夹角为锐角ab0 且 a、b 不共线；两个向量 a，b 的夹角为钝角ab0 且 a、b 不共线2平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab)(ab)a2b2；(2)(ab)2a22abb2；(3)(
4、ab)2a22abb2.3数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)，不能得出 bc，两边不能约去同一个向量1概念思辨判断下列说法的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的夹角的范围是0，2.()(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量()(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量()(4)若 abac(a0)，则 bc.()解析：(1)两个向量夹角的范围是0，(4)由 abac(a0)得|a|b|cosa，b|a|c|cosa，c，所以向量 b 和 c 不一定相等答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人 A 必修 4P1
5、08A 组 T10 改编)设 a，b 是非零向量“ab|a|b|”是“ab”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：设 a 与 b 的夹角为.因为 ab|a|b|cos|a|b|，所以 cos 1，即 a 与 b 的夹角为 0，故 ab.当 ab 时，a 与 b 的夹角为 0或 180，所以 ab|a|b|cos|a|b|，所以“ab|a|b|”是“ab”的充分不必要条件答案：A(2)(人 A 必修 4P108A 组 T2 改编)在圆 O 中，长度为2的弦 AB 不经过圆心，则AO AB 的值为_解析：设向量AO，AB 的夹角为，则AO AB|AO|AB
6、|cos|AO|cos|AB|12|AB|AB|12(2)21.答案：13典题体验(1)(2018全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)()A4 B3 C2 D0解析：a(2ab)2|a|2ab212(1)3.答案：B(2)(2019云南 11 校跨区调研)平面向量 a 与 b 的夹角为 45，a(1，1)，|b|2，则|3ab|等于()A136 2B2 5C.30D.34解析：依题意得 a22，ab 22cos 452，|3a b|（3ab）2 9a26abb2 18124 34.答案：D(3)(2017全国卷)已知向量 a(1，2)，b(m，1)若向量 ab 与
7、a 垂直，则 m_解析：由题意得 ab(m1，3)，因为 ab 与 a 垂直，所以(ab)a0，所以(m1)230，解得 m7.答案：7考点 1 平面向量的数量积(自主演练)1已知向量 a(2，3)，b(4，7)，则 a 在 b 方向上的投影为()A.13 B.135C.655D.65解析：由已知，得 a 在 b 方向上的投影为|a|cos ab|b|82165 655(为 a 与 b 的夹角)答案：C2(2019皖南八校三模)已知|a|b|1，向量 a 与 b的夹角为 45，则(a2b)a_解析：因为|a|b|1，向量 a 与 b 的夹角为 45，所以(a2b)aa22ab|a|22|a|b
8、|cos 4512.答案：1 23(2019新乡二模)若向量 m(2k1，k)与向量 n(4，1)共线，则 mn()A0 B4 C92D172解析：因为向量 m(2k1，k)与向量 n(4，1)共线，所以 2k14k0，解得 k12，所以 m2，12，所以 mn2412 1172.答案：D4(2018天津卷)在如图所示的平面图形中，已知 OM1，ON2，MON120，BM 2MA，CN 2NA，则BC OM 的值为()A15 B9C6 D0解析：连接 OA.因为BC AC AB 3AN 3AM 3(ON OA)3(OM OA)3(ON OM)，所以BC OM 3(ON OM)OM 3(ON O
9、M|OM|2)3(21cos 12012)3(2)6.答案：C1数量积公式 ab|a|b|cos 在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式 abx1x2y1y2 求解，较为简捷、明了2在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现考点 2 平面向量数量积的性质(多维探究)角度 向量的夹角与垂直【例 1】(2018北京卷)设向量 a(1，0)，b(1，m)若 a(mab)，则 m_解析：因为 a(1，0)，b(1，m)，所以 a21，ab1，由 a(mab)得
10、 a(mab)0，即 ma2ab0.所以 m(1)0，所以 m1.答案：1【例 2】(2017山东卷)已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量，若 3e1e2 与 e1e2 的夹角为 60，则实数 的值是_解析：由题意知|e1|e2|1，e1e10，|3e1e2|（3e1e2）23e212 3e1e2e223012.同理|e1e2|12.所以 cos 60（3e1e2）（e1e2）|3e1e2|e1e2|3e21（31）e1e2e222 1232 1212，解得 33.答案：331根据平面向量数量积的性质：若 a，b 为非零向量，cos ab|a|b|(夹角公式)，abab0 等，可知平面向量的
