1、第十章 计数原理、概率、随机变量 及其分布 第八节 二项分布、正态分布及其应用最新考纲考情索引核心素养1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布3.借助直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义4.能解决一些简单的实际问题.2018全国卷，T82017全国卷，T192017全国卷，T132016全国卷，T181.数学运算2.数据分析条件概率的定义条件概率的性质设A、B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)_为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率(1)0P(B|A)1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BC|A)_P（AB）P（A）P(B|A
2、)P(C|A)1条件概率2.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)_，则称事件A与事件B相互独立(2)性质：若事件A与B相互独立，则A与B、A与B、A与B也都相互独立，P(B|A)_，P(A|B)_3独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i1，2，n)是第i次试验结果，则P(A1A2A3An)_P(A)P(B)P(B)P(A)P(A1)P(A2)P(A3)P(An)(2)二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)_(k0，1，2，n)，此时称随机变量X
3、服从_，记作XB(n，p)，并称p为成功概率4正态分布(1)正态分布的定义一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)ba，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记为_Cknpk(1p)nk二项分布XN(，2)(2)正态曲线的特点曲线位于x轴的_，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线_对称；曲线在_处达到峰值1 2；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“_”，表示总体的分布越_；越大，曲线越“_”，表示总体的分布越_上方xx瘦高集中矮胖分散(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)_；P(2X2)_；P(3X3)_0.682 60.
4、954 40.997 41相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(AB)P(A)P(B)2判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次3P(AB)P(A)P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)P(B|A)4若X服从正态分布，即XN(，2)，要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.1概念思辨判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“
5、”)(1)相互独立事件就是互斥事件()(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)P(B)()(3)P(AB)表示事件A，B同时发生的概率，一定有P(AB)P(A)P(B)()(4)在正态分布函数，(x)12e（x）222中，是正态分布的标准差()(5)二项分布是一个用公式P(Xk)C knpk(1p)nk，k0，1，2，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布()答案：(1)(2)(3)(4)(5)2教材衍化(1)(人A选修23P54练习T2改编)100件产品中有5件次品，不放回地抽取2次，每次抽1件，已知第1次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为()A.19
6、20B.19400C.120 D.9599(2)(人A选修23P55练习T1改编)有3位同学参加某项测试，假设每位同学能通过测试的概率都是12，且各人能否通过测试是相互独立的，则至少有2位同学能通过测试的概率为 ()A.18B.38C.12D.78解析：(1)根据题意，在第一次抽到次品后，有4件次品，95件正品；则第二次抽到正品的概率为P9599，故选D.(2)记“至少有2位同学能通过测试”为事件A，则其包含事件为“恰好有2位同学能通过测试”或“恰好有3位同学能通过测试”，而每位同学不能通过测试的概率都是11212，且相互独立，故P(A)C23123C3312312.故选C.答案：(1)D(2
7、)C3典题体验(1)(2019东北三省三校联考)已知随机变量XN(0，2)，若P(|X|2)a，则P(X2)的值为()A.1a2B.a2C1a D.1a2(2)(2019汕头模拟)甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为()A.34B.23C.57 D.512(3)(2019烟台调研)设袋中有大小相同的4个红球和2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，则6次取球中取出2个红球的概率为_解析：(1)根据正态分布可知P(|X|2)2P(X2)1，故P(X2)1a2，故选A.(2)
8、根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是23 134 34123 512，故选D.(3)由题意得取出红球个数X服从二项分布，即XB6，23，所以P(X2)C26232134 20243.答案：(1)A(2)D(3)20243考点1 条件概率(自主演练)1一题多解从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A.18 B.14 C.25 D.12解析：法一 事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)，即n(A)4，事件AB发生的结果只有(2，4)一种
9、情形，即n(AB)1.故由古典概型概率P(B|A)n（AB）n（A）14.法二 P(A)C23C22C25 410，P(AB)C22C25 110.由条件概率计算公式，得P(B|A)P（AB）P（A）11041014.答案：B2(2019河北“五个一名校联盟”模考)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为()A.110B.15 C.25 D.12解析：设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，则由题意可得P(A)12，P(AB)