11、数量积可以用来解决有关角度、垂直问题2数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于 0 说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于 0 且两向量不共线时两向量的夹角为钝角变式训练1(2016全国卷)已知向量BA 12，32，BC 32，12，则ABC()A30 B45C60 D120解析：cos ABC BA BC|BA|BC|32，又 0ABC180，所以ABC30.答案：A2(2019潍坊质检)已知非零向量 a，b 满足|b|4|a|，且 a(2ab)，则 a 与 b 的夹角为()A.3B.2C.23D.56解析：因为 a(2ab)，所以 a(2ab)0，得到 ab2|a|2
12、，设 a 与 b 的夹角为，则 cos ab|a|b|2|a|24|a|2 12，又 0，所以 23.答案：C角度 平面向量的模及应用【例 3】(2019永州二模)已知非零向量 a，b 的夹角为 60，且|b|1，|2ab|1，则|a|()A.12B1 C.2 D2解析：因为非零向量 a，b 的夹角为 60，且|b|1，所以 ab|a|112|a|2，因为|2ab|1，所以|2ab|24a24abb24|a|22|a|11，所以 4|a|22|a|0，所以|a|12.答案：A【例 4】(2019安阳调研)已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P 是腰 DC 上的动点
13、，则|PA3PB|的最小值为_解析：建立平面直角坐标系如图所示，则 A(2，0)，设 P(0，y)，C(0，b)，则 B(1，b)所以PA3PB(2，y)3(1，by)(5，3b4y)，所以|PA3PB|25（3b4y）2(0yb)，所以当 y34b 时，|PA3PB|取得最小值 5.答案：51求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a|aa及(ab)2|a|22ab|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算(2)几何法：利用向量的几何意义2求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合
14、动点表示的图形求解变式训练1(2019福州二模)若向量 a(cos，sin)，b(3，1)，则|2ab|的最大值为_解析：|2ab|（2ab）2 4a24abb2，因为 a2|a|21，b2|b|24，设a，b，则 0180，所 以|2a b|4412cos 4 88cos，因为1cos 1，所以 088cos 16，所以 0 88cos 4，可得 88cos 的最大值为 4，即|2ab|的最大值为 4.答案：42已知平面向量 a，b，|a|1，|b|2，a(a2b)，则|2ab|的值是_解析：由 a(a2b)得 a(a2b)a22ab0，所以 ab12，所以(2ab)24a2b24ab412
15、2241210，所以|2ab|10.答案：10考点 3 平面向量的应用(多维探究)角度 向量在平面几何中的应用【例 1】已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足OP OA(ABAC)，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A内心B外心C重心D垂心解析：由原等式，得OP OA(AB AC)，即AP(AB AC)，根据平行四边形法则，知AB AC 是ABC的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD 的 2 倍故点P 的轨迹必过ABC 的重心答案：C【例 2】(2019安徽师大附中二模)在ABC 中，AB2AC6，BA BC BA 2，点
16、P 是ABC 所在平面内一点，则当PA 2PB 2PC 2 取得最小值时，APBC()A.272B272 C9 D9解析：因为BA BC|BA|BC|cos B|BA|2，所以|BC|cos B|BA|6，所以CA AB，即 A2，以 A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则 B(6，0)，C(0，3)，设 P(x，y)，则PA 2PB 2PC 2x2y2(x6)2y2x2(y3)23x212x3y26y453(x2)2(y1)210所以当 x2，y1 时，PA 2PB 2PC 2 取得最小值，此时APBC(2，1)(6，3)9.答案：D角度 向量与三角函数的渗透【例 3】在平面直角坐标系 xO
17、y 中，已知向量 m22，22，n(sin x，cos x)，x0，2.(1)若 mn，求 tan x 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为3，求 x 的值解：(1)因为 mn，所以 mn 22 sin x 22 cos x0.则 sin xcos x.又 x0，2，所以 tan xsin xcos x1.(2)易求得|m|1，|n|sin2xcos2x1.因为 m 与 n 的夹角为3，所以 cos 3 mn|m|n|22 sin x 22 cos x11，则 22 sin x 22 cos xsin x4 12.又因为 x0，2，所以 x44，4.所以 x46，解得 x512.角度 向量与解
18、析几何的关系【例 4】(2019衡水中学质检)已知向量 a(m，2)，b(1，n)(n0)，且 ab0，点 P(m，n)在圆 x2y25 上，则|2ab|()A.34 B4 C4 2D3 2解析：因为 ab0，所以m2n0，因为 P(m，n)在圆 x2y25 上，所以 m2n25，因为 n0，所以解得，m2，n1，所以 a(2，2)，b(1，1)，所以 2ab(3，5)，故|2ab|3252 34.答案：A1用平面向量解决平面几何问题时，常常建立平面直角坐标系，这样可以使向量的运算更简便一些，在解决这类问题时，共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用2向量在三角、解析几何问题中常出现，多用于“
19、包装”，主要起载体作用解决此类问题时关键是利用向量的意义，运算脱去“向量外衣”，转化成三角问题或曲线上点的坐标之间的关系求解变式训练1一题多解(2019济南质检)已知点 P 在圆 x2y21 上，点 A 的坐标为(2，0)，O 为原点，则AO AP的最大值为_解析：法一 AO AP 表示AP 在AO 方向上的投影与|AO|的乘积，当 P 在 B 点时，AO AP有最大值，此时AO AP236.法二 设 P(x，y)，则AO AP(2，0)(x2，y)2x4，由题意知1x1，所以 x1 时，AO AP取最大值 6，所以AO AP的最大值为 6.答案：62在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为
20、 a，b，c，向量 m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且 mn35.(1)求 sin A 的值；(2)若 a4 2，b5，求角 B 的大小及向量BA 在BC 方向上的投影解：(1)由 mn35，得 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B35，所以 cos A35.因为 0A，所以 sin A 1cos2A1352 45.(2)由正弦定理，得asin Absin B，则 sin Bbsin Aa5454 2 22，因为 ab，所以 AB，且 B 是ABC 一内角，则 B4.由余弦定理得(4 2)252c225c35，解得 c1 或 c7(舍去)，故向量B
21、A 在BC 方向上的投影为|BA|cos Bccos B1 22 22.核心素养欣赏 数学运算平面向量与三角形的“四心”平面向量与三角形的“四心”(重心、外心、内心、垂心)问题是一类极富思考性和挑战性、具有相当深度和难度的重要题型，备受各级各类考试命题者的青睐，频频出现在各级各类考试卷中，凸现出较好的区分和选拔功能，是考查学生数学能力和素养的极好素材1.平面向量与三角形的“重心”【例 1】已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足OP 13(1)OA(1)OB(12)OC，R，则点 P 的轨迹一定经过()AABC 的内心 BABC 的垂心CABC 的重心DAB 边的中点解析：取 A
22、B 的中点 D，则 2OD OA OB，因为OP 13(1)OA(1)OB(12)OC，所以OP 132(1)OD(12)OC 2（1）3OD123OC，而2（1）31231，所以 P，C，D 三点共线，所以点 P 的轨迹一定经过ABC 的重心答案：C2平面向量与三角形的“垂心”问题【例 2】已知 O 是平面上的一个定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP OA AB|AB|cos BAC|AC|cos C，(0，)，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A重心B垂心C外心D内心解析：因为OP OA AB|AB|cos BAC|AC|cos C所以APOP OA AB|AB
23、|cos BAC|AC|cos C所以BC APBC AB|AB|cos BAC|AC|cos C(|BC|BC|)0.所以BC AP，则点 P 在边 BC 的高线上故动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心答案：B3平面向量与三角形的“内心”问题【例 3】在ABC 中，AB5，AC6，cos A15，O 是ABC 的内心，若OP xOB yOC，其中 x，y0，1，则动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为()A.10 63B.14 63C4 3D6 2解析：根据向量加法的平行四边形法则可知，动点 P的轨迹是以 OB，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为BOC 的面积的 2 倍在ABC 中，设
24、内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，由余弦定理 a2b2c22bccos A，得 a7.设ABC 的内切圆的半径为 r，则12bcsin A12(abc)r，解得 r2 63，所以 SBOC12ar1272 63 7 63.故动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为 2SBOC14 63.答案：B4平面向量与三角形的“外心”问题【例 4】已知在ABC 中，AB1，BC 6，AC2，点 O 为ABC 的外心，若AO xAB yAC，则有序实数对(x，y)为()A.45，35B.35，45C.45，35D.35，45解析：取 AB 的中点 M 和 AC 的中点 N，连接 OM，ON，则OM AB，ON AC，OM AM AO 12AB(xAByAC)12x AB yAC，ON AN AO 12AC(xAB yAC)12y AC xAB，由OM AB，得12x AB 2yAC AB 0，由ON AC，得12y AC 2xAC AB 0.又因为BC 2(AC AB)2AC 22AC AB AB 2，所以AC AB AC 2AB 2BC 2212，代入、得12xy0，4x8y0，解得 x45，y35.故实数对(x，y)为45，35.答案：A