10、15，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现红灯的概率是P(B|A)P（AB）P（A）151225.故选C.答案：C3(2019南昌模拟)口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为_解析：口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回地逐一取球，设事件A表示“第一次取得红球”，事件B表示“第二次取得白球”，则P(A)26 13，P(AB)26 35 15，所以第一次取得红球后，第二次取得白球的概率P(B|A)P（AB）P（A）151335.答案：35条件概率的两种求法1定义法：先求P(A
11、)和P(AB)，再由P(B|A)P（AB）P（A）求P(B|A)2基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)n（AB）n（A）.考点2 相互独立事件同时发生的概率(讲练互动)典例体验(2019重庆调研节选)甲、乙、丙三人各自独立地加工同一种零件，已知甲加工的零件是一等品且乙加工的零件不是一等品的概率为 12，乙加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率为 112，甲加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率为 29，记A，B，C分别为甲、乙、丙三人各自加工的零件是一等品的事件(1)分别求出事件A，B
12、，C的概率P(A)，P(B)，P(C)；(2)从甲、乙、丙三人加工的零件中随机各取1个进行检验，记这3个零件是一等品的个数为，求随机变量的分布列解：(1)由题设条件有P（AB）12，P（BC）112，P（AC）29，-即P（A）1P（B）12，P（B）P（C）112，P（A）P（C）29.解得P(A)23，P(B)14，P(C)13.(2)由(1)知P(A)13，P(B)34，P(C)23，的可能取值为0，1，2，3.所以P(0)P(ABC)13342316，P(1)P(ABC)P(ABC)P(ABC)2334231314231334131736，P(2)P(ABC)P(ABC)P(ABC)2
13、314232334131314131136，P(3)P(ABC)231413 118.所以的分布列为0123P1617361136118求相互独立事件同时发生的概率的方法1首先判断几个事件的发生是否相互独立2求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算变式训练(2019南宁质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润12
14、0万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元求该企业可获利润的分布列解：记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功，由题设知P(E)23，P(E)13，P(F)35，P(F)25，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则HEF，于是P(H)P(E)P(F)1325 215，故所求的概率为P(H)1P(H)1 2151315.(2)设企业可获利润为X万元，则X的可能取值为0，100，120，220，P(X0)P(EF)1325 215，P(X100)P(EF)133515，P(X120)P(EF)2325 415，P(X220)P(EF)2
15、33525.故所求X的分布列为X0100120220P2151541525考点3 独立重复试验与二项分布(讲练互动)典例体验(2019顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列(1)求a，b，c的值及居民月用水量在22.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水
16、量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值解：(1)因为前四组频数成等差数列，所以所对应的频率组距也成等差数列设a0.2d，b0.22d，c0.23d，所以0.5(0.20.2d0.22d0.23d0.2d0.10.10.1)1，解得d0.1，所以a0.3，b0.4，c0.5.居民月用水量在22.5内的频率为0.50.50.25.居民月用水量在22.5内的频数为0.2510025.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.70.8，所以为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米应规定w2.5 0.10.150.52.83.(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表
17、居民月用水量，可知P(A2.5)0.7，由题意，XB(3，0.7)，P(X0)C030.330.027，P(X1)C130.320.70.189，P(X2)C230.30.720.441，P(X3)C330.730.343.所以X的分布列为X0123P0.0270.189 0.4410.343因为XB(3，0.7)，所以E(X)np2.1.1独立重复试验的实质及应用.独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程.2判断某概率模型是否服从二项分布P(Xk)C kn pk(1p)nk的三个条件.(1)在一次试验中某事件A发生的概率是同一个常数p.(2)n次试验不
18、仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率变式训练在一次数学考试中，第22题和第23题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题设4名学生选做每一道题的概率均为12.(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这4名学生中选做第23题的学生个数为，求的分布列解：(1)设事件A表示“甲选做第22题”，事件B表示“乙选做第22题”，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“ABAB”，且事件A、B相互独立故P(ABAB)P(A)P(B)P(A)P(B)1212112112 12.(2)随机变量的可能取值为0，1，
19、2，3，4，且B4，12，则P(k)Ck412k1124kCk4124(k0，1，2，3，4)故的分布列为01234P116143814116考点4 正态分布典例体验1(2019郑州模拟)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(04)()A0.6 B0.4 C0.3 D0.2解析：由P(4)0.8，得P(4)0.2.又正态曲线关于x2对称则P(0)P(4)0.2，所以P(04)1P(0)P(4)0.6.答案：A2(2019茂名一模)设XN(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是()(注：若XN(，2)，则P(X)68.26%，P(2X2)95.44%)A7 539 B6 038 C7 028 D6 587解析：因为XN(1，1)，所以1，1.因为P(X)68.26%，所以P(0X2)68.26%，则P(1Xa)，P(Xa)P(Xa)变式训练(2019淄博一模)设随机变量服从正态分布N(3，4)，若P(a2)，则a的值为()A.73B.53C5 D3解析：因为随机变量服从正态分布N(3，4)，P(a2)，所以x2a3与xa2关于直线x3对称，所以2a3a26，所以3a7，所以a73，故选A.答案：A
